4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.2.1等差数列的概念（精讲）考点一等差数列基本量的计算【例1-1】（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.【解析】(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，上两式联立：，，；故答案为：，，-12，28，17.【例1-2】（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)判断96是不是数列中的项？【答案】(1)；(2)不是.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，由得：不是正整数，所以96不是数列中的项.【一隅三反】1．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列的首项为，公差为d，项数为．(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，，求d；(4)已知，，，求．【答案】(1)13(2)8(3)(4)【解析】(1)解：因为数列为等差数列，，，，所以，所以；(2)解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；(3)解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；(4)解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得.2．（2022·全国·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？【答案】(1)第45项(2)第8项．【解析】（1）设新数列为，则，，根据，有，即，所以，所以．又因为，所以．即原数列的第n项为新数列的第项．当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．（2）由(1)，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．考点二等差中项及应用【例2-1】（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．28【答案】A【解析】因为等差数列中，，，故选：A.【例2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（）A．2 B．3 C．±2 D．【答案】D【解析】由题意可得：∵{an}为等差数列，则∴故选：D.【例2-3】（2022·江苏）在等差数列中，已知，则等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【答案】B【解析】由题意得等差数列中，已知，设公差为d，则，故

，故选：B【一隅三反】1．（2022·四川省）等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，解得；故选：D2．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为数列为等差数列，且所以，解得，所以.故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等差数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以，故选：CD.4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由等差中项的定义知，，所以，即，所以，故或.故选：AB考点三等差数列的证明或判断【例3-1】（2022广东）（多选）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】ABD【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足(常数)，所以是等差数列；B中，满足(常数)，所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足(常数)，所以是等差数列.故选：ABD.【例3-2】（2022·陕西·西北农林科技大学附中）已知数列满足，.(1)求､､；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【答案】(1)，，；(2)证明见解析，.【解析】(1)由得，代入，n依次取值2，3，4，得，，.(2)证明：由变形，得，即，所以是等差数列.由，所以，变形得，所以.【一隅三反】1.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【答案】AC【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故选：AC．2（2021·辽宁抚顺·高二期末）（多选）下列说法错误的有（）A．若，，成等差数列，则，，成等差数列B．若，，成等差数列，则，，成等差数列C．若，，成等差数列，则，，成等差数列D．若，，成等差数列，则，，成等差数列【答案】ABD【解析】若，，成等差数列，可取，则，，，所以，故A错误；则，，，所以，故B错误；则，，，所以，故D错误；若，，成等差数列，则，所以，所以，，成等差数列，故C正确.故选：ABD.3．（2022·湖北）数列满足.(1)求证：数列是等差数列.(2)若，求数列的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)当时，，数列是以为公差的等差数列.(2)，数列首项为，公差为，，则，.4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首项为b1＝＝＝1，公差为的等差数列．（2）由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.考点四等差数列的单调性【例4-1】（2022·北京）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，所以，则，解得：，故选：C【例4-2】（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为，.所以当时，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列..(2)由（1）知，.则时，,设函数易知在上为减函数所以当时，取得最大值.【一隅三反】1．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，令该等差数列为，则有，因数列从第10项开始为正数，因此，即，解得：，所以公差d的取值范围是.故选：D2．（2022·北京顺义·高二期末）已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，因为数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值为11，故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，