专题提优突破一函数与导数

专题提优突破一函数与导数函数与导数的解答题是高考的必考题,一般为压轴题,考查的内容包括:含有参数的函数单调性及极值的讨论、不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式、极值点偏移,等等.知识点以综合考查为主,题目难,因此要求学生的综合能力较强.从解题思想来看,大致有分类讨论及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想等,其中分类与转化思想考察较多.解题方法常用到分离变量、换元法、消元法、放缩法、找特殊值、同构法,等等.在解题过程中,首先要确定函数的类型,是多项式函数、指数函数、分式函数、对数函数,还是几个函数组合在一起的,有时需要把原函数适当调整,这样就出现了式子的调整与变形,就会简化解题过程,降低解题难度.函数与导数的解答题难度大,在解题的过程中,要尽量多得分.函数与导数题设问灵活,多数考生做到此题,时间紧,若能分类整合,是可以抢到分的.利用导数研究函数零点典例1(1)已知函数f(x)=lnxaex+1(a∈R),讨论函数f(x)的零点个数.研究函数零点(方程有根)的常用方法:1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;3.数形结合法:研究单调性,利用零点存在定理判断.训练1(1)(2023·广东期末)讨论函数f(x)=ex1a(x1)的零点个数.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3(a为实数),若方程g(x)=2f(x)在区间1e,e上有两个不相等的实数根,求实数a函数的恒成立与存在性问题典例2(1)已知函数f(x)=lnx+1x,求证:对任意x∈(0,+∞),恒有f(x)<ex所以当x>1时,g(x)单调递增,所以g(x)>g(1)=esin11>0,即h'(x)>0,已知函数f(x)=2xlnx+x2ax+1,若存在x0∈1e,e,使不等式f(x0)≥2成立,求实数a1.思路一:“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函数的最值来解决,如:当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时,若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)在x∈D上的最小值,将原条件转化为g(a)≤f(x)min;若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)在x∈D上的最大值,将原条件转化为g(a)≥f(x)max;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)在x∈D上的最大值,将原条件转化为g(a)≤f(x)max;若存在x∈D,使得f(x)≤g(a)成立,应求f(x)在x∈D上的最小值,将原条件转化为g(a)≥f(x)min.2.思路二:恒(能)成立问题的转化策略:若f(x)在区间D上有最值,则(1)恒成立:∀x∈D,f(x)>0⇔f(x)min>0;∀x∈D,f(x)<0⇔f(x)max<0.(2)能成立:∃x∈D,f(x)>0⇔f(x)max>0;∃x∈D,f(x)<0⇔f(x)min<0.训练2(1)已知f(x)=xlnx.①求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.②证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1ex2(2)(2023·江苏连云港)已知定义在R上的函数f(x)=ex-1ex+1,若f(ex)+f(ax)<典例3已知函数f(x)=13x3+x2+ax,g(x)=xex,若对∀x1∈12,2,∃x2∈12,2,使f'(x1)≤g含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决,常见的转化有:(1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min;(2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max;(3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min;(4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max.训练3已知函数f(x)=12ax2(2a+1)x+2lnx(a∈R)(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x22x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.隐零点典例4已知函数f(x)=12x2lnx+1,求证:f(x)≤x(ex1)+12x2隐零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f'(x0)=0,并结合f'(x)的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点,说明导函数f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式.(3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.训练4(2023·淄博模拟)已知函数f(x)=1ax2+lnx2+1ax((1)当a=12时,求曲线f(x)在点(1,f(2)令F(x)=af(x)x2,若F(x)<12ax在x∈(1,+∞)上恒成立,求整数a的最大值.参考数据:ln3<43,ln4>54极值点偏移典例5已知f(x)=x3ax2(a∈R),其极小值为4.(1)求a的值.(2)若关于x的方程f(x)=t在(0,3)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:3<x1+x2<4.极值点偏移问题的一般解法1.对称化构造法:主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为x0),即利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数,即对结论x1+x2>2x0型,构造函数F(x)=f(x)f(2x0x)或F(x)=f(x0+x)f(x0x)对结论x1·x2>x02型,构造函数F(x)=f(x)fx02x;通过研究F((3)判断单调性,即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小,即判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0x)的大小关系.(5)转化,即利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0x)的大小关系转化为x与2x0x之间的关系,进而得到所证或所求.2.比值代换法:比值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点的比值作为变量,从而实现消参、