人教A版高中数学第五章第3节《诱导公式》解答题拔高训练 (37)(含答案解析)

第五章第3节《诱导公式》解答题拔高训练(37)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.若28sS—%)=sin(3〃+。则:；蒙就器篙

2.已知0VaV］，且sina=

⑴求tana的值;

sinacosa-sin(7r-a)cos(a一学)

⑵求的值.

cos2(a+^)-sin(a+37t)cos(n+a)

3.已知角a的终边经过点P(m,2或),sina=手且Q为第二象限角.

(1)求实数m和tana的值:

_sinacos/?+sin(=+a)sinB

(2)7.tan/?=&，求刖+以双-吁唔-小皿炉值，

4.已知任意角a的终边经过点P(-l,2),；

⑴求sina,cosa,tana的值；

⑵求/⑷:霁落簿票生的值

sin(n^-a)cos(27r-a)sin(-a+—)

5.已知./(a)(1)化简/(a)

sin(^+a)sin(-^-a)

(2)若a是第三象限角，且cos(a-g)=£求/"(a)的值

6.已知函数/(%)=sin%,g(x)=Inx.

(1)求方程=f6-x)在［。,2用上的解;

(2)求证：对任意的QWR,方程/(%)=ag(x)都有解;

7.已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(一，一苧)

(I)求sina,cosa,tana的信：

(n)求史竺也竺修⑹的值.

Vzcos(-cr)-cos(7T+a)

只G小"singa)cos(37T-a)cos(-n-a)cos传+a)

，恒，cos(27r-a)sin(7r+a)sin(g+a)sin(手一a)，

(2)已知一：V%<0,sinx+cosx=1,求sin%-cos%的值.

9.①sin8—sinC=sin(力—C)；®~~=tan^+tanfi;③2acosA=bcosC+ccosB»这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b+c的最大值；若问题中的

三角形不存在，请说明理由.(若选择多个，则按第一个条件评分)问题：已知锐角△48C的内

角A、B、C的对边分别为a、b、c,若Q=2,,求b+c的取值范围.

sin(Tt-a)cos(3ir-a)cos(-Tr-a)cos(—+a)

10.(1)化简:

cos(27r-a)sin(w+a)sin(^+a)sin(^-Q)

(2)己知一1V%VO，sin%+cosx=g,求sinx-cosx.

sin(ir-a)cos(27c-a)tan(-a-7r)

11.已知a是第三象限角，f(x)

tan(-a)sin(-7r-a)

(1)化简/'(a)；

(2)若cos(Q-求/(a)的值;

(3)若a=-1920。，求f(Q)的值.

12.(1)计算：k)g2,M25+1g*+hi(e—)+k)g2(Eg216)；

€XJti(1800+o)sin(900+a)tan(a+360°)

(2)己知角a的终边经过点P(3,4),求的值.

sin(—a—

13.计算:

()sinl2o(4cos212o-2)'

cos400+sin50°(l4-V3tanl00)

(2)

sin70°V1+cos40°

14.在A4BC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a-匹c=bcosC.

2

⑴求M的值;

(2)若Q=4,COSC=—>求2L4BC的面积.

10

cos(^+a)cos(27r-a)sin(-a+^)

15.已知f(Q)=

sin(-n-a)sin(y+a；

(1)化简/'(a)：

(2)若f(a+,)=%求/煨一。)的值.

7T37r

“一.*sin(a-K)cos(h+c)tan(2笈一。)

16.已知函数“Q—、2，i

tail(Q+TT)sin(Q+TT)

(1)化简"a);

(2)若/(。＞/3+。=一1,且当《a4斗，求/S)+〃a+。的值;

2H//

(3)若〃。+3=2/(由，求/SA/g+g)的值.

17.已知函数f(%)=Asin(o)x+8),0V8Vl的图象如图所示.

(1)求〃%)的解析式；

(2)若方程f(%)-m+1=0在％e［一心0］上有解，求实数m的取值范围.

(3)己知/'(a+/(a+彳)=等，且手VaV2zr,求sina-cosa.

18.已知tana-六=-右

⑴求tana的值;

/、、tCOSd+op-cos(n-a)

(坪sin(f-a)的值.

19.已知角a的终边过点（-V5,2汽）

⑴求tana：

g2cos受a)+cos(n-a)

'sin(--a)+3sin(n^+a)的值.

20.已知角a的终边经过点P（m,2或），sina=苧且。为第二象限.

⑴求m的值；⑺若匕邛=心求渭;然X%;：鬻6的值.

21.对于函数/(%),若在其定义域内存在实数“。，八使得/(&+t)=f(&)+/(t)成立，则称/(%)是

“，跃点”函数,并称&是函数/(%)的)跃点”.

(1)求证：函数/(%)=2X+3」在［0,1］上是“1跃点”函数；

(2)若函数g(x)=/一京2+3Q在(_3,+8)上是“1跃点”函数，求实数。的取值范围；

(3)是否同时存在实数m和正整数〃使得函数九(%)=cos2X在［0,阿上有2021个个跃点”

若存在，请求出所有符合条件的M和〃的值；若不存在，请说明理由.

22.已知OvaV%且tana+‘一二"

4tana2

⑴求25比2(3兀-a)-3cosc+«)sin(y-a)+2的值:

(2)求—占『=+匡国运的值.

''cosaVl+tan2ayjl-sin(kn+a)

23.已知tana=2.

求3sina+2cosa的值;

、/sma-cosa

、,n、♦/3乃、

a8s(z乃-a)cost—+a)sina------),,_

(2)求'22的值.

sin(3^-+a)sin(a一4)cos(%+a)

24.在△4BC中，Q=V2»c=V10，.(补充条件)

(1)求△4BC的面积；(2)求sin(4+8).

从①b=4,@cosB=—1，③si7L4=零这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答•

已知aEd4)，且sina—cosa=名”

245

(1)求tana+熹的值;

cos(^-a)-2cos(cr+7r)

(2)求的值.

-sin(-a)+cos(2n^-a)

26.已知函数/(%)=sin2%+2sinxsin(^-x)+3sin2(y-x)

(1)若％e[O,^],求函数f(%)的值域；

(2)若方程/(%)-b=。在上哈有三个不同的解分别为%i，x2>x3,求%i+x2+.的值•

27.在平面直角坐标系工。＞，中，曲线Q的参数方程为需*'(w为参数)，以坐标原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线牡的极坐标方程为pcosd=-l.

(1)求曲线Q的极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程为。=a(p€R,0VaV/直线/与曲线G交于。，A两点，直线/与

曲线。2交于点B,%与B关于x轴对称，求△AOBI面积的最大值.

28.已知函数於)=再皿3+3)(3>0,|包工与的图象关于直线1=9对称，且图象上相邻两

4O

个最高点的距离为加

(1)求3和0的值；

(2)若大与二乎(Ia<2刍，求Sin(a+与的值•

24633

求sin(-37t-a)+sin(1zr+a)

29.(1)已知一sin(2;r—a)=2COS(5TT+a),的值:

cos(47r-a)-3cos(-1zr+a)

o

(2)化简Vl-2Sin20COS2000

COS1600-V1-COSZ200

,、\ln.亍16万卜、3n(h4d^Y的.值..;

30.⑴求cos------+sin

6

sin(—+a)+3sin(一；r-a)

(2)已知/(a)=---------------------,且tana=3,求，(a)的值.

2cos(—+a)—cos(4-a)

【答案与解析】

L答案：一:

解析:

本题主要考查诱导公式及同角三角函数关系式，比较基础.

将已知利用诱导公式化简，得到由几无=2,再利用同角三角函数关系式可得结果.

解：由已知2cos(兀-x)=sin(37r+久)即一2cosx=-sinx.

解得tamv=2,

crt、iH-U-sinx+Scosx-tanx+5-2+51

所以原式=-si-cosx=H=一孑

故答案为一二

2.答案：解：⑴因为sina=g,

所以cosa=±vl—sin2a=±=土三

因为Ova〈今所以cosa>0,

贝1kosa=

故匕。。=震=/

(2)因为tana=g

所以sinacosa-sin(?r-a)cos(aW9_sinacosa+sin2a_sina+cosa_tana+1

=7.

cos2(a+^)-sin(a+3w)cos(w+a)sin2a-sinacosasina-cosatana-1

解析：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，化简求值，属于基础题.

(1)利用同角三角函数的基本关系求cosa=1,进而得tana=翳=/

(2)先利用诱导公式化简原式=sma+cosa=警代入运算即可.

sina-cosatana-1

3.答案：解：(1)由三角函数定义可知sEa=^二媚g,解得m=±l,

••,a为第二象限角，二m=一1,

则tana=—=-2V2：

m

(2)由(1)知，tana=-2四，

sinacos0+sin(?+a)sinR

J•原式=------------------3n-------------

cos(兀+a)cos(-fi)-cos(-y-a)sinp

sinacos0+cosasin/?_tana+tan/?_-2&+&_V2

-cosacos)?+sinasin/J-1+tanatan/?-l+(-2x/2)xx/25

解析：本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基

本关系式的应用，是中档题.

(1)由已知结合任意角的三角函数的定义列式求解加值；

(2)利用三角函数的诱导公式变形，然后弦化切求解.

4.答案：解：(1)因为由点P(—1,2)得，x——l,y=2,r=-Jx2+yz=V51

sina

----=-2

(XJ6Q

ct)s(7r—n)siii(7r—a)

tana•(—sina)•cusa八

--------------------=tHlkk=—2

(—cxwQ)•tuna

解析：本题考查三角函数的定义以及同角三角函数关系，属于基础题.

(1)利用三角函数定义，求出sine,cu«o.taim的值；

(2)使用诱导公式把所求函数式化为正切即可求得结果.

5.答案：解：(l)/(a)=sin3S)=_c°sa；

cosasina

(2)因为a是第三象限角，且cos(a-y)=p

所以sina=—；，cosa=—V1—sin2a=—平，

5S

所以/'(a)=—cosa=等.

解析：本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.

(1)直接利用诱导公式化简表达式即可；

(2)化简己知条件，求出sina=-《通过同角三角函数的基本关系式求出/\a)的值.

6.答案：解：(1)因为/'(%)=sin%,=f(^-x),所以sinx=sin6-x),

即sin%=cos%,且#E[0,2TT].

若cosx=0,则sin%=0,与sin2%+cos2x=1矛盾.

所以cos%00,从而tanx=l.

又xe[0,2n],所以％=：或牛.

证明：(2)当a=0时，由f(x)=ag(x),得sinx=0,即x=兀是该方程的一个解；

当QHO时，令九(工)=Inx—^sinx.

因为人(%)的图象在区间[e系，e向上连续不间断，

r―91-Z-211

且h(e'ai)=----sin(eiai)—<0,

|a|a1。1IR|a|

三213-211

h(eiai)=—--sin(eiai)>---=—>0,

|a|a|a||a||a|

根据零点存在定理，存在%o£(e-向e南，使得九3))=0.

因此，当QH0时，方程/'(%)=QgO)有解%=%().

综上，对任意的Q€R,方程f(x)=ag(x)都有解.

解析：本题主要考查了同角间的基本关系式，诱导公式，函数零点存在定理，属于中档题.

(1)因为ff(%)=/(]-%)，所以sinx=sin©-%),由诱导公式可得sinx=cosX,由同角间的基本关

系式可得结果.

⑵当a=0时，由f(%)=ag(%),得sin%=0,即％=江是该方程的一个解：

当a工0时，令九。)=ln%-：sinx,因为人(x)的图象在区间忸崎，。南上连续不间断，根据零

点存在定理，可得结果.

7.答案：解：(I”.•由题意可得％=丫=一苧，r=\OP\=1,

•••cosa=-=-sina=-=-->tana=-=2\[2.

r3r3x

(口)sin(3〃-a)+2cos传+a)_sina-2sina_-sina__4

)V2cos(-a)-cos(n+a)V2cosa+cosa>/2cosa+cosa

解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题.

(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sina,cosa,tana的值.

(2)由条件利用诱导公式，求得s?3…)+2cos、+a)的值.

v2cos(-a)-cos(jr+a)

sina(-cosa)(-cosa)(-sina)sin2a.eos2a

8.答案：解：(1)原式二=-tana；

cosa(-sina)cosa(-cosa)cos3a-sina

(2)因为sinx+COST=：,两边平方得1+2sinxcosx=会有2sin%cosx二一条所以(sin%-

cosx)2=1-2sinxcosx=卷,又因为一］<x<0,所以sinx<0,cosx>0,则sinx-cosx<0,

所以sin%—cosx=一(.

解析：此题考查利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值，注意函数名及符号的正负.

(1)利用诱导公式化简函数，注意函数名，函数符号的变化；

(2)由同角三角函数的关系，由已知得2sinxcosx=一条所以(sin%-cos工尸sin2x—2sinxcosx+

cos2x=1—2sinxcosx=由角的象限，可得sinx-cosx=

9.答案：解：若选择条件①,

sinB-sinC=sin(4—C)

nsin(i44-C)-sinC=sin(4—C)

=>2cos/lsinC=sinC

vsinC>0,

COSA=7,

2

’4=9

若选择条件②,

=tan/1+tanB，

acosB

BsinCsin4sinB

---------r-------

sirvlcosScosACOSB

VJsinC_sin(4+8)_sinC

sinAcosBCOSACOSBCOSACOSB

vsinC>0,

.近_]

••1=19

sin/lcos4

所以tanA=V3,

.n

••-4=P

若选择条件③，

2acosA=bcosC+ccosB,

2sin/lcoSi4=sinFcosC+sinCcosfi,

2sirii4coSi4=sin(B+C)=sinA,

vsin/l>0,

.i

二cosA=

2

•••-4=r

由正弦定理：—r—==-AT=2R-由可得=竺里

sinAsinBsinC3sinA3

故b+c=(sinB+sinC),

又C=*8且Bwg),

有b+c=竽(sinB4-sin—8))=竽sin3+殍cosB)=4sin(B+：),

因为8£sin(B+9)E(表1],故b+c£(2V5,4].

解析：【试题解析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和差公式，同角三角函数关系式，属于中档题.

选①，由两角和公式及诱导公式，从而求得A.

选②，由正弦定理可得，再由两角和的正弦公式可得角A,

选③，由正弦定理，由两角和的正弦余弦及诱导角公式，即可得角A.

利用正弦定理b+c=竽(sinB+sin管—B))=^QsinB+ycosB)=4sin(JB+可得c+b

的最大值.

sincr(-cosa>(yosa>(-sina)

答案：解：(1)原式=

10.cosa(-sina)cosa(-cosa)

sin2atos2a

cos3asina

=­tana；

(2)因为sinx+cosx=两边平方得1+2sinxcosx=女,

Kij2sinxcosx=—,所以(sin%—cosx)2=1—2sinxcosx=—,

又因为一：<%<0,所以sin%VO,cosx>0,则sin%-cos%VO

所以sinx—cosx=­g.

解析：此题考查利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值，属于中档题.

(1)先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数关系式求出结果；

(2)由同角三角函数的关系，由已知得2sinxcosx=—色所以(sinx-cosx)?=弟由角所在的象限,

可得sin%—cosx=一：.

sinacosa[-tan(n^+a)]_-sinacosatana

答案：解：(。)==cosa.

11.1)/(-tana[-sin(n+a)]-tanasina

(2)vcos(a—|rr)=COS(|TT-a)=-sina,

且cos(a--yr)=:.sina=—

又「a是第三象限角,

cosa=-11-sin2a=-竺

•••f(a)=cosa=——.

(3)/(a)=/(-l9202)=cos(-l920&)=cos1920。

=cos(5x3609+120力=cos120。=-

解析：本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式.

(1)将各三角函数中的角都转化为a的形式即可化简；

(2)先将8S(a-：7r)化为sine的形式，再结合Q是第三象限角求出的值，即可得出结果;

(3)将a=-1920喉据诱导公式先转化到0Q至360。之间，再转化为锐角，即可求解.

12.答案：(1)解：log2业25+1g*+In(^v^)+bg2(log216)

XIAJ

=log2,s2.52+Igio"+In(eg)+^(log.^4)

=2-2+[+啕4=2

_7

=?

(2)解：由条件可得：sina=无言言=，

V3—4/S

cuti(1800+a)sin(9()+a)tnn(a+360°)

所“3n(—c—1M)0)OJS(—1800—C)OJS(270°—C)

sine

—COSQ-cosa----------iE

cose40.

siiia•(—cosa)•(—sina)sina4

解析：(1)本题考查根式与分数指数箱的互化和指数辕的运算性质，考查对数的运算性质，考查同角

三角函数的基本关系式和正余弦函数的诱导公式，属于基础题.

利用对数的运算法则直接计算.

(2)本题考查三角函数的求值，属于中档题.

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系计算.

13•答案：解：⑴而深黔与

x/3sinl20

_cos120~5

2sinl20cos240

V3sinl20-3cosl20

2sinl20cosl2<,cos24<,

2>/3(sin120cos600-cos120sin600)

sin24°cos24°

4V3sin(12°-60°)

sin480

=-4V3;

cos400+sin50°(l+6tan100)

sin7O°V14-cos40°

M。•enocos10+V3sin10

cos40+sin50-------…ic。-----

___________________________cos1U______

cos20。"+2cos220。-1

2cos4(Tsin(30。+10。)

cos40°+

cos10°

V2cos220°

sin80°

8s4。+而前

V2cos2200

2cos220°

V2cos2200

=V2.

解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及其应用，两角

和与差的三角函数公式，以及诱导公式的应用，属于中档题.

(1)利用二倍角公式和两角差公式，化为2依(/12；：累；晨：四n丝即可求得结果.

(2)利用诱导公式，二倍角公式和两角和公式，化为舞为即可求得结果.

14.答案：解：(1)由正弦定理得sinA-号sinC=sinBcosC,；sin(8+C)-苧sinC=sinBcosC,

•••sinCcosB=-sinf>

2

vsinC丰0,

42

•••cosDB=一，

2

,:BE(0,7T),

n

•*-B=彳；

4

(2)由cos。=登，CE(0,Jr),得sinC=\/l—«JS2C=>

在A48c中,

%/27\/2x/2\/24

•.,SIIL4=sin(Z?+C)=sinZ?cu«C+cosBshtC=x•x=-，

由正弦定理益=矣？得

,a.4一&5x(2

b=•sinBn=-4-x—=—

sin4-22

5

•••=1absinC=1x4x^xg=l.

解析：本题考查同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解一:角形中的综合应用,

考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

(1)根据正弦定理把边化为角的正弦，再利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知求

出角8的余弦，即可求得角&

(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinC,再利用sin/1=sin(B+。)求用sinA,由正弦定理导

就即可求得"再由面积公式求解即可.

cos(^+a)cos(2zr-a)sin(-a+Y)

.答案：解：

15(1)/(«)=sin(-7r-a)sin(^+a)

—sine•co«a•sm(-«)

2

—8111(7T+Q)•(―COKQ)

—sina-cosa•(—cosa)

sine•(—cose)

=—cown.

(2)v/(a+^)=|

,5k\1

iS+衣IN

5TT、1

・"+引，

・••/(冷。)

=-a)

=一＜M万一(。+而

=co«(a+-)

—一1

—3,

解析：本题考查诱导公式的应用，同隹三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，属于中档题.

(1)直接利用诱导公式化简表达式即可；

(2)化简已知条件，求出cus(a+意)=一"，进而求得/煨一。)的值.

-cosasina(-tana)_

.答案：解：(1)/(。)=—cosa；

16tana(-sina)

(2)/(a+》=-cos(a+])=sina,

因为f(。)=一；，

所以cosa•sina=J,

8

3

可得(sina-cosa)2=sin2a-2sina-cosa+cos2a=

由弓＜a＜方,可得cosa＞sina,

所以/(a)+f(a+])=sina—cosa=一圣

(3)由〃。+乡=2/(C)，得_8$(。+：)=2(-cosa),

所以sina=-2cosa,(cosa*0),

所以tana=-2,

/(a)•/(a+—)=-cosa-[-cos(a+])]=-sina-cosa

-----s--i-n--a--c-o--s--a--.—-t—ana2

sin2a+cos2atan2a+lS*

解析：本题考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系，考查象限角，考查三角函数

的化简求值，属于中档题.

(1)利用三角函数的诱导公式化简得出结论，注意函数名与符号的变换；

(2)由已知及⑴得出cosa•sina=也利用同角三角函数关系式、象限角得/'(a)+/(。+今=sina-

V3

cosa=;

(3)由2/S),利用同角三角函数的关系求得t即a的值，再把f⑷."a+》转化为二处,

可得答案.

17.答案：解：(1)由图形知,A=V2,：=.一3=泉

•••T=2%，

2n.

co=—2n=1,

•••f(0)=V2sin(p=1,

:.sing=T，

又0<<p

.•・8=9，

•••f(%)=V2sin(x+9；

⑵：xe[-7i,0],

*,•f(^)€[—V2,1]>

f(%)~m+l=。在％e[-n,0]上有解，

则/(%)=m-1在％e[-n,0]上有解，

:.-y/2<?n—1<1»

/.1—V2<m<2

实数加的取值范围[1一直,2]：

(3),."(V)+f(a+》=¥，

企sina+V2sin(a+^)=詈，

.,4

•••sina+cosa=

[sina+cosa)2=最

•r••2.sinacosa=—9—,

25

•••[sina-cosa)2=1—2sinacosa=青

3n,r

v—<a<2n

29

.V34

■•­sina—cosa=——­

解析：本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数的值域和求三角函数丫=4$勿(3%+@)的解析

式.

(1)结合图象求出A、3,由/(0)=&sing=1求出尹，即可求出解析式；

(2)求出函数/(%)的值域，根据题意得出一式三租-1<1,由此求出结果；

(3)化简已知式子得sina+cosa=%平方求出2sinacosa=-亲再求出［sina-cosa)2,开方即可

求出结果.

18.答案：解：-=

tanan

:.Ztar^a+3tana-2=0,

解得tana=-2或tana=

"l<a<n,

：•tana<0,即tana=-2：

sin(2-a)

解析：本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题.

(1)由题息可得tana的方程，结合角的范围解方程可得mna；

(2)由三角函数的诱导公式化简和弦化切可得原式=tana+1,代值计算即可.

19.答案：解：(1)因为角a的终边过点(—遍,2遍)，

所以由正切函数的定义得tana=坐=一2；

2cos(2+a)+cos(n-a)

sin(j—a)+3sin(jt+a)

-2sina—cosa

cosa-3sina

-2tanQ-l__3

l-3tana7

解析：本题主要考查的是三角函数的定义与同角三角函数关系，考查诱导公式，是基础题.

(1)由任意角三角函数的定义即可求得tana的值。

(2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解.

20.答案：解：(I)由三角函数定义可知：疝m=今一=

«>v/n.4-8

解得m=±1,

•••角a为第二象限角，故mVO,

m=-1；

(H)由(I)知Uma=-2\/2,

siiincusJ+3sin(二+c)sin8

则_______________12_尸:

cot»(7r+a)co»(——3sincsin,3

sinacos+3coscsin3

'

cosacan(3+3sinasin0

tana+3taiiJ

1+3taiintaii/?

-2在+3灰_V2

-1+(-272)x372-11,

解析：本题考查了任意角的三角函数、同角的三角函数变换，诱导公式，考查了学生的计算能力,

培养了学生分析问题与解决问题的能力.属于中档题.

91/991/*>

(I)由三角函数定义可知sins='=从而得出结果；

(H)由(I)知tana,化简得……呜+2=_山华邑,结合一=瓜,

cx*»(7T+a)c<js(—/?)—«^sinnsin/31+3tailatanfl

即可得出结果.

21.答案：证明：(1)由题意知，令0G)=2/1+3(x+l)2-2*-3x2一f(l)=2N+6x—2.

•.・。(O)=-l,0(1)=6,。(%)图像不间断，•.0(%)在［0,1］上至少有一个零点.

则在［0,1］内存在实数而，使得/(而+1)=/(&)+/(1)成立，

则函数f。)=2X+3/在［0,1］上是“1跃点”函数;

解：(2)令1//Q)=［(x+1)3—+I)24-3a］-［x3—4-3a］—(1+y)=3x2+3x-ax—3a.

函数。(乃=》3-］工2+3。在(一3,+8)上是“i跃点”函数，

则9(%)=3x2+3x-ax—3a=。在(-3,+8)上有解.

分离参数得:=舞在(-3,+8)上有解.

®x+3=u>0,则=(…：：QL3)=〃+：_5_2n—5,

则实数。的取值范围为［6乃一15,+8).

(3)令々(x)=h(x+》一九(%)—九(：)=cos(2x+^)—m-cos2x+m—cos］+m

=—sin2x—cos2x+m=m—V2sin(2x+：),

令*(%)=V2sin(2x+3，

假设同时存在实数m和正整数〃满足条件，

函数h(x)=cos2x-m在［0,n;r］上有2021个*跃点”，

即函数y=©(%)与直线y=m在［0,n?r］」二恰有2021个交点，

当XE［0,TTW寸，2%+?6岁争，V2sin(2x+^)e［-V2,V2］.

①当m>a或m<一四时，函数y=w(%)与直线y=m在［0,九网上无交点，

②当m=&或m=-或时，函数y=租(%)与直线y=m在［0,兀］上仅有一个交点，

此时要使函数y=中(%)与直线y=m在［0,TUT］上恰有2021个交点，则〃=2021；

③当一企<m<1或1vmVa时，函数y=@(x)与直线y=m在［0,江］上有两个交点，

此时函数y=双幻与直线y=m在［01加上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；

④当m=l时，函数y=8。)与直线y=m在［0,河上有3个交点，其中一个为右端点TT.

此时要使函数y=9(%)与直线y=加在［0,九利上恰有2021个交点，则九=1010；

综上所述，存在实数机和正整数〃满足条件:

当？H=时，n=2021：当m=—时，n=2021：当m=1时.n=1010.

解析：本题主要考查了基本不等式，函数的零点存在定理，三角函数的值域，辅助角公式，诱导公

式，属于难题.

(1)由题意知，令0(%)=2x+6x-2.由。(0)=-1,0(1)=6,得。(%)在［0,1］上至少有一个零点.则

在［0,1］内存在实数%°,使得f(&+l)=『(&)+/(I)成立,得以证明.

(2)令W(x)=3/+3x-ax-3a»由题意W%)=3x2+3x-ax-3a=0在(-3,+8)上有解，即三=

穿在(-3,十8)上有解.设不十3=〃>0,则MQ)=〃+3—5,利用基本不等式求出MQ)的范围，

得实数a的取值范围.

(3)令A(x)=h(x+9-hQ)一九(：)=m-V2sin(2x+：),令@(%)=V2sin(2x+彳)，假设同时存

在实数机和正整数〃满足条件，函数力㈤=cos2%-m在［0,时上有2021个今跃点”，即函数y=

伊(%)与直线y=m在［0,mr］上恰有2021个交点，求得w(%)的范围，讨论加，可得结果.

22.答案：解：(1)由tana+=£解得tana=：或tana=2,

tan(X22

•••0<a<7,:.0<tana<1,

4

•••tana--

:.2sin2(3n-a)—3cos+a)sin(岑一a)+2

=2sin2a—3sinacosa+2

2sin2a-3sinacosa

-+2

sin2a4-cos2a

2tan2a—3tana

tan2a+1

_6

-5,

(2)由(1)知，sin2a+cos2a=1»

解得sina='，cosa=等，

当女为偶数时，原式=/212+陛垣=1+叵匹=匹型;

vcosza+sinzay1-sina，1-sina2

当上为奇数时，原式=1+叵近=四.

xl1+sina2

解析：本题主要考查了三角函数的化简与求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

(1)由已知可求tana=3或taw=2,利用三角函数诱导公式与同角三角关系式化简所求即可得解.

(2)根据同角三角关系式和诱导公式，讨论z为偶数和Z为奇数，化简后即可得解.

23.答案：答案:

解:3sina+2cosa__3tanrr+2_3x2+2

sina-cosa-电工£2吧-tana-112-18;

cosacosa

COK(7F—a)cus(^4-Q)sin(a-(—co«a)(—sina)sin(ti+1)

⑵/4_4

sin(3?r+Q)sin(n—7r)c(j«(7r+Q)sin(7r+a)sin(7r4-Q)(—CMJSQ)

cosasinacosa_cosa11

----------------------------------------^3——~

(-sina)(—sina)(-cosa)sinatana2

解析：本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键.

(1)原式分子分母同除以COSQ,即得鬻羊，将tana=2代入即可.

(2)碰到直接是诱导公式本身的直接套公式，不是诱导公式的可以加减27r的整数倍尽快转化为诱导

公式再化简.

24.答案：解：选择①

(1)在△4BC中，因为Q=&，c=国,b=4,

由余弦定理得cosC=—=四窄厮=立，

2ab2xV2x42

因为CE(0,7T),所以sinC=V1—cos2C=与

所以△力BC的面积S=-adsinC=-xV2x4x—=2.

222

(2)在△ABC中，A+B=n-C.

所以sin(A+B)=sinC=-y-

选择②

(1)因为cosB=—g，Be(0,7i),所以sinB=V1—cos2B=争,

因为a=V2,c=V10»

所以△ABC的面积S=|acsinB=|xV2XV10X=2.

(2)因为a=或，c=VTU，cosB=-g,

由肥=a2+c2-2accosB,

得力2=(V2)2+(A/10)2-2xV2x5/10x(-y)=16,

解得b=4.

由=-?--：»解得sinC=—»

sinBsinC2

在△ABC中，A+B=n-Ctsin(4+B)=sinC=*.

选择③

依题意，A为锐角，由sinA=叵，得cosA=—si712H=

ioio

在△ABC中，因为Q=&,c=x/To»cosA=

io

由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA,

得(代＞=b2+(VTO)2-2xV10x誓力，

解得b=2或b=4,

(1)当b=2时，S=^bcsin4=^x2x710x^=l.

当b=4时，S=三bcsinA=-x4xV10x—=2.