黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-数学3（含答案及解析）

新高二开学摸底考试卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（

）A． B．1 C． D．5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．当时，的图象关于对称B．当时，在上的最大值为C．当为的一个零点时，的最小值为1D．当在上单调递减时，的最大值为110．若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，下列函数为“函数”的是（

）A． B．C． D．11．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（

）A．B．的值是C．函数有一个零点D．过可以作三条直线与图象相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知平面向量，，，若，，则.13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的方向用方向角作答14．若，且，则的最小值是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知平行四边形中，，点是线段的中点.(1)求的值；(2)若，且，求的值.16．（15分）已知函数.(1)若，求在区间上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求的取值范围.17．（15分）已知在中，的面积为．(1)求角的度数；(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．18．（17分）已知，其中，.(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.19．（17分）已知函数，其中实数.(1)求在处的切线方程；(2)若在上的最大值是0，求的取值范围；(3)当时，证明：.

新高二开学摸底考试卷数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得集合，可求得.【详解】依题得，则．故选：C.2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由可得，解得，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.【详解】由题意可知，，所以，又，即.因为三点共线，所以，解得.故选：D.4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值.【详解】由曲线，得，在处的切线斜率为，当时，，曲线在处的，即，曲线，导数为，设切点为，则，解得，切点在切线上，即有，得.故选：A.5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果.【详解】，所以.故选：A.7．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案.【详解】由题意知时，，在上单调递增，最小值为，时，，单调递减，在上无最小值．则由已知需满足，即，设，易知该函数为R上的增函数，且，从而．故选：A．8．已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解.【详解】令，即，则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，做出函数与函数的图像，如图所示，当直线与曲线相切时，又当时，，则，则，则，即且点为，此时，因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，所以，解得，所以a的取值范围是.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．当时，的图象关于对称B．当时，在上的最大值为C．当为的一个零点时，的最小值为1D．当在上单调递减时，的最大值为1【答案】ACD【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．【详解】时，，因为，所以关于对称，故A正确；时，由可得，根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；若，则，，所以，，且，所以的最小值为1，故C正确；因为在上单调递减，且，根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：，，，，所以，，所以，故D正确．故选：ACD．10．若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，下列函数为“函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】通过分析可得“函数”满足两个条件，即是定义域为的偶函数，且在上为增函数，然后再对各选项进行判断.【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，变形可得，即．若，则，可得，即在上为增函数．又为偶函数，在上为减函数．对于选项，易知在上单调递减，在上单调递增，不符合题意．对于选项，函数的定义域为，且为偶函数．，当时，在上为增函数，符合题意．对于选项，函数的定义域为，不符合题意．对于选项D，易知的定义域为，且为偶函数．易知当时，单调递增，符合题意．故选：BD.11．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（

）A．B．的值是C．函数有一个零点D．过可以作三条直线与图象相切【答案】BD【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D.【详解】由，所以，，令，得，由函数的对称中心为，所以且，解得，故A错误；因为的对称中心为，即，令,则，所以，所以，故B正确；因为，则，所以当时，，当或时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，因此函数的极大值为，极小值为；又，即，，所以在和上存在零点，所以函数有三个零点，故C错误；设切点为，则切线方程为，又切线过，则，化简得，令，则，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确.故选：BD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知平面向量，，，若，，则.【答案】【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.【详解】因为，所以,因为，所以,所以.故答案为：.13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的方向用方向角作答【答案】南偏西【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案.【详解】如图，在中，，

由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，因为，所以解得，由正弦定理得，解得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向．故答案为：南偏西14．若，且，则的最小值是．【答案】【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【详解】由，则，即，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）15．已知平行四边形中，，点是线段的中点.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【详解】（1）（2），，，，即，解得：.16．已知函数.(1)若，求在区间上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求的取值范围.【详解】（1）若，，，令，因为，所以，令，，则在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，所以，；（2）因为在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围是.17．已知在中，的面积为．(1)求角的度数；(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．【详解】（1）设，则，又，因此，由为的内角，所以.（2）由（1）知，，又，则，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，显然，则有，因此当时，取到最小值，此时，即，所以的值.18．已知，其中，.(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.【详解】（1）由题，，解得，故.令，所以的单调减区间为.（2）由题，可得，，因此，，又，得.由，得.再将代入，即.由，解得.因此的解析式为.19．已知函数，其中实数.(1)求在处的切线方程；(2)若在上的最大值是0，求的取值范围；(3)当时，证明：.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以函