江西省萍乡市萍乡实验学校2025届高三上学期起点考试数学试卷-A4答案卷尾

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年第一学期萍实高三年级起点考试数学试卷时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（2024·全国·高考真题）1．已知，则（

）A．0 B．1 C． D．2（2024·青海海西·模拟预测）2．已知向量，若，则（

）A．1 B． C． D．（22-23高二下·重庆江津·期末）3．

则（

）A．41 B．40 C． D．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）4．在中，角的对边分别为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．（2024·青海海西·模拟预测）5．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（

）A． B． C． D．（2024·青海海西·模拟预测）6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（

）A． B． C．2 D．（2023·福建福州·二模）7．已知函数的定义域均为，是奇函数，且，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数 C． D．（2024·江苏宿迁·三模）8．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）（2024·江苏苏州·模拟预测）9．在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（

）A．该班级此次练习数学成绩的均分为118B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为（2024·重庆九龙坡·三模）10．在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．直线与平面所成角的正切值为C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积为9π（2024·重庆九龙坡·三模）11．已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）（2024·上海·三模）12．二项式的展开式中含项的系数是．（2024高三·全国·专题练习）13．若方程在内有解，则a的取值范围是．（2024·重庆九龙坡·三模）14．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为.四、解答题（共5小题，77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）15．农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上，同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者､利用者､自愿联合､民主管理的互助性经济组织，国家给予农民专业合作社在生产､经营､销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产､经营､销售等方面的科学方案，引入人工智能管理系统，合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目，统计分析人工智能管理的实际经济收益（单位：万元），与市场预测的经济收益（单位：万元）的相关数据如下表：（注：10个主体项目号分别记为）项目号12345678910实际收益5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23预测收益5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得(1)求该合作预测收益与实际收益的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系；(2)规定：数组满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”.为进一步研究，该合作社的市场营销研究人员从“类营销误差”，“类营销误差”中随机抽取3组数据与“类营销误差”数据进行对比，记抽到“类营销误差”的数据的组数为随机变量.求的分布列与数学期望.附：相关系数.（2024·四川成都·模拟预测）16．如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

(1)证明：点在平面上的射影为的中点；(2)求二面角的正切值．（23-24高二下·重庆·阶段练习）17．已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点.（2024·江西南昌·三模）18．给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；(2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．（2024·安徽合肥·模拟预测）19．若y=fx为上的非负图像连续的函数，点将区间划分为个长度为的小区间．记，若无穷和的极限存在，并称其为区域的精确面积，记为．(1)若有导函数，则．求由直线以及轴所围成封闭图形面积；(2)若区间被等分为个小区间，请推证：．并由此计算无穷和极限的值；(3)求有限项和式的整数部分．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若，则.故选：C.2．D【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求解.【详解】由，得，所以．故选：D．3．A【分析】利用赋值法得到，两式相加即可求解.【详解】在中依次令，，可得，所以.故选：A.4．C【分析】先由正弦定理推出，，再将等式中的边替换并与联立，求出即可算出面积.【详解】由和正弦定理可得，，解得,因，又，则，故.由和勾股定理得，①，因②，由①②联立解得：，故的面积为.故选：C.5．B【分析】设铁球的半径为，根据体积关系列出方程，求得，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设铁球的半径为，有，解得，则一个铁球的表面积为．故选：B．6．C【分析】根据题意，得到，由椭圆的定义得到，则，得到为的中点，结合中位线定理，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则，又由圆可化为，可得圆心，半径，则，根据椭圆的定义，可得，则，因为，可得为的中点，又因为为的中点，可得.故选：C.7．D【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，f−x=fx，故A错误；C选项，推出f1=0，f3=0，f2+f4=0，从而求出；B选项，由f1【详解】A选项，因为，所以，又，则有，因为是奇函数，所以，可得，即有fx+2=−fx与即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数.因为且fx+2=−fx.所以所以为偶函数.故A错误，C选项，由是奇函数，则f1=0因为fx+2=−fx又，是周期为4的周期函数，故，所以，所以C错误；B选项，由f1=0得，故不是奇函数，所以B错误；D选项，因为，所以，.所以，所以，所以D选项正确故选：D【点睛】设函数y=fx，x∈R，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．8．C【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.【详解】如图，取中点，中点，连接，，，因是正三角形，则，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，则平面，平面，则，，，平面，则平面，又平面，所以，而，则，显然，由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，设，又，，则球的半径，又四棱锥的表面积为，由，解得，，，所以.故选：C.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和.9．BCD【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可．【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；对于B，该班级此次练习数学成绩的方差，故B正确；对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．故选BCD．10．ABD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，根据空间关系的向量证明判断A，利用线面角的向量公式求解判断B，利用等体积法求出相应三棱锥的体积判断C，利用补体法求得外接球的半径，即可求解外接球的表面积判断D.【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，分别为棱的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，

则对于A项，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，因为直线平面，所以直线平面，A正确；对于B项，

，设平面的一个法向量为，则，取，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，所以，故，故B正确；对于C项，

，故C不正确；对于D项，如图，

三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，所以为三棱锥外接球的直径，由几何知识，所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确.故选：ABD.11．BCD【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】由，令，则，因为，所以，故A错误；令，则，①所以，因为为奇函数，所以f′x为偶函数，，所以，②由①②并整理得，即，所以，所以是周期为的周期函数，故，故B正确；因为，所以，故C正确；由上知，在①中，令，得，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，f′x12．【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】因为，令，得，所以展开式中含项的系数是.故答案为：.13．【分析】设，则问题转化为方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案.【详解】方程，整理可得，因为，则，设，则问题转化为方程在上有解．又方程对应的二次函数的对称轴为，

故有，即，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.14．【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.【详解】设Px,y则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．(1)该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系；(2)分布列见解析，【分析】（1）根据已知数据和公式计算相关系数，然后进行判断即可；（2）先求出每类的组数，然后由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望.【详解】（1）因为，由的值接近于1，所以该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系；（2）由题意得，“类营销误差”有5组，“类营销误差”有3组，“类营销误差”有2组，若从“类营销误差”和“类营销误差”数据中抽取3组，抽到“类营销误差”的组数的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123所以.16．(1)证明见解析；(2)2【分析】（1）于，由平面平面，证得平面，再证得为等边三角形，可得为中点；（2）过作于，则是二面角的平面角，由已知数据计算即可．【详解】（1）过作于，由平面平面，平面平面，平面，，得平面，因此，

又，从而为等边三角形，为中点．（2）由于是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则有，过作于，连接，，平面，所以平面，由平面，则，则是二面角的平面角．由于，，所以中，．因此二面角的正切值为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据焦点和之间的关系即可求出椭圆方程.（2）设出直线的方程及点的坐标，将直线的方程用所设点的坐标表示，根据对称性可知所过定点在轴上，联立直线的方程和椭圆的方程，结合根于系数之间的关系即可求出定点坐标.【详解】（1），∴，又，∴，故椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，，联立，∴，∴则，直线的斜率，直线的方程为，令，有即，∴直线过定点18．(1)是“H数列”；理由见解析(2)1，2，3，6；(3)证明见解析【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可.（2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解.（3）由等差数列的