人教版八年级数学上册：三角形、全等三角形 综合练习

专题：三角形

一、选择题

2.设三角形三边之长分别为3,8,1-2”，则。的取值范围为()

A.—6<a<-3B.—5<a<-2C.-2<a<5D.a<-5或a>2

3.如图，NBC中，AB+8C=10,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点。和E,则

△8CO的周长是()

A.6

B.8

C.10

D.无法确定

4.如图，点8、F、C、E在一条直线上，AB\\ED,AC\\FD,那么添加下列一个条件后,

仍无法判定AABC三△QEF的是()

A.AB=DEB.AC=DFC./-A—/.DD.BF=EC

5.如图，在RQABC中，4c=90。，4c4B的平分线交BC

于Q,OE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC=3,

则DE的长为（）

A.1B.2D.4

6.如图，在等边"BC中，点、D,E分别在边BC,AB上,

且BD=AE,AD与CE交于点F,作CM1.AD,垂足为M,

下列结论不正确的是（）

A-AD=CE

B.MF=*F

CZBEC=ZCDA

D-AM=CM

7.如图，在等腰AABC中，AB=AC,ABAC=50°,zBAC的平分线与AB的垂直平分

线交于点。、点C沿EF折叠后与点O重合，则4CEF的度数是（）

A.(WB.55C.5(),D.15

8.如图，AQ是AABC的角平分线，DE,。尸分别是MBZ）和"CZ）的高，连接EF交

于G.下列结论：①AD垂直平分EF；②所垂直平分AD；③平分4EOF；

④当NBAC为60。时，AG=3DG,其中不正确的结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，乙4。8是一个任意角，在边

OA,08上分别取OZ>OE,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与力，E重合,

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这时过角尺顶点尸的射线OF就是〃OB的平分线，你认为工

人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作

法的道理是（）

A.SASB.AS4C.AAS

10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，则其顶角为（）

A.45"B.135cC.45、或675D.5或135"

11.如图，点8、尸、C、E在一条直线上/B||ED,A8=OE,要使A

△ABC三△£>£：尸,需要添加下列选项中的一个条件是:（）

A.BF=EC

B.AC=DF

C.乙B=Z-E

D.BF=FC

12.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a-5）2+|Z?-12|+c2-26c+169=0,则三角

形的形状是（）

A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

13.如图，已知：乙MON=30。,点Ai、4、A3、…在射线ON上，点8卜&、&、…在

射线OM上，△①&4、“383X4、…均为等边三角形，若04=1,则“939Ao

A.32B.64C.128D.256

二、填空题

14.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分

别交A8,AC于点E、F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，

则ABOM的周长的最小值为.

A

15.如图，在aABC中，乙4=40。，。点是"BC和乙4cB角平分线的

交点，贝IJ/B£>C=.

16.如图，等腰三角形A8C的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线E尸分

别交AC,AB边于E,尸点，若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，

则△COM周长的最小值为.

17.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完

全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店.

18.如图，〃BC=〃C8,AD,BD、8分别平分AABC的外角ZE4C、内角41BC、外

角A4C/.以下结论：

①ADIIBC；②乙4cB=2乙4OB；③乙4£>C=90°-乙48。；④B。平分乙4OC；

⑤M£>C=/BAC.

其中正确的结论有（填序号）

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19.如图，在“BC中，〃=加。，乙4BC和乙4c。的平分线交于点4，得乙/；/A{BC

和44C。的平分线交于点A2,得乙的;…”20168C和乙420/6CD的平分线交于点A2017,

则以2017=°•

20.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放,

若41=52。，Z2=18°,则43=.

A/

D

cEBN

21.如图，CA1AB,垂足为点A,AB=8,AC=4,射线BAHAB,垂足为点8,一动点E

从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线4V运动，点。为射线上一动点，随着E

点运动而运动，且始终保持EO=CB,当点E离开点A后，运动秒时，&DEB

与ABCA全等.

22.如图，NBAC=110。，若A,B关于直线MP对称，A,C关于直线NQ对称，则NPAQ

的度数是.

23.如图，在AA8C中，已知点。、E、尸分别是BC、AD.BE

上的中点，且^ABC的面积为8c毋，则△BC尸的面积为

______cm2.

三、解答题

24.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,41=42.

(1)求证：4ABE二ACBD；

(2)证明：41=43.

25.如图，AABC中，AB=BC,乙48c=45。，BE1AC于点E,

A。，8c于点。，BE与AO相交于F.

(1)求证：BF=AC；

(2)若CD=3,求4尸的长.

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26.如图1,点M为直线AB上一动点，dPAB,APMN都是等边三角形，连接8N,

B

图4

(1)求证：AM=BN；

(2)分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数

量关系(不需证明)；

(3)如图4,当8M=A8时，证明：MN1AB.

27.如图，四边形ABC。中，〃BC+N£>=180°,AC平分/BAD,CE1AB,CFLAD.

试说明：(1)&CBE三KDF；

(2)AB+DF=AF.

28.在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，AD1BC,且AO=AB.

(1)如图1,DE1AB,DF1AC,垂足分别为点E,F,求证：AE+AF-AD

图1

(2)如图2,如果NE•。尸=60。，且NED尸两边分别交边4B,4c于点E,F,那么线

段AE,AF,AO之间有怎样的数量关系？并给出证明.

29.如图(1),在AABC中，"BC、"C8的平分线相交于点。

(“)若〃=60。，求4BOC的度数；

⑹若乙4=相，则NBOC=；

(c)若NBOC=3",则乙4=；

(2)如图(2),在AA'B'C中的外角平分线相交于点O',乙4'=40°,求

NB'O'C的度数；

(3)上面(1),(2)两题中的NBOC与4夕O'C'有怎样的数量关系？

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30.(1)问题发现

如图1,△ACB和AOCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接8E,

求〃EB的度数.

(2)拓展探究

如图2,"C8和均为等腰直角三角形，乙4c8=NOCE=90。，点A、D、E在

同一直线上,CM为&DCE中OE边上的高，连接BE.请求乙4E8的度数及线段CM,

AE,8E之间的数量关系，并说明理由.

31.如图，点C是线段AB上除点A、8外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB

的同旁作等边△AC。和等边ABCE,连接4E交。C于M,连接80交CE于N,连

接MN.

D

E

(1)求证：AE=BD；

(2)求证：MN\\AB.

32.以点A为顶点作两个等腰直角三角形6ABC,&ADE),如图1所示放置，使得

一直角边重合，连接

(1)说明B£>=CE；

(2)延长BZ),交CE于点F,求乙BFC的度数；

(3)若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由.

33.如图，在等腰即AABC中，乙4cB=90,。为8c的中点，DELAB,垂足为E,过点

B作BFWAC交DE的延长线于点F,连接CF.

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I)

(1)求证：AD1CF；

(2)连接AF,试判断AACF的形状，并说明理由。

34.探索归纳：

(1)如图1,已知AABC为直角三角形，乙4=90°,若沿图中虚线剪去41,则41+42

等于;

A.90°B.135°C.270°D.315°

(2)如图2,已知AABC中，"=40。，剪去乙4后成四边形，则41+42=；

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想Z1+/2与乙4的关系是

(4)如图3,若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究41+42与“的关系

并说明理由.

35.如图(1)：在AABC中，4ACB=90。，AC=BC,过点C在aABC外作直线MN,AMA.MN

于M,BNLMN于N.

(1)求证：MN=AM+BN.

(2)如图(2),若过点C在AABC内作直线MN,AMLMN于M,BNLMN于N,

则图(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

36.已知，"BC是等腰直角三角形，BC=AB,A点在x负半轴上，直角顶点8在y轴

上，点C在x轴上方.

图1图2।图3

(1)如图1所示，若A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,1),求点C的坐

标；

(2)如图2,过点C作CDly轴于。，请直接写出线段OA,OD,C£＞之间等量关

系；

(3)如图3,若x轴恰好平分NBAC,BC与x轴交于点E,过点C作CFlx轴于F,

问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由.

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37.如图，"08=90。，点C、。分别在射线OA、08上，CE是乙4c。的平分线，CE

的反向延长线与NC。。的平分线交于点F.

(1)当/OCD=50。(图1),试求乙足

(2)当C、。在射线0A、。8上任意移动时(不与点。重合)(图2),4尸的大

小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出NF.

38.在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且ADLMN于。，BE1MN

于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证:①△AOC三②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE：

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问£>E、AD,8E具有怎样的等量关

系？请写出这个等量关系，并加以证明.

39.如图①，+,AB=AC,NC的平分线交于0点，过O点作EF||8C交AB、

AC于E、F.试回答：

(1)图中等腰三角形是.猜想：EF与BE、C尸之间的关系是.理

由：

(2)如图②，若AB彳AC,图中等腰三角形是.在第(1)问中EF与BE、

CF间的关系还存在吗？

(3)如图③，若AA8C中的平分线8。与三角形外角平分线C。交于。，过。

点作OEIIBC交4B于E,交力C于尸.这时图中还有等腰三角形吗？E尸与BE、CF

关系又如何？说明你的理由.

40.已知：如图1,2V1CB和ADCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接

BE.

(1)求证：AD=BE；

(2)求乙1EB的度数；

(3)拓展探究：如图2,"CB和均为等腰直角三角形，£ACB=ADCE=90°,

点A、。、£在同一直线上，CM为△力CE中OE边上的高，连接BE.

①乙4E8的度数为°；

②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为.(直接写出答案，不需要说

明理由)

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41.如图1,点尸、。分别是边长为4cm的等边AABC边AB、8c上的动点，点尸从顶

点A,点。从顶点B同时出发，且它们的速度都为lc〃?/s,

(1)连接4Q、CP交于点M,贝IJ在P、。运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，

则说明理由，若不变，则求出它的度数；

(2)何时APB。是直角三角形？

(3)如图2,若点尸、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线A。、

CP交点、为M,则4cM。变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

图1图2

42.如图1是一个五角星

(1)计算：的度数.

⑵当BE向上移动，过点A时,如图2,五个角的和(即/EO+/B+/C+/D+/E)有

无变化？说明你的理由.

43.已知NAMN=120。，AC平分zMAN,点8、。分别在AN、AM上.

(1)如图1,若乙48c=〃DC=90。，请你探索线段A。、AB、AC之间的数量关系，

并证明之；

(2)如图2,若乙48C+乙4。C=180。，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给

出证明；若不成立，请说明理由.

44.如图，在AABC中，AB=AC=2,zB=40°,点。在线段BC上运动(点Q不与点8、

C重合)，连接A。，作ZA£>E=4O。，QE交线段AC于点E.

(1)当NBD4=115°时，4EDC=°,LAED=°；

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(2)线段0c的长度为何值时，&ABD三XDCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，△4?£的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求NBD4

的度数；若不可以，请说明理由.

45.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.

探究1：如图1,在AABC中，。是乙4BC与ZACB的平分线B0和C0的交点，通

过分析发现4BOC=90。*?!,理由如下：

•••20和CO分别是48C和乙4cB的角平分线，

N2=LCB,

22

AZ!+Z2=-(ZJ\BC+Z-ACB)=-(2LABC+Z.ACB)=-(180。-〃)=90。--〃，

2222

i-1

.♦ZBOC=180°-(41+42)=180°-(90°」〃)=90°U〃.

22

(1)探究2：如图2中，。是“BC与外角乙4CD的平分线BO和CO的交点，试

分析M0C与“

有怎样的关系？请说明理由.

(2)探究3：如图3中，。是外角乙。BC与外角aECB的平分线8。和C。的交点，

则zBOC与"

有怎样的关系？(直接写出结论)

(3)拓展：如图4,在四边形A8C。中，。是乙48c与NOCB的平分线BO和CO

的交点，则NBOC与有怎样的关系？(直接写出结论)

D

B.

图2图3

46.已知:点A(4,0),点B是)，轴正半轴上一点，如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形

ABC.

⑴当点8坐标为(0,1)时，求点C的坐标；

(2)如图2,以为直角边作等腰直角△O8D点。在第一象限，连接CD交y轴于点

E.在点B运动的过程中的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请

说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题是一道作图题，考查了三角形的高的作法，是基础知识要熟练掌握.作哪一条边上

的高，即从它所对的顶点向这条边或者这条边的延长线作垂线即可.

【解答】

解：4是AABC的边8c边上的高，故错误；

员不是AABC任意三边的高线，故错误；

C.是AABC的边上的高，故正确；

。.是AABC的边AC上的高，故错误.

故选C.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运

用，解答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键.根据三角形的三边关系，两边

之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即可.

【解答】

解：由题意，得

8-3<l-2a<8+3,

即5<1-2«<11,

解得-5<“<-2.

故选B.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查线段垂直平分线性质.根据线段垂直平分线可得AD=DC,然后再利用线段

之间的转化进行求解.

【解答】

解：•・•£>£是AC的垂直平分线，

.•.AD=DC,

:.ABCD的周^:=BC+BD+DC=BC+BD+AD=BC+AB=10.

故选C.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用

全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型.分

别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS.AAS.ASA,HL进行判

断即可.

【解答】

解：ACWFD,

:.乙B=4E,ZJ\CB=Z.DFE,

A.添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；

B.添加AC=OF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；

C.添力□乙4=4。不能判定AABC三AOEF,故本选项符合题意；

D添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意.

故选C.

5.【答案】A

【解析】解：垂直平分AB,

：.DA=DB,

:.乙B=4DAB,

•・4。平分4cA8,

:.4CAD=4DAB,

•••ZC=9O0,

.•.34040=90。，

•••@0=30。，

•••AO平分4c48,DELAB,CD].AC,

.■,CD=DE=-BD,

2

■:BC=3,

:・CD=DE=1,

故选：A.

由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得NB=NCAZ)=ND4B=30。，

本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离

相等是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性

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质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

由等边三角形的性质和已知条件证出AAEC三△3D4,即可得出A正确；

由全等三角形的性质得出4乙4CE,求出NCFM=乙4/£二60。，得出NFCM=30。，即

可得出B正确；

由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；

。不正确.

【解答】

解：4正确；理由如下：

•・♦△A8C是等边三角形，

.-.zBAC=zB=60°,AB=AC

又・・・AE=BD

在"EC与"ZM中，

AB=AC

Z-BAC=乙B,

AE=BD

••.△AEC三△3D4(SAS),

・.AD=CE；

8正确；理由如下：

：LAEC=LBDA,

.'^BAD=ZJ\CE,

.^FE=ZACE+/.CAD=/.BAD+ACAD=/LBAC=60°,

・・zCFM=乙4FE=60。，

vCMXAD,

・•・在•△CFM中，zFCM=30°,

.-.MF=iCF；

C正确；理由如下：

•・2BEC=LBAD+AAFE,ZAFE=60°,

-.Z.BEC=/-BAD+£AFE=Z.BAD+60°,

o

^CDA=z.BAD+^.CBA=z.BAD-i-609

乙BEC=^CDA；

。不正确；理由如下：

要使4M=CM,则必须使4D4c=45。，由己知条件知/D4C的度数为大于0。小于60。均可,

.♦.AM=CM不成立；

故选

7.【答案】C

【解析1解：如图，连接。8,

•zBAC=50。，A。为NBAC的平分线，

.­.zBAO=-zBAC=-x50°=25°.

22

又・.・A3=AC,

.'.z_ABC=zACB=65°.

,・・。0是A3的垂直平分线，

・・OA=OB,

：./.ABO=/.BAO=25°f

.^OBC=AABC-AABO=65°-25°=40°.

•••AO为48AC的平分线，AB=ACt

・・・直线AO垂直平分3c

,QB=OC,

・•.乙OCB=KOBC=40。,

・・•将NC沿EF（E在3c上，尸在AC上）折叠，点。与点O恰好重合，

.'-OE=CE.

・ZCOE=NOCB=40。；

在△OCE中，zOEC=1SO°-ACOE-Z.OCB=180°-40°-40°=100°,

.­■Z.CEF^-z.CEO=50°.

2

故选c.

连接08,OC,先求出48Ao=25。，进而求出NOBC=40。，求出NCOE=NOCB=40。，最后

根据等腰三角形的性质，问题即可解决.

本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换

的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能求出MAAED三用

是解此题的关键.根据角平分线性质求出。族。凡证"EZg推出AE=AF,再

逐个判断即可.

【解答】

解：是AABC的角平分线，DE,。尸分另D是"8。和△ACD的高，

:.DE=DF,/AED=Z.AFD=90°,

在Rt^AED和RsAFD中，

第22页，共53页

(AD=AD

IDE=DF'

•••RtAAEDwRmAFD(HL),

:.AE=AF9£ADE=Z.ADF,

・•・AO平分乙EOF；③正确；

•••AO平分4&AC,AE=AFfDE二DF,

MO垂直平分£尸，①正确；②错误，

vzBAC=60°,

.•"43=30。，

・・・AG=&E,AD=^-AE,

23

.-.DG=^-AE,

6

“G=3OG,④正确.

故选A.

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定及性质.要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知

识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养.由三边对应相等得△QOF三AEOF,

即由SSS判定两个三角形全等.做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证.

【解答】

解：依题意知，

在A。。尸与AE。尸中，

OD=0E

DF=EF,

OF=OF

.-.LDOF=LEOF(SSS),

:.丛OF=^BOF,

即。尸即是乙4OB的平分线.

故选。.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质.运用了分类讨论思想此题难度

适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解.首先根据

题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45。.另一

种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135。.

【解答】

解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

"=45°,

即顶角的度数为45。.

②如图，等腰三角形为钝角三角形,

■：BD1AC,4。8A=45°,

:.Z.BAD=45°,

.-.ZBAC=135°.

故选。.BC

11.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决

于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对

应相等，则必须再找一组对边对应相等，若已知一边一•角，则找另一组角，或找这个角

的另一组对应邻边.

根据“SAS”可添力使AABC三

【解答】

ft?："ABWED,AB=DE,

■,■Z-B=Z.E,

...当BEEC时，

可得BC=EF,

可利用“SAS”判断AABC三△OEF.

故选A.

12.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是绝对值、偶次方的性质、勾股定理的逆

定理、完全平方公式，关键是证出a,b,c之间的关系.根据给出的条件求出三角形的

三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状.

【解答】

解:v(a-5)2+|Z?-12|+C2-26C+169=0,

(tz-5)2+\b-n\+(c-13)2=0,

第24页，共53页

b=\2,c=13,

V52+122=132,

;此三角形是直角三角形.

故选£>.

13.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，图形规律问题的有关知识，根

&&=482,4585=16802

据已知得出小A4B4=SBtA2,进而发现规律是解题关键.据等腰

三角形的性质以及平行线的性质得出481||A28211A3当,以及42&=28凶2,得出

A3B3=4B|A2=4,A4B4=8B|A2=8,A5B5=16BN2…进而得出答案.

【解答】

1B\=A2BI,z.3=z4=z12=60°,

AZ2=120°,

MMON=3。。,

AZ1=180O-120°-30O=30°,

又・.N3=60。，

.*.z5=180o-60o-30o=90°,

•・2MON=41=30。，

/.OA\=A\B\=\,

••A2B\=l9

•••△A2&A3、△A3&A4是等边三角形,

.•.z11=z10=60°,z13=60°,

vz4=z12=60°,

・・・A1B1\\A2B2\\A3B3,B1A21182A3,

:.乙1=z.6=z.7=30°,z.5=z.8=90°,

.,4252=28142，8认3=2324,

.\^3^3=4^|^2=4,

A4&=88[A2=8,

A5B5=16B|A2=16,

的边长为2”」，

的边长为2%厂28=256.

故选：D.

14.【答案】8

【解析】【分析】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，等腰三

角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AZ)交EP与点

M',连结AM,由线段垂直平分线的性质可知4例=M8,则8例+DW=AM+DW,故此当

4、M、力在一条直线上时，MB+OM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证

明AO为AABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AO的长.

【解答】

解：连接AO交EF与点M',连结AM.

•・•△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.ADLBC,

•••5AABC=|fiCMD=|x4x/\D=12,解得AD=6,

・••E尸是线段AB的垂直平分线，

:.BM+MD=MD+AM.

••・当点M位于点M'处时，MB+MD有最小值，最小值6.

:4BDM的周长的最小值为£>B+AD=2+6=8.

故答案为8.

15.【答案】110°

【解析】【分析】

此题主要考查学生对角平分线定义，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决

问题的关键.由。点是“BC和"C8角平分线的交点可推出N£)8C+〃>CB=70。，再利

用三角形内角和定理即可求出NBOC的度数.

【解答】

解：•・•£>点是4ABe和乙4cB角平分线的交点，

第26页，共53页

.-.^CBD=^ABD=-^ABC,4BCD=AACD=LSCB,

22

“BC+zAC3=180°-40°=140°,

/.zDBC+zDCB=70°,

.•.zBZ)C=180o-70°=110°,

故答案为110°.

16.【答案】10

【解析】解：连接AQ,

・・•△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

；C,

・・・S“6C=；8C・A£>=；X4XA£)=16,解得AD=8,'

・••EF是线段AB的垂直平分线，

•••点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

.♦•△CQM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+ifiC=8+|x4=8+2=10.

故答案为：10.

连接4。，由于AABC是等腰三角形，点。是8C边的中点，故AO18C,再根据三角形

的面积公式求出AQ的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点8关于直线EF

的对称点为点A，故AO的长为8M+MZ)的最小值，由此即可得出结论.

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关

键.

17.【答案】③

【解析】【分析】

这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际

生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法.

本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定

方法，即可求解.

【解答】

解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不

能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据4sA来配一块一样的

玻璃.应带③去.

故答案为③.

18.【答案】①②③⑤

【解析】解：(1)平分AABC的外角MAC,

：.Z.EAD=z.DACf

vzEAC=zACB+zABC,且zABOzACB,

.-.ADIIBC,

故①正确.

(2)由(1)可知AQIIBC,

：.z.ADB=z.DBCf

•・・B。平分乙48。，

：.Z.ABD=Z.DBC,

・•・乙43c=2乙405,

：AABC=Z-ACB,

・・."CB=2乙403,

故②正确.

(3)在△AOC中，ZJ4DC+ZCAD+Z1ACD=180°,

-CD平分aABC的外角乙A。7,

'-Z-ACD=Z.DCF,

-AD\\BCf

：-£ADC=Z-DCF,Z.ADB=Z.DBC,£.CAD=AACB

•••"CO二乙4QC,4cA。二乙4cB=乙48c=2乙48。，

：.zADC+X.CAD+/_ACD=MDC+2^ABD+zADC=2/_ADC+2zABD=\S0%

.-.zADC+zABD=90°

必OC=90。■乙430,

故③正确；

(4)如果5。平分乙ADC,则四边形ABC。是平行四边形，

-zABD=zADBf

:.AB=AD,

二四边形ABC。是菱形，

二只有在AABC是正三角形时才有BO平分乙4OC

故④错误.

(5)•.■ABAC+AABC=AACF,

■乙4c1尸，

222

"BDC+乙DBC=LCF,

2

JNBAC44ABe=Z_BOC+4OBC,

22

MDBCdABC,

2

・・・3乙BAC=^BDC,^z.BDC=^BAC,

第28页，共53页

故⑤正确.

故答案为：①②③⑤.

(1)由4。平分AABC的外角4EAC,求出4EA£>=4D4C,由三角形外角得

AEAC=AACB+AABC,S.AABC=^ACB,得出N£4O=ZA8C,利用同位角相等两直线平行

得出结论正确.

(2)由4@|8C,得出乙4£»B=4O8C,再由8。平分乙48C,所以以BD=〃)BC,

乙4BC=2乙4QB,得出结论乙4cB=2乙

(3)在AAOC中，ZADC+ZCAD+/ACD=180°,利用角的关系得

^ADC+^.CAD+^ACD=^ADC+2^ABD+^ADC=2^ADC+2^ABD=}S00,得出结论

zADC=90°-zABD；

(4)如果8。平分乙4OC,则四边形4BCO是菱形，只有在A4BC是正三角形时才有

B。平分〃QC故④错误.

-1-1-11

(5)由N8AC+ZABC=ZACF,WC+-/J\BC^-zACF,H-*gZ.BDC+^DBC=-2LACF

相结合，得出2MC=4B£)C,即NBOC=TNBAC.

本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解

题的关键是正确找各角的关系.

19.【答案】/

【解析】【分析】

本题考查了角平分线定义、三角形外角性质，解题的关键是推导出N4并能找出

规律.

利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证4A1=：乙4,进而可求乙41,由于N&=：乙4,

N&=：乙41=]乙4,…，以此类推可知乙42017即可求得.

【解答】

解：rA出平分"BC,4c平分乙48,

11

：.Z-A1BC=-Z,ABC,Z-A1CA=-Z-ACD,

vzA\CD-LA]+乙41BC,

即沁CO=+*BC,

.-.Z.A=*44C0-N48C),

■■■^A+zABC=Z.ACD,

.-Z-A=Z.ACD-Z-ABCf

〃2=亚4=蠢〃，…，

以此类推可知乙42017=品=（晶7）°，

故答案为品不

20.【答案】32°

【解析】【分析】

本题考查了多边形的外角和定理，正确理解乙3等于360。减去等边三角形的一个内角的

度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去N1

和42是关键.利用360。减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的

度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去〃和42即可求得.

【解答】

解：等边三角形的内角的度数是60。，正方形的内角度数是90。，正五边形的内角的度

数是：|<5-2；x180°=108°,

则z3=360°-60°-90°-108°-z1-z2=32°.

故答案为32。.

21.【答案】0,2,6,8

【解析】【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，此题要分两种情况：①当E在线段4B上时，②当E

在BN上，再分别分成两种情况AB=BE,AC=BE进行计算即可.

【解答】

解：①当E在线段48上，AB=EB时，4ACB6BDE,

这时E在4点未动，因此时间为0秒；

②当E在线段AB上，AC=BE时，XACB三&BED,

■,■AC=4,

■.BE=4,

AAE=8-4=4,

・・•点E的运动时间为4：2二2（秒）；；

③当E在3N上，AGBE时，

•MC=4,

：・BE=4,

...AE=8+4=12,

•・•点E的运动时间为12+2=6（秒）；

④当E在8N上，AB=EB时，LACB=LBDE,

AE=8+8=16,

点E的运动时间为16+2=8（秒），

第30页，共53页

故答案为0,2,6,8.

22.【答案】40°

【解析】解：•.NBAC=110。，

・"+4c=70。，

・••A,B关于直线MP对称，A,C关于直线NQ对称，

又,：MP,NQ为AB,AC的垂直平分线，

:.乙BAP=4B,Z_QAC=NC,

.♦ZBAP+NC4Q=70°,

;.Z.PAQ=^BAC-Z.BAP-/.CAQ=\10°-70°=40°

故答案为：40°.

由XSAC的大小可得/B与/C的和，再由线段垂直平分线，可得/BAP=NB,AQAC=AC,

进而可得NPAQ的大小.

本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单

的计算问题.

23.【答案】2

【解析】解：•.•点。为BC的中点，

•••ShAD(WS4ABC，SAEDC当ShEBC，

•・・点E为4。的中点，

■'•SAfc'DC=|5AAOC，

双双空"

:.S〉EB『2SAABC,

,.F点为3E的中点，

・，・S"c产f△£:6€'=卜芸"6(?=9茅8=2(cm)；

故答案为2.

由点。为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S“DCgSAABC，

S^EDC~~S^EBC<同理由点E为AD的中点得到SAEDC^SAADC,则SAEBC=ZSAEDC^SAABC,

然后利用F点为8E的中点得到Sgc产也ABC，再把AABC的面积为8面代入

计算即可.

本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高乘积的一半；等底等高的两

三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比.

24.【答案】证明:(1)•21=42,

.♦Z1+4CBE=N2+4CBE,即44BE=NCBD,

在△ABE和△C3。中,

AB=CB

(ABE=乙CBD,

BE=BD

:.〉ABE三2CBD(SAS)；

(2)•••△ABE三△C5£),

•,.ZJ4=Z.C,

•&FB"CFE,zA+41+zAFB=zC+z3+zCFE=180°,

，zJ=z3.

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

本题的关键.

（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；

（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可

得证.

25.【答案】解：(1)ADLBD,NBAO=45°,

.-.AD=BD,

“BFD=L\FE,ZAFE+NCAO=90°,^CAD+^ACD=90°,

.-.ABFD=^ACD,

在aB。尸和4人。。中，

ZBFD=^ACD

4BDF=/.ADC,

BD=AD

:.XBDF王&ACD(AAS),

：.BF=ACx

(2)连接C尸,

•■•ABDF=^ADC,

；.DF=DC,

.•.△OFC是等腰直角三角形.

■.■CD=3,CF=V2CD=3V2.

■:AB=BC,BEJLAC,

■.AE=EC,BE是AC的垂直平分线.

.-.AF=CF,

:AF=3⑰.

【解析】（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AO=BD,即可求证值△AC。，即

可解题；

（2）连接CF,根据全等三角形的性质得到£>F=OC,得到AOFC是等腰直角三角形.推

出AE=EC,BE是AC的垂直平分线.于是得到结论.

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角

形底边三线合一的性质，本题中求证ABOF三小人。。是解题的关键.

第32页，共53页

26.【答案】(1)证明：・・・△PA8和AOMN是等边三角形，

:/BPA=乙MPN=60。,AB=BP=APfPM=PN=MN,

，乙BPA-乙MPB=APN-(MPB,

心PM”BPN.

在A4PM和ABPN中

(AP=PB

44PM=(BPN,

(PM=PN

,MAPM3>BPN(SAS),

；.AM=BN；

(2)解：图2中BN=AB+ftW；

图3中BN=BM-AB,

(3)证明：•・・△PA3和△PMN是等边三角形，

.•&BP"PMN=60°,AB=PB,

.・2P8W=120。，

:BM=AB=PB,

.-.zBMP=30°,

:•乙BMN=^PMN+乙BMP=9U0,

：・MNLAB.

【解析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答

时证明三角形全等是关键.

(1)根据等边三角形的性质就可以得出NBPA=4MPN=60。，AB=BP=AP,PM=PN=MN,

进而就可以得出^APM三△3PN,得出结论；

(2)由(1)中的方法证得三"PN,得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，

BN=BM-AB；

(3)由等边三角形的性质得出乙48P=〃MN=60。，就可以得出4PBM=120。，求得

48Mp=30。，进而就可以得出48MN=90。，得出结论.

27.【答案】(1)证明：・乂。平分NBA。，CELAB,CF1AD,

：.CE=CF,zCEB=zCFD=90°,

•••”8。+乙。=180。,"BC+乙EBC=180。,

:.(EBC=LD,

・•・在△C8E和△COb中，

(Z.EBC=Z.D

l^CEB=ZCFD,

(CE=CF

••△CBE三ACDFCAAS).

(2)证明：在RthAEC和Rt^AFC中，

(CE=CF

VAC=ACF

.•.△ACE三△ACf'(HL),

.\AE=AF,

・・・AB+DF=AB+BE=AE=AE

【解析】(1)根据角平分线的性质可得到CE=CF,根据补角的性质可得到/EBC=N。，

已知CE1AB,CF1AD,从而利用A4S即可判定^CBE三△CDF.

(2)已知EC=CF,AC=AC,则根据判定"CE三AACF得AE=AF,最后证得A8+Z)F=AF

即可.

本题考查了全等三角形的判定和性质；证明线段相等往往通过三角形全等来证明，还要

运用相等的线段进行等量代换，这是很重要的方法，注意掌握.

28.【答案】(1)证明：-.-AB=AC,ADLBC,

:.乙BAD=^DAC士4BAC,

2

vzBAC=120°,

AAX120°=60°,

.-.BAD=DAC=2-

.DELAB,DF1AC,

.