1.3.2　奇偶性题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1

第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性基础过关练题组一奇函数、偶函数的图象特征1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是()A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3)2.函数f(x)=3+xA.x轴对称 B.原点对称C.y轴对称 D.直线y=x对称3.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的函数是f(x)=.(写出符合条件的一个函数即可)

4.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.题组二函数奇偶性的判定5.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数6.已知f(x)=x2-2,x∈(-5,5],则f(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数7.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+(2)f(x)=2x(3)f(x)=x题组三利用函数的奇偶性求值8.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1xA.2 B.1 C.0 D.-29.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx.若f(2)=-3,则m的值为.

10.已知函数f(x)=-x2+x,x>11.函数f(x)=ax3+bx+cx+5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为题组四函数奇偶性与单调性的综合应用12.(2020辽宁抚顺一中高一上月考)下列函数中,既是奇函数又在定义域内为增函数的是()A.y=x+1 B.y=-x2C.y=1x 13.(2020福建宁德部分一级达标中学期中)已知f(x)是定义域为[-3,3]的奇函数,当-3≤x≤0时,f(x)=x2-2x,那么不等式f(x+1)>f(3-2x)的解集是()A.[0,2] B.0,23C.-∞,23 D.23,+∞14.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测)函数f(x)为R上的奇函数,在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,则xf(x)>0的解集是.

15.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.能力提升练一、选择题1.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,★★☆)下列为偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=C.f(x)=(x-1)1+x1−2.(2020河北承德一中高一上月考,★★☆)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则()A.f-32<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f-32<f(2)C.f(2)<f(-1)<f-32 D.f(2)<f-32<f(-1)3.(2018北京市十一学校高一上期中联考,★★☆)设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3,若f(x+a)为偶函数,则a等于()A.-2 B.2 C.-1 D.14.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,★★☆)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,2] D.[1,3]5.(2020河南郑州高一上期末,★★☆)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为()A.-1 B.1 C.2 D.06.(2020江西临川一中高一上月考,★★★)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1xA.-23 B.73 C.-3 二、填空题7.(2020河南省实验中学高一上期中,★★☆)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.那么当x<0时,f(x)=.

8.(2020天津六校高一上期中联考,★★☆)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-3)=6,则f(3)=.

9.(2020河北石家庄二中高一上月考,★★★)已知函数f(x)=-x24三、解答题

10.(2020山东菏泽高一上期末联考,★★☆)已知函数f(x)=x2(1)求函数f(x)的解析式;(2)函数f(x)在(0,p]上单调递增,试求p的最大值,并说明理由.11.(2020河南洛阳一高高一上月考,★★★)已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f1(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.12.(2020河北唐山一中高一上期中,★★★)设函数f(x)是增函数,对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0);(2)证明:f(x)是奇函数;(3)解不等式12f(x2)-f(x)>1

答案全解全析第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性基础过关练1.A由f(-3)=2知,点(-3,2)在奇函数的图象上,∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f(x)的图象上.2.Cf(x)的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞),D关于原点对称.任取x∈D,都有f(-x)=3+(−x)2∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故选C.3.答案1解析已知f(x)是奇函数,若x=0有意义,则f(0)=0,即函数f(x)的图象一定过原点,因此举出x=0不在定义域内的奇函数为反例即可,如f(x)=1x4.解析(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)在R上的图象,如图.(2)xf(x)>0即x与f(x)同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).5.B∵x∈(-a,a)关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.6.D∵f(x)=x2-2的定义域为(-5,5],不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.7.解析(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x2-1=0.因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(-1)=f(1)=0.又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.8.D由题知,函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).将x=1代入解析式f(x)=x2+1x,得f(1)=12+19.答案1解析∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2)=3,∴f(-2)=(-2)2-2m=3,∴m=1210.答案1解析当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x.∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2+x,即ax2+x=x2+x,∴a=1.11.答案8解析设g(x)=f(x)-5=ax3+bx+cx∵g(-x)=-ax3-bx-cx∴g(x)是奇函数(x≠0),∴g(3)=-g(-3)=-[f(-3)-5]=-f(-3)+5=-2+5=3,又g(3)=f(3)-5=3,∴f(3)=8.12.D选项A中函数为非奇非偶函数;选项B中函数为偶函数;选项C中函数是奇函数,但分别在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;选项D中的函数是奇函数,在定义域上也是增函数,故选D.13.B当-3≤x≤0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,易知函数f(x)在[-3,0]上为减函数,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,3]上也为减函数,结合函数图象(图略),f(x)在[-3,3]上为减函数.于是不等式f(x+1)>f(3-2x)等价于-3≤x+1≤3,-3≤3-214.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-5)=0.作出草图如下.∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,∴xf(x)>0的解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).15.解析(1)根据题意,f(x)为奇函数且在R上是增函数,则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为{x|x<-1}.(2)根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2,即不等式的解集为{x|-1<x<2}.能力提升练一、选择题1.D在A中,f(x)=x3-1xf(-x)=-x3+1x,∵f(x)=-f(-x),且定义域关于原点对称,∴f(x)是奇函数;在B中,f(x)=1−x2|x-2|-2=2.D由偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,得f(x)在[1,+∞)上是减函数,且f-32=f32,f(-1)=f(1),又因为2>32>1,所以f(2)<f32<f(1),即f(2)<f-32<f(-1),故选D.3.B∵f(x+a)为偶函数,∴f(x+a)=f(-x+a),∵f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3=x2+(2a-4)x+a2-4a+3,f(-x+a)=(-x+a)2-4(-x+a)+3=x2-(2a-4)x+a2-4a+3,∴f(x+a)-f(-x+a)=x2+(2a-4)x+a2-4a+3-[x2-(2a-4)x+a2-4a+3]=0,∴a=2.故选B.4.C函数f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1.所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.故选C.5.D依题意得,f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1,因此,f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.6.Af(x)+g(x)=x2-1x用-x替换①式中的x得,f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x2因为函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此由②可得,-f(x)+g(x)=x2-1-联立①③,消去g(x),解得f(x)=-12x+2所以f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-故选A.二、填空题7.答案x2+2x解析函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x,则当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,故f(x)=-f(-x)=x2+2x,故答案为x2+2x.8.答案10解析设F(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx,易得F(x)是奇函数,因为f(-3)=6,所以F(-3)=f(-3)-8=6-8=-2,又F(x)是奇函数,因此F(3)=-F(-3)=2,从而f(3)=F(3)+8=2+8=10.9.答案(-2,0)∪(0,2)解析因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)=-x所以0<|t|<2,所以t≠0,|解得-2<t<0或0<t<2.三、解答题10.解析(1)因为函数f(x)=x2所以f(x)=-f(-x),即x2+2a所以f(x)=x2(2)f(x)=x2+2-3x=-13x2+2x=-任取x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,则f=-=-=-13·(x2-x因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,当x1,x2∈(0,2]时,x1x2-2<0,从而f(当x1,x2∈[2,+∞)时,x1x2-2>0,从而f(因此f(x)在(0,2]上是增函数,f(x)在[2,+∞)上是减函数.由题知f(x)在(0,p]上单调递增,所以p的最大值为2,即p的最大值为2.11.解析(1)函数f(x)=ax+由于f12=25,所以12a1+14(2)证明:在(-1,1)上任取x1,x2,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x(3)由于函数是奇函数,所以f(-x)=-f(x),因此f(t-1)+f(t)<0可化为f(t-1)<-f(t)=f(-t).由(2)知,f(x)在(-1,1)上是增函数.所以依题意可得-1<t-1<