第54讲 直线和平面所成的角的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和平面所成的锐角，如果这条直线垂直于平面，直线和平面所成角是直角，如果直线和平面平行或直线在平面内，直线和平面所成的角就是零度.二、直线和平面所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时，直线和平面所成的角为，直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为，斜线和平面所成的角为所以直线和平面所成的角的范围为.三、直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答.【方法讲评】方法一几何法使用情景直线和平面所成的角存在或比较容易作出.解题步骤找作（定义法）证（定义）指求（解三角形）其关键是作出直线和平面所成的角和解三角形.【例1】如图，在五棱锥中，⊥平面，，，，，，，三角形是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥的体积．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面⊥平面，所以在平面内，过点作于，则，又，平面内，所以平行于平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作⊥平面于点，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线与平面所成角的大小为；另解：另解：（Ⅱ）因为为等腰三角形，所以又，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由平面，在中，所以.故边上的高为2，即点到平面的距离，即点点到平面的距离为2.设直线与平面所成的角为，则，又，所以.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又，所以四边形是直角梯形，又容易求得，，所以四边形的面积为，所以四棱锥的体积为=.【点评】本题既可以利用向量法求解，也可以利用几何法求解，但是相比之下，几何法简单一点.【反馈检测1】如图所示的几何体中,是正三角形,且平面,平面,是的中点.（1）求证：；（2）若,求与平面所成角的正切值；（3）在（2）的条件下,求点到平面的距离.方法二向量法使用情景直线和平面所成的角不容易作出.解题步骤建立空间直角坐标系求直线的方向向量求平面的法向量代入公式求出直线和平面所成的角.【例2】如图，在四棱锥中,,且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．（2）以为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，,，则【点评】本题由于直线与平面所成的角不容易作，本题已知条件也便于建立空间直角坐标系，所以利用向量的方法简单些.【反馈检测2】如图,在三棱锥中,底面,点、分别在棱、上,,且.（1）求证：平面；（2）当点为的中点时,求与平面所成角的正切值；（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第54讲:直线和平面所成的角的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.（3）在四棱锥中,底面的面积为,高.而四棱锥的底面的三条边,等腰的面积为.点到平面的距离为.【反馈检测