江苏省盐城市八校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024~2025学年第一学期高三年级考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．3．函数的图象大致为（）A． B．C． D．4．函数的一个零点所在的区间是（）A． B． C． D．5．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（参考数据：，）A．8分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．10分钟8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．下列说法正确的是A．命题，，则命题的否定为，B．“”是“”成立的充要条件C．函数的最小值是D．“”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件11．已知函数，则下列选项中正确的是（）A．函数的极小值点为B．C．若函数有4个零点，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是__________．13．已知，，且，则的最小值为__________．14．已知函数若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知命题p：“，”为假命题，实数的所有取值构成的集合为．（1）求集合；（2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．16．（本小题满分15分）已知函数（且）．（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．17．（本小题满分15分）已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2），为的极值点，若，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知奇函数，函数的最大值为．（1）求实数的值；（2）求；（3）令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值．19．（本小题满分17分）已知函数，且．（1）讨论的单调性；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）当时，证明：．2024~2025学年第一学期高三年级考试·数学参考答案、提示及评分细则1．D因为，，所以．故选D．2．A因为，，，，所以．故选A．3．C由，可知函数为奇函数，又由时，，有，可得；当时，，有，故当时，，可知选项C正确．4．D因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，，，所以，所以在上存在一个零点．故选D．5．B当时，的对称轴为，故在上单调递增．函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增．因为，由，可得，又因为在上单调递增，所以，解得．故选B．6．A由，得，所以，由，得，所以，因为是的必要而不充分条件，所以，解得，故选A．7．D根据题意得，，则，所以，所以，两边取常用对数得，，故选D．8．B令，，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于"存在唯一的整数使得点在直线下方”，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，，则切线方程为，而切线过点，即有，整理得，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有解得，所以的取值范围是．故选B．9．AB．当时，；当时，；当时，．对于选项A，若，则，，故正确．对于选项B，若，则，则，故正确．对于选项C，若，则，故错误．对于选项D，若，则，故错误．10．AC对于A，，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，令，则，当时，作出函数，的图象，由图可知函数的图象有两个交点，所以当时，函数的零点个数为2；当时，作出函数，的图象，由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点，所以当时，函数的零点个数为1或2或3，故D错误．11．AC对于A中，由，令，有，可得函数的减区间为（0，1），增区间为，所以A正确；对于B中，由，有，有，所以B错误；对于C中，由A项知，函数的最小值为，当时，；当时，，把的图象关于轴对称翻折到轴的左侧，即可得到的图象，函数有4个零点，等价于方程有4个根，等价于函数和的图象有4个交点，可得，即实数的取值范围为，所以C正确；对于D中，由，不妨设，有，有，，有．假设，等价于，等价于，令，有，可得函数单调递增，有，故假设成立，有，所以D错误．故选AC．12．由可知是二次函数，其对称轴为，要使得函数在时是减函数，则必须，即．13．因为，，且，，当且仅当时取等号．14．因为，．可知，，即，，，且，所以．因为在上单调递增，所以的取值范围是．15．解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，可得，解得，故集合；（2）由若是的必要不充分条件，可知，①当时，可得，，满足；②当时，可得，若满足，必有（等号不可能同时成立），解得，由①②可知，实数的取值范围为．16．解：（1）由，可得，可得函数的定义域为．由，当时，可得函数的增区间为，减区间为．证明如下：二次函数的单调递增区间为，减区间为，①当时，有，利用对数函数的单调性有，可得，故函数在区间上单调递增；②当时，有，利用对数函数的单调性有，可得，故函数在区间上单调递减．（2）当时，，有，可得，有，解得，故实数的取值范围为．17．解：（1），在处的切线为，即，经过点，，或；（2）又由，可得，，解得．由上知，．18．解：（1）由，得，故实数的值为1．（2）由（1）有，可得函数为增函数．又由，，有，由．①当时，，；②当时，，；③当时，，．故有（3）由（2）知，，可得，必有．由函数在区间上单调递增，有如下三种情况：①当时，有，解得，符合题意；②当时，有，解得，舍去；③当时，有，解得，舍去．综上，，．19．（1）解：易知．①．当时，，即，所以在上单调递增，