人教版高中数学精讲精练必修二10.1 随机事件与概率（精讲）（解析版）

10.1随机事件与概率（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一随机事件的判断【例1】（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（

）①未来某年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；④任取，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；④任取，则，属于必然事件；所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.故选：B【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B2（2023·高一课时练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；

②方程有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；

④三角形中，大角对大边．【答案】①③【解析】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是①③.故答案为：①③.3．（2023·高一单元测试）下列事件：①空间任意三点可以确定一个平面；②367个人中至少有两个人的生日在同一天；③6个人的生日在不同月份；④掷两次骰子，点数和不小于2；⑤两条异面直线所成角为钝角.其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.【答案】

①③

②④

⑤【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件；因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件．故答案为：①③，②④，⑤．4．（2022秋·安徽马鞍山）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）【答案】①③【解析】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，故答案为：①③.考点二有限样本空间【例2】（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则这个试验的样本空间为Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1号球和2号球]（2）“2个球都是白球”这一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.【一隅三反】1．（2022秋·山东济宁）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的样本空间；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件的含义.【答案】(1)答案见解析(2)(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为【解析】（1）样本空.（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.2．（2022·课时练习）先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．(1)写出对应的样本空间；(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．【答案】(1)Ω，；(2)，．【解析】(1)用表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成的形式，其中都是中的数．因此，样本空间Ω，；(2)根据题意，，．3．（2022·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件所表示的实际意义．【答案】(1)答案见解析；(2)(3)(4)得到的点是第三象限内的点.【解析】(1)样本空间为：(2)由知这个试验样本点的总数为.(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.考点三事件的关系与运算【例3-1】（2022秋·陕西榆林）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（

）A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件C．A和C为对立事件 D．B与D为互斥事件【答案】C【解析】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；事件B：“击中环数大于8”与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.故选：C.【例3-2】（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（

）A． B． C．与互斥 D．与互为对立【答案】B【解析】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确；事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”，“点数为5”，即，B正确；事件与都含有“点数为6”的基本事件，与不互斥，C不正确；事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确.故选：B【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（

）A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1【答案】C【解析】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．所以事件中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件中所含的样本点为（2，4），共1个．故选：C．2．（2022上海徐汇）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件【答案】A【解析】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.故选：A.考点四古典概型【例4-1】（2022·高一课时练习）下列不是古典概型的是（

）A．在6个完全相同的小球中任取1个B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率【答案】B【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．故选：B【例4-2】（2023·陕西西安）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，则共有：10种情况，满足条件的有4种情况，则.故选：D【一隅三反】1．（2022·高一课前预习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．故选：A.2．（2023春·江西）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232

321

230

023

231

021

122

203

012231

130

133

231

031

123

122

103

233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可知，所有事件的结果数有18种，其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.故答案为：C3．（2023贵州六盘水）当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中的值；(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.【答案】(1)(2)75，73.5(3)【解析】（1）依题意可得：，解得：；（2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为，平均数的估计值为，所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5..（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1.分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5.中所抽取的1人编号为.所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，，，共15个样本点.其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以.所以这2人来自不同组的概率为.考点五概率的性质【例5-1】（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；因为，所以，而不一定为0，故B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故D正确.故选：D.【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【解析】事件为两个互斥事件，，，故①正确；事件为两个互