专题9.4 抛物线的定义与性质（原卷版）

9.4抛物线的定义与性质思维导图知识点总结内容提要1.抛物线的定义：平面上到定点F的距离与到定直线l(不过定点F)的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与简单几何性质：定义标准方程()p>0焦点准线范围对称轴顶点图形Aypxxx轴原点y−xxx轴x0yxy轴x0yxy轴3.抛物线上的点到焦点F的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线y2=2pxp>0中，若点A在抛物线上，且典型例题分析考向一抛物线的定义【例1】已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交于点P，过F且垂直于x【变式】(2020.新课标I卷)已知A为抛物线C：y2=2pxp>0上一点，点AA.2B.3C.6D.9考向二抛物线的标准方程【例2】若抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为32，0，则抛物线C[变式1]若抛物线y=ax2的准线方程为y[变式2]顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C经过点A2，1，则C考向三焦半径和焦点弦【例3】已知抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P考向四直线与抛物线有关计算问题【例4】已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F1，0，准线与x轴交于点A基础题型训练一、单选题1．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（

）A．5 B．4 C． D．2．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B． C． D．3．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为，设为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．4．设直线与抛物线交于，两点，若(为坐标原点)，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．5．设抛物线的焦点为，已知点，，，都在抛物线上，则四点中与焦点距离最小的点是（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（

）A．8 B． C． D．6二、多选题7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（

）A．开口向上，准线方程为y＝－B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－18．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．三、填空题9．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段为直径的圆上，则该圆的方程为.10．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，则.11．若抛物线上一点到抛物线焦点的距离为1，则点的横坐标是．12．已知二次函数的图像交轴于两点，直线与抛物线交于两点，直线与平行，且与抛物线相切于点，则．四、解答题13．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程．14．已知抛物线上有一点到焦点的距离为，（1）求及的值．（2）过焦点的直线交抛物线于，两点，若，求直线的方程．15．分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．(2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一．16．已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设动直线交于、两点，为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.提升题型训练一、单选题1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（

）A． B．C． D．2．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（）A． B．C． D．3．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（

）A．3 B． C． D．4．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9二、多选题7．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（

）A． B． C． D．8．已知圆：直线：，下列说法正确的是（

）A．直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得B．直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得C．与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题9．抛物线的准线方程为.10．已知点O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为.11．设抛物线：的焦点为是上的一点且在第一象限，以为圆心，以为半径的圆交的准线于两点，且三点共线，则点A的横坐标为.12．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的中点到y轴的距离等于．四、解答题13．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，求抛物线C的方程；14．已知为抛物线上一点，点到直线的距离为.（1）求的最小值，并求此时点的坐标；（2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值.15．（1）求经过点的抛物线的标准方程：（2）求一条渐近线为，且过点的双曲线的标准方程；（3）求经过点(3