3.2 基本不等式（六大题型7个方向）（原卷版）

3.2基本不等式课程标准学习目标1、理解基本不等式的内容及证明.2、熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.1、数学建模：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.2、逻辑推理：熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、数学运算：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、直观想象：运用图像解释基本不等式.知识点01基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．知识点02基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：.知识点03基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．知识点04用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【即学即练4】（2023·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是.题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2023·全国·高一专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．例2．（2023·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例3．（2023·高一课时练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③变式1．（2023·高一课时练习）下面四个推导过程正确的有（

）A．若a，b为正实数，则B．若，则C．若，则D．若，则变式2．（多选题）（2023·高一课时练习）下列推导过程，正确的为（

）A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2B．因为x∈R，所以1C．因为a＜0，所以+a≥2＝4D．因为，所以【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．题型二：利用基本不等式比较大小例4．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则，，2ab，中最大的一个是．例5．（2023·高一课时练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为．例6．（2023·高一课时练习）若，且，则中值最小的是变式3．（2023·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是.变式4．（2023·山东青岛·高一山东省青岛第十六中学校考阶段练习）已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4个结论:①ab>1；②a2+b2>2；③和中至少有一个数小于1；④和中至少有一个小于2，其中，全部正确结论的序号为.变式5．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；

②；

③(a＋b)；

④a2＋9＞6a.其中恒成立的是(填序号).变式6．（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式：①；

②；

③；④；

⑤.其中正确的是(写出序号即可)．变式7．（2023·高一课时练习）已知都是正实数，且，则与的大小关系是．变式8．（2023·高一单元测试）若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有个．【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三：利用基本不等式证明不等式例7．（2023·全国·高一专题练习）设非负实数满足，求证：例8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，证明.(1)；(2)例9．（2023·全国·高一专题练习）已知，都是正数.(1)若，证明：；(2)当时，证明：.变式9．（2023·黑龙江绥化·高一统考期中）已知、是正实数，且，证明：(1)；(2).变式10．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知求证：；（2），，求证：.变式11．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）已知且.求证：(1)；(2).变式12．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）（1）已知，求证：（2）设，，为正数，求证：【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．题型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例10．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，，则的最大值是．例11．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则的取值范围是.例12．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数a，b满足则ab的最大值为.变式13．（2023·全国·高一专题练习）已知（），则的最大值是.变式14．（2023·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为．变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知为正实数，且满足，则的最大值为．变式16．（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值是．（2）常规凑配法求最值变式17．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．变式18．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3变式19．（2023·高一课时练习）若，则的最小值为（）A．3 B．－3C．4 D．－4变式20．（2023·浙江台州·高一校联考期中）若，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式21．（2023·全国·高一专题练习）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4变式22．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16（3）消参法求最值变式23．（2023·全国·高一专题练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式24．（2023·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．（4）换元求最值变式27．（2023·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为.变式29．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．（5）“1”的代换求最值变式30．（2023·甘肃临夏·高一校考期末）若，，，则的最小值为．变式31．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数，满足，则的最小值为.变式32．（2023·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数、满足，则的最小值是.变式33．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为.变式34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（），则它的最小值为.变式35．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为.变式36．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为.变式37．（2023·江苏·高一专题练习）正实数满足，则的最小值为.变式38．（2023·全国·高一专题练习）若正实数满足.则的最小值为.（6）法变式39．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．（7）条件等式求最值变式41．（2023·全国·高一课堂例题）若正实数满足，则的最大值为.变式42．（2023·高一课时练习）已知实数满足，则的最大值为．变式43．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为.变式44．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为．变式45．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为．变式46．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为.变式47．（2023·安徽安庆·高一统考期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为．变式48．（2023·四川成都·高一统考期末）已知实数x，y满足，则的最小值为．变式49．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）已知，，，则的最小值为.【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．（2023·高一课时练习）对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为.例14．（2023·辽宁沈阳·高一统考期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是．例15．（2023·江苏·高一专题练习）对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是．变式50．（2023·江苏·高一专题练习）对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．变式51．（2023·江苏连云港·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是.变式52．（2023·全国·高一专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.变式53．（2023·北京丰台·高一北京市第十二中学校考期中）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是．变式54．（2023·贵州遵义·高一遵义四中校考阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为．变式55．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为．【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.例17．（2023·浙江温州·高一乐清外国语学校校考期中）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.例18．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；(2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小，变式56．（2023·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.变式57．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）（1）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．（2）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值．变式58．（2023·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．变式59．（2023·全国·高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．2．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·全国·高一专题练习）设为正数，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023·辽宁葫芦岛·高一校考期末）设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值6．（2023·高一单元测试）不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）若正实数满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为8．（2023·安徽蚌埠·高一统考期末）若均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知实数，，，则下