专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略（原卷版）

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 6【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 14【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 24【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 31【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 38【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角中，，，动点从点出发运动到点停止，动点从点出发运动到点停止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒．

2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为．【变式训练】1．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为．2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为．3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为．4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为．【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【变式训练】1．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形中，，点E是边的中点，将沿翻折得，点F落在四边形内，点P是线段上的动点，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值为．2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，，E是上的一点，且，F，G是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为．

4．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为．

【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．1．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（

）．

A．

B．

C．

D．

【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．【变式训练】1．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．

(1)________；__________．(2)若与相似，求的值；(3)连接，如图2，若，求的值．2．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；【特例研究】(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．①求证：；②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【变式训练】1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：①______；②直线与直线所夹的锐角等于_____