黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-高三开学学情调研卷01（摸底考试）（含答案及解析） (河北专用)

试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页2024年高三数学秋季开学考试（河北专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若中有3个元素，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A． B． C． D．3．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．4．的内角、、的对边分别为、、，若，，，则（

）A． B．4 C． D．35．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（

）A． B． C． D．6．已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（

）A． B．C． D．7．已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（

）A．2 B． C．4 D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．C．当时， D．当时，10．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（

）A．点的轨迹的方程是B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是C．直线与点的轨迹相离D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是411．已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（

）A．事件与可能相互独立 B．事件与一定不互斥C． D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数是.（用数字作答）13．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为.14．已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在中，，，D是BC边上一点，且，(1)求的长；(2)若，求.16．(15分)已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.17．(15分)在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点.(1)求证：平面PAD；(2)求证：；(3)若PD与平面所成的角为，求证：平面.18．(17分)已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①若，求关于的函数关系式；②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：，，，，．

2024年高三数学秋季开学考试（河北专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若中有3个元素，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再利用交集含义即可得到.【详解】，要使中有3个元素，只需，所以，故选：B．2．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：B3．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为，，则，所以在上的投影向量.故选：B.4．的内角、、的对边分别为、、，若，，，则（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求的值，进而利用余弦定理即可求解的值．【详解】解：因为，，，所以，则由余弦定理可得．故选：A．5．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以，即，则球的体积，故选：D．6．已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断.【详解】因为与的样本相关系数为，可知与为负相关，故A，B错误；又因为经验回归方程过样本中心点，对于，则，故C错误；对于，则，故D正确．故选：D.7．已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用求导得到导函数的零点和，就参数分类讨论，判断函数的单调性，即可分析判断，确定参数的范围.【详解】由题意得，，由可得，或，①若，即时，，显然不合题意；②若，即时，当或时，，即在和上单调递增；当，，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意；③若，即时，当或时，，即在和上单调递增；当，，在上单调递减，故在处取得极大值，不符题意.综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是.故选：A.8．在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】，化为一般式，即，直线上有且仅有一点，使，则圆心到直线的距离,即，圆心..故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】BC【分析】对于A，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B，由等差数列求和公式结合即可验算；对于CD，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，当时，，故C正确；对于D，当时，，即，故D错误.故选：BC.10．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（

）A．点的轨迹的方程是B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是C．直线与点的轨迹相离D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4【答案】ACD【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A：设点，因为，整理可得，故A正确；对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是，且，可知点在圆内，过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误；对于选项C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故C正确；对于选项D：因为四边形面积，由数形分析可知：当时，取到最小值，所以四边形面积取最小值，故D正确；故选：ACD．【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.11．已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（

）A．事件与可能相互独立 B．事件与一定不互斥C． D．【答案】BCD【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项.【详解】由，可知事件与不是相互独立事件，故A不正确；由，可知事件与一定不互斥，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数是.（用数字作答）【答案】40【分析】利用通项中的指数确定，然后可得.【详解】因为展开式的通项，所以含的项为第3项，即，所以的系数是.故答案为：4013．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立．当时，，显然成立；当时，化为恒成立.令，则,由于，则，则在上单调递增，则.令，则时，单调递增，则.因此对于任意时恒成立，则.故答案为：.14．已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为.【答案】【分析】设，分析可知点为线段靠近的三等分点，，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆的半径为，

设的中点为，因为，，则，，，设，则，即，可知点为线段靠近的三等分点，则，，设向量与的夹角为，可得，且，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在中，，，D是BC边上一点，且，(1)求的长；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）在中，，则，在中，，即，得.（2）因为在中，，所以，则，又，即，解得，所以.16．(15分)已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由直线求出的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【详解】（1）由椭圆过点，得，由，得椭圆半焦距，则长半轴长，所以的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，由消去x得，显然，，直线的方程为，令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标，因此为定值，所以为定值.17．(15分)在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点.(1)求证：平面PAD；(2)求证：；(3)若PD与平面所成的角为，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，得到，再由（1）即可得证；（3）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证.【详解】（1）取中点，连接，，为的中点，，，是的中点，底面是矩形，，，且，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，平面.（2）平面，平面，，又底面是矩形，，又平面，平面，平面，，由（1）可知，.（3）平面，所以为与平面所成的角，，又，，即为等腰三角形，为中点，，又由（2）可得，平面，平面，由（1）可知：，平面.18．(17分)已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意将问题转仳为在恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可.【详解】（1）由，得，对求导得，，在处的切线方程为；（2）当时，恒成立，即时，恒成立，在恒成立，令，则，令，则，恒成立当时，单调递增，，当时，.当时，单调递增，，.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗