空间中的距离+高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.5空间中的距离学习目标

抬头望星光

1.理解图形与图形的距离的概念.(数学抽象)

2.理解空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及相互平行的平面与平面之间的距离的概念,会求它们之间的距离.(数学抽象、逻辑推理)

3.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离.(逻辑推理、数学运算)教材认知·内化必备知识空间中的距离名称概念求法两点之间的距离空间中两个点连线的线段长求向量的模点到直线的距离过直线外一点作直线的一条垂线段的长求向量的模点到平面的距离过平面外一点作平面的一条垂线段的长d=,其中A是平面外一点,B是平面内一点,n是平面的一个法向量名称概念求法线到面的距离当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离转化为求点到平面的距离面到面的距离(公垂线段长)当平面与平面平行时,一个平面内的任意一点到另一个平面的距离点睛(1)用向量法求直线外一点到直线的距离的实质是构造直角三角形求解,优点是在空间中无法直接作出点到直线距离时,利用向量法避免了作辅助线.(2)过平面外一点向平面作垂线段,则该垂线段所在的直线是唯一的,也是连接平面外一点与平面内任一点的所有线段中最短的.【思考】如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离?【质疑辨析】(1)点到直线的距离就是点到直线的最短距离.

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)(2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离.(

)提示:直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离.(3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离.

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)提示:两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离.√××合作探究·形成关键能力

【补偿训练】

如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点M,N分别是边AB,CD的中点,则MN的长为________.

类型二

求点到直线的距离(逻辑推理、数学运算)[例2](教材提升·例2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.【思路导引】建系,用坐标法求解.【总结升华】利用向量法求点到直线的距离的常用方法(1)利用空间向量找垂线段,再求模即可.(2)①建立空间直角坐标系;②求直线的方向向量;③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量;④利用勾股定理求点到直线的距离.注意:线上的点可以任意取,但一般选择特殊点(如端点),同时直线的方向向量也可以任意取.

再就是平行直线间的距离可转化为点到直线之间的距离.

【名师点睛】作截面常用的三种方法:直接法,截面的定点在几何体的棱上;平行线法,截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;延长交线得交点,截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

【总结升华】用向量法求点面距的方法与步骤

【解析】选D.由正方体的性质:AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,且AB1⊂平面AB1D1,D1B1⊂平面AB1D1,DC1⊂平面BDC1,DB⊂平面BDC1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:

【总结升华】线面距离与面面距离的求解思路(1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.注意:求空间的各种距离的关键点是合理化和准确计算,选择点的时候一般选取相关线段的端点或已知的其他的点.

2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的棱DA,DC和DD1的长分别为1,2,1.求:(1)顶点B到平面DA1C1的距离;(2)直线B1C到平面DA1C1的距离.3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面E