平面向量基本定理 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册2022年

9.3.1平面向量基本定理

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设可，号是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（）

A,孩和瓦*+或B.9瓦一6五和4星一6瓦

C.瓦+2瓦和2瓦+孩D.瓦+宅和久一可

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及向量共线的条件，判断是否共线即可求解.

【解答】

解：因为共线的两个向量不可以作为基底，

又4瓦一6瓦=一式9否＞-6苞），9瓦*一4石和4瓦一6K共线，

故选B.

2.如图所示，已知在△4UC中，〃是边.48上的中点，则下=（）

A.BC-^BA

2

B.-BC+^-BA

2

C.-BC--BA

2

D.~BC+^BA

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的运算，共线定理，平面向量的基本定理，属于基础题.

方法一：由〃是的中点，得到前=4而，然后根据平面向量的运算法则即可求解；

方法二：根据〃是力占的中点，可以得到而=*通+石5),然后根据平面向量的运算法则即可求解.

【解答】

解：方法一：•••/)是力〃的中点，

・・・・・・.1।…T

BD--BA,

2

：.CD=CB^-BD=-FC+-R4.

2

方法二：CD=+G4)=+(CB+BA)]

=CB+^BA=-BC+^BA.

22

故选区

3.在ARBC中，5D=1D?,则而=()

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB--AC

44333333

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及其应用，考查向量的线性运算，比较容易.

由BO=^DC,得8D=^BC=g(4C—AB),则力=南+前.

【解答】

解：因为前=1比，所以前=1点="前一宿)，

所以而二通+前=荏+[(前一话)=：同+：前.

故选属

4.在A4BC中，AD=^DC,P是直线切上的一点，若而=m荏+：近，则m=()

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于中档题.

设丽=n而，利用向量的线性运算得到而=(1一切而+：Z，结合而=m希+之前，结合平面向量

基本定理，列方程组可求实数加的值.

【解答】

解：由题意，设前=n而，

则而=AB+~BP=AB+n~BD=AB+n(AD-AB)=~AB+n(^AC-AB)

=(1-7i)而+；温

又•••而=m^+速，

•••TH=1—n,且；=p

解得几=2,m=—1.

故选B.

5.如图所示，矩形力腼中，AB=4,AD=2,对角线力G加交于点。点£是线段40的中点，点尸是

线段%的中点，则而=()

A.^DE--CO

24

B.IDE-co

C.\DE-\CO

D.-DE--CO

24

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量的有关概念，向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题.

以四，而为基底，分别表不向量而，DF»而，根据平向量的基本定理以及相等向量建立方程组，解之即

可得出结论.

【解答】

解：以南，而为基底,

而=心而=三亚"同，

DE=AE-AD=^AC-AD=^(AD+AB)-AD=^AB-IAD,

~AF=AB+~BF=~AB+^AD.

设都=x而+yCO，

则荏+：而=%(浑一:画+y(-逐号而).

(-x-=1,(x=

所以932解得|2

lH[y=-v

即而一尻，访.

24

故选A.

6.如图，已知AylBC中，。为力8的中点，荏=^而，若屁=a同+〃前,

则2+〃=（）

.5

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理及其应用，向量的线性运算，属基础题.

由〃为力8的中点，AE=^AC可得说=一：而+：瓦\比较已知可得4+〃值.

3t63

【解答】解：「O为力8的中点，AE=^AC,

~DE=AE-AD=-AC--AB

32T（荏+硝♦布+9露

又•••丽=2荏+〃尻，

则入=_：，4=[,入+〃=_：+：=：,

oob3b

故选c.

7.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形4"阳%"

其中。4=1,则给出下列结论：①命-WF+HD=0?@OA+OC=-&1GF；@AEFC-GE=AB.

其中正确的结论为（）

A，①②B.①③C.②③

【答案】c

【解析】解：对于①：因为乔一济+百5=乔+丽+而二丽+近=而，①错误,

对于②：因为乙4OC=*x2=90。，则以期，制为邻边的平行四边形为正方形，

又因为如平分乙40C,所以用+配=迎而二-&方，②正确，

对于③：因为荏+定一赤=荏+露+锯=而+而，且定=而，

所以荏+定一而=^+而=希，③正确，

故选：C.

根据平面向最的线性运算逐项进行化简运算，由此确定出正确选项.

本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正方形的性质，属于基础题.

8.已知瓦，威是平面内两个不共线的向量，前=瓦一A;或，在=2瓦一同，D方=3百一2码，若

A,昆。三点共线，则衣的值为（）

A.2B.-3C.-2I）.3

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量的运算，三点共线，平面向量基本定理的运用，属于中档题.

由4B、〃三点共线，则存在实数九使方=入前，再利用两个向量共线列方程求解即可.

【解答】

解：亚=%—k①，CF=2e^—ej»CD=3e7—2ej»

..~BD=CD-CB

=（3^-2的一（2瓦一的=瓦一与，

AB=AC+CB

=€）*-ke^2+2瓦—62=3可—（1+k）京，

•♦・4、&〃三点共线，

・・•亚与丽共线，

••・存在唯•的实数人使得同=2前：

即3否一（1+k）可=4⑥一五），

所以｛:建T

解得&=2.

故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列条件中，使点。与4B,。三点一定共面的是（）

A.PC=^PA+lPBB.OP=^OA+^OB^OC

c.OP=OA+OB-^-OCD.OP+OA+OB+OC=0

【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查平面向量与空间向量基本定理，属于基础题.

依据平面向量基本定理可判断4,B：利用空间向量基本定理判断C,D.

【解答】

解：对于人由正=［成+：而，且1+：=1,

依据平面向量基本定理，PC，PA，丽共面,

所以点〃与力，B,，三点共面，故力正确；

对于5,由而+］而+：灵，且+：=1,

OOOOOO

依据空间向量基本定理，丽,OA^丽,正共面，

所以点夕与小B,。三点共面，故6正确；

对于。，由而=51+诟+元，1+14-1=3*1,

依据空间向量基本定理，，OP，OA，0B，元不共面，

所以点〃与4,B,。三点不不一定共面，故C错误；

对于"由前+西+而+次=6，得加=一瓦5一而一瓦，

而一1一1-1=-3H1,

依据空间向量基本定理，OP，UX，旗,无不共面，

所以点尸与小B,C三点不不一定共面，故〃错误.

故选：AB.

10.下列命题中是真命题的是（）

A,在四边形力空9中，若荏+方=6，且〃.前=0，则四边形力"9是菱形

B.若点61为△A8C的外心，则及5+通+元=6

C向量瓦=（2,-3）,互=$-令能作为平面内的一组基底

D,若。为△ABC所在平面内任一点，且满足（南一次）・（而+）一2万?）=0,则△ABC为等腰三角

形

【答案】AD

【解析】解：对于4在四边形4町9中，若荏+而=6,BPAB=-CD，则四边形48切为平行四边形，

旦尼,前=0，故对角线力。和即互相垂直，则四边形力版是菱形，故/正确；

对于用当点G为△4BC的重心时，

如图所示：

GA^GB+GC=GA+GD=0^

即：根据向量的线性运算，则刀+而+正=6，由于该题为外心，故8错误；

对于G向量百=（2,-3）,要=&-令，则£=46故不能作为平面内的一组基底，故C错误；

对于"。为△48C所在平面内任一点，

设〃为比'的中点，且满足（说一沆如+元一2万5）=0，

则丽•（而+近）=0，

所以2而•阮=0，即力〃垂直平分比；

所以△ABC为等腰三角形，故〃正确.

故选：AD.

直接利用向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件的应用判断力、8、。、〃的

结论.

本题考查的知识要点：向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件，主要考查

学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行，点力，8是“六

芒星”（如图）的两个顶点，动点。在“六芒星”上（内部以及边界），若加="U7+y砺，贝H+y的

取值可能是（）

图1六芒星图2

A.-6

B.1

C.5

D.9

【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画H图形，结合图形解答问题.

根据题意，画出图形，结合图形，得出求％+y的最大值时，只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出

即得结论.根据其对称性，可知3+y的最小值.

【解答】

解：求x+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：

当而二罚=耐+0•而时，x+y=1,

当而=历=证+话=而+画+荏=3函+而时，x+y=4,

当而=厉=耐+荏=2而+何时，x+y=3,

当诃=9二刃+而+而=3而+2刃时，x+y=5,

当赤=5?=勘+而=赤+勘时，x+y=2,

当评=而时，x+y=1,.

••・x+y的最大值为3+2=5.

根据其对称性，可知x+y的最小值为-5.

则x+y的取值范围是[-5,5],

观察选项，选项8,C均符合题意.

故选宓

12.设点。△4BC的外心，且而=2%〃通(九〃£用，那么下列命题为真命题的是

A,若a+〃=1,则c=]

B.若助〃而，则¥+〃2=1

C,若入+〃>1,AB=(-2,1),CO=(2,4)，则四边形力。皮?的面积是5

D.若4+〃V：^C=今则；1+〃的最大值是:

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断及平面向量的数量积、基本不等式等知识，属于较难题.

由条件可以推出点A,O,B三点共线，又直角三角形的外心在斜边_L,由此判断力：由条件推出团A8C是

直角三角形，CO=^CA+^CB,由此即可判断8；由条件推出点。在而加。外，ABLCO,计算面积即

可判断C\由CO=XCA+〃"可得3办—2A—2/z+1=0,运用基本不等式即可判断D.

【解答】

C___

解：如图,0

B

A

选项月：CO=AC4+gCF，a+〃=l,则点A,0,8三点共线，又直角三角形的外心在斜边上，

故C=p正确；选项8：若OA//OB，则点A,0,B三点共线，故RABC中，C=去此时0

为四的中点，则而制G5+9而，不满足M+〃2=i,错误；选项0：4+〃>1,则点。在0

ABC外，又而•而=0，即荏而，所以S408c=与4用•|0C|=5,正确：选项"CO=A（CO+

UX）+〃（而+而），即（l-l-^）CO=2西+〃而，因为|a|=|诟|=|元=2"二拳

平方则有（1一2一〃）2="+42+2川口泉化简得3川一2"24+1=0,即21+2g-1=

3加43・"改（当"〃时取=），故有入+〃♦曲+〃之2（舍掉），故a+〃若，正确，故选4s

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知五，b是两个不共线的向量，AB=2a+kb>CB=a4-3CD=2a—b»若4,B,。三点共线，

则实数k=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A,反〃三点共线，可得存在实数九使得

AB=XBD^利用平面向量的基本定理即可得出.

【解答】W：vCB=a+3K»CD=2a-

/.BD=K+CD=-a-3S+2a-h=a-45.

又通=2互+k方，且力，B,〃三点共线，

二一定存在实数九使的=；1而，

22

（k二=h

:，k=-8.

故答案为-8.

14.如图，在△4BC中，AB=3,AC=4,MAC=60。，点〃是血的中点，点£满足而二:而，则而.荏

4

的值是.

【答案】与

4

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积和向量的加减数乘运算，属于中档题.

由题意和向量的运算以及平面向量基本定理可得荏=:而+:前，代入要求的式子由数量积的运算可得答

案.

【解答】

解：因为荏=;而，

所以荏=尼+而=近+?而

4

=AC+^(AD-AC)=AS+^AB-AS')=萍+加，

所以而AE=AC(^AB+^AC)=^AB•AC+

=-x3x4x-4--x42=—.

8244

故答案为

4

15.如图，在平行四边形如⑦中，£尸分别为力。和园上的点，且荏=针，前=［能,

若前=m话+nOF，其中加，neR,则m+n的值为______.

【答案】:

【解析】解：由题可知:而=刃+荏=万？+：前=函+(.;而=丽+乔=而+1配=之羽+而:

所以就=［岳一|赤，OB=-^OE+^OF,

又因为瓦5+万百，代入得0C=：°E+|o凡

所以血+九=|+|=:

故答案为：g.

根据题意分别用炉、而表示出雨，丽，再根据沅=西+而可得屈=:丽+:标.

本题考查平面向量的基本定理，属于基础题.

16.已知产为△人"所在平面内一点，且而=：荏+g而，则S4P4B：S4ABC=_

【答案】g

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题.

将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可.

【详解】解：设丽=：前，加=5而，则根据题意可得，AP=AM+AN^

如图所示，作CH1AB,NQ_LAB,垂足分别为H,Q,则

11

SpMBC'AB'CH,S⑦PAB=-AB-NQ

又".S'PAB=3

人•CH-AC-5',•S®ABC5

故答案为：

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.在平行四边形力仇力中，HB=a»AD=

图1图2

⑴如图1,如果巨尸分别是比；比的中点，试用互，方分别表示乔，~DE.

(2)如图2,如果。是力C与物的交点，G是〃。的中点，试用窗方表示近.

【答案】解：(1)•••£,尸分别是比；欧的中点，

：.~BF=BC+CF=AD+癖=AD-那=-1a+S;

DE=DC+CE=AB-^AD=a-^bi

(2)~BD=AD-AB=b-a^

•・•。是劭的中点，G是〃。的中点，

：.BG=^BD=l(b-a),

AG=AB+BG=/+：(/)—G)=；方+jb.

【解析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于中档题.

⑴根据运算性质，利用同=就+不=而+：而=而一：荏，DE=~DC+CE=一而，即可求出

结果；

(2)根据明=?@一五)，利用彩=荏+而，即可求出结果.

18.20.求证：若4B,C三点共线，则对于任意一点，都有元=+y丽且x+y=1.

【答案】证明：因为儿B,C三点共线，

则同二4近，

即至一二M元-西，

历=一班+?加

A11+A

令…了y=T，

1,1+A，

%+y=一丁才二L

所以而=%6?+y而且比+y二1，

则命题得证.

【解析】此题考查向量共线的条件，考查平面向量基本定理及向量的加减、数乘运算，由力，反C三点共

线，财诟=4元得出炉=一：而+早萌,令％=/y=亨,x+y=-；+亨=1,所以元=%瓦?+

y~OB^.x+y=1,则命题得证.

19.如图，扇形如"的周长为6,NB04=lrad,必为△OAB内一点，且两+

OA

2宿+3丽=6，〃"的延长线交力£于点〃，设6？=心丽=反

(1)求扇形物"的面积；

(2)用心石表示诟.

【答案】解•：(1)设扇形面8的半径为八弧长为/

由题意知2r+，=2r+r=6,

•••r=2,I=2

•••扇形的面积S=^lr=2.

(2)由El知两+2询+3丽=6，

可得丽+2丽―2函+3丽—3而=6

即6M7=2而+3方=2己+3方，二而=冢+尹

设话=£丽，前=4瓦?，

则丽=4-0D=OS+5D=5+A(a-S)=Aa+(1-A)S

0D=|a+1d.

【解析】(1)直接利用扇形的周长和弧长公式求出结果.

(2)利用向量的线性运算和平面向量基本定理求出结果.

本题考查的知识要点：弧长公式的应用，向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力,

属于基础题型.

20.如图，在6x6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量乙瓦下满足口=%4+

yb(x,yG^,求x+y的值.

【答窠】解：建立如图所示的平面直角坐标系,

设小方格的边长为1，则可得五=(1,2),5=(2,-3)，C=(3,4)，

-7.〔3=x+2y

^c=xa+ybi-[4=2X-3/

17

X=—iq

解得｛2，囚此4+y=v

y=-

V7

【解析】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的坐标运算是解决本题的关键，属于基础题，建立平面

直角坐标系，根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可.

21.已知0、4、M、8为平面上四点，且而7=；1而+(1-冷瓦？

(1)求证：力、4、/三点共线；

(2)若点4在线段4V上，求实数2的范围.

【答案】解：(1)由而7=入用+(1-4)布得：

OM-OB=^-1)OB+(1-A)OA=(A-1)(而-西)；

RW