5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精练）（教师版）

5.5解三角形与其他知识的综合运用（精练）1．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64的点B处测得塔底在其北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由题意得，.在中，由正弦定理得，，，且，在中，.故选：C.2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量方案：在烈士纪念塔底座平面的点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为，然后直线走了20，抵达纪念塔底座平面点位置测得纪念塔顶端的仰角为.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为，则该烈士纪念塔的高度约为（

）A．30 B．45 C．60 D．75【答案】C【解析】由题设，如下图纪念塔为，且为底部，为顶部，，由，，而，若，则，，在△中，所以，即，可得，所以米.故选：C3．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC100m，则该球体建筑物的高度约为（

）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m【答案】B【解析】如图，设球的半径为，，，故选：B4．（2023·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量，共线，，由正弦定理得：，，则，，，，即．同理可得．形状为等边三角形．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）已知内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若，，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由题设及正弦定理边角关系有，而且，所以，又，可得，所以，故，而，又，所以，故，，可得，综上，为正三角形.故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【解析】由，可得，又由余弦定理，可得，整理得，所以是直角三角形.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃，中间划分出直角三角形区域种玫瑰，直角顶点在边上，且距离点，距离点，且、两点分别在边和上，已知，则玫瑰园的最小面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，设，则，，所以，，所以，又、两点分别在边和上，所以，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最小值为，故选：A.8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）（多选）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（

）A． B．的面积为C． D．点在点的北偏西方向上【答案】AC【解析】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，所以，，，又，，，，在，中，，，所以，故A正确；对于，的面积为，故B错误；对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；对于，过点作于点，易知，所以，故D错误，故选：．9．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】【解析】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案为：10．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．【答案】【解析】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：11．（2023·湖南）在锐角中，内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）整理得，故又，所以；（2）由锐角知，得，故，因为，得，所以.12．（2023·河北）设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题设，，所以，当时的最小值为.（2）由，得：，则，又，所以，故，则.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，则.13．（2023·北京）已知、、分别为的三个内角、、的对边，设，，若．（1）求角；（2）若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，且，所以，，由余弦定理可得，整理可得，由余弦定理得，，因此，；（2）且为锐角三角形，则，即，解得，所以，，，所以，，则，故.14．（2023·西藏）已知，，，其中，若的最小正周期为.（1）求函数的单调递减区间；（2）锐角中，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知：，因为的最小正周期为，则，所以，，，令，，解得，，所以，函数的单调递减区间为；（2），由正弦定理可得，所以，，为锐角，则，所以，，即，为锐角，所以，，因为为锐角，则，即，解得，所以，，，因此，的取值范围是.15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．

(1)求证：；(2)如果，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【解析】（1）证明：连接，，，，又是的直径，，，，又，，，，，．（2）解：，，，是的直径，，，，且为锐角，，由（1）得，，在中，，即．

16．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，成等比数列，且.(1)求；(2)若，延长至，使的面积为，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，，成等比数列可知，，由正弦定理，可得，又，，即，又，即，所以，所以或，由，，成等比数列可知，不为最大角，故.所以，又，，所以，所以，故.（2）由（1）及可知，是边长为的正三角形，过作垂足为,则，所以，所以，所以.在中，由余弦定理，得，在中，由正弦定理，得.

17．（2023·全国·高三专题练习）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；(2)若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)不能捕猎成功，原因见解析.【解析】（1）由题意作图如下：则，，，．由正弦定理，可得．因此或120°，当时，，猎豹与羚羊之间的距离为，当，，猎豹与羚羊之间的距离为.（2）由题意作图如下：设捕猎成功所需的最短时间为t，在中，，，，．由余弦定理得：．整理得：．方法1：设，显然，因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s，且．∴猎豹不能捕猎成功．18．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若(1)求的面积;(2)若，求的长.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，即，解得(负根舍)，所以.（2）因为，平分，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②①②，得，所以，又，且，所以，将代入②，得，所以.19（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)记与的面积分别记为和，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，，，，，∴

；（2）设，，∴，∴，∴，①，当且仅当，时取最大值；综上，，的最大值是.20.（2023·上海徐汇·统考一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】(1)(米)(2)2022万元【解析】（1）解:由题,,同理,故,由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,则,,因为,,所以为等边三角形,则,因此三条街道的总长度为（米）.（2）由图可知,,,,在中由余弦定理可知:,则,设三条步行道每年能产生的经济总效益,则,当即时取最大值,最大值为.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.21．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】(1)两船相距海里.(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.22．（2023·上海·高三专题练习）某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．(1)当，时，求的长；（结果精确到米）(2)当时，求面积的最大值及此时的值．【答案】(1)米(2)当时，养殖场最大的面积为平方米【解析】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的长约为米．（2）连接．由题意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米23．（2023·全国·高三专题练习）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积（2）设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小24．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形中，为等边三角形，设.(1)求四边形面积的最大值，以及相应的值；(2)求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.【答案】(1)；；(2)；【解析】（1）由题意，为等边三角形，∴，在中，，∴，，∴四边形面积为，因为，∴，即时，四边形面积最大，此时（2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，，∴，，当，即时，，即的最大值为.25．（2023·上海）如图，在中，分别是的中点