黄金卷：2024-2025学年高二上学期入学摸底考试数学试卷-高二开学学情调研卷01（摸底考试）（含答案及解析）（北京专用）

试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页2024年高二数学秋季开学考试（北京专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，若，则（

）A．1或 B．或2 C．1或 D．或2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于（

）A． B． C．1 D．03．经过点且斜率为的直线方程是（

）A． B．C． D．4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（

）A．56 B． C． D．5．已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（

）．A．5 B．6 C．25 D．306．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（

）．A． B． C． D．7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（

）A． B． C． D．8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（

）A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．，，，，则 D．，，，则10．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（

）A． B．C．平面平面 D．平面平面二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知则在上的投影向量为12．过点和点的直线的斜率为.13．数据：，，，，，，，，，的第百分位数为．14．已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量，，，其中.(1)若为单位向量，且，求的坐标；(2)若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.17．在中，角所对的边分别是.(1)若是的中点，且，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.(1)求直方图中a，b的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．

(1)求证：；(2)求平面APB与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记M（）=．（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

2024年高二数学秋季开学考试（北京专用）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，若，则（

）A．1或 B．或2 C．1或 D．或【答案】A【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由，有，解得或．故选：A.2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】由复数的运算法则先化简复数，根据复数虚部的概念可得答案.【详解】，所以其虚部为故选：B3．经过点且斜率为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点且斜率为，所以直线方程为，即.故选：D.4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（

）A．56 B． C． D．【答案】C【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解.【详解】由为四棱台的斜高.设四棱台的高为，则，所以四棱台的体积为：.故选：C5．已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（

）．A．5 B．6 C．25 D．30【答案】D【分析】利用方差的性质求解．【详解】数据的方差为1.2，，，……的方差为：．故选：D.6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.【详解】设1个红球为，2个白球分别为，2个黑球分别为，则从袋子中任取2个球包含：，共10个基本事件，其中取到红球，包含，共4个基本事件，则取出的2个球都是红球的概率.故选：B7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积.【详解】在中，由及正弦定理，得，而，则，由及余弦定理得，，因此，，则，所以的面积为.故选：B8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（

）A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立【答案】C【分析】根据相互独立事件的定义可得答案.【详解】，，，，，，，，，，对于A，，故A错误；对于B，因为，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.9．已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．，，，，则 D．，，，则【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当，，时，不能推出，故A错误；当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误；当，，，，若不相交，则推不出，故C错误；当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确.故选：D10．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（

）A． B．C．平面平面 D．平面平面【答案】D【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B，如图①，因为，所以，又因为，，所以，所以，所以，故B正确；对于A，由B选项知，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；对于C，由选项A知，平面，因为平面，所以平面平面，故C正确;对于D，如图②过点A作，垂足为，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误.故选：D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知则在上的投影向量为【答案】【分析】根据投影向量的公式即可得解.【详解】因为，且所以在上的投影向量为.故答案为：.12．过点和点的直线的斜率为.【答案】【分析】利用两点斜率公式即可得解.【详解】因为直线过点和点，所以直线的斜率为.故答案为：.13．数据：，，，，，，，，，的第百分位数为．【答案】【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为，，，，，，，，，，又，所以第百分位数为第三个数，即为，故答案为：.14．已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解.【详解】，，平面，平面，平面，如图，设圆柱的底面圆直径为，母线长（即圆柱的高）为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，即为圆柱的外接球球心，且有外接球半径，

故可以将三棱锥置于以外接圆为底面，为高的圆柱内（如图），其中上底面外接圆圆心为，下底面外接圆的圆心为，

因为，所以外接圆的直径，则，又圆柱的高，所以三棱锥外接球的半径，球的表面积.故答案为：.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．【答案】【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为，由题知，易知，可得，所以正方体的棱长为，该多面体的外接球即为正方体的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为4，因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量，，，其中.(1)若为单位向量，且，求的坐标；(2)若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设,根据和列出关于的方程求解即可.（2）根据垂直数量积为0,代入的模长,求解得.再根据夹角公式求解即可.【详解】（1）设,由和可得：∴或,∴或；（2）∵，即，又,，∴，∴向量,夹角的余弦值.17．在中，角所对的边分别是.(1)若是的中点，且，求的面积；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得，在中利用余弦定理求出，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积；（2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简，得，然后求出角的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案.【详解】（1）由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，又，所以，所以，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，解得，所以.所以的面积；（2）由正弦定理得，因为是锐角三角形，所以解得，所以，所以，即的取值范围是.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.(1)求直方图中a，b的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【答案】(1)，(2)吨(3)【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准在中，由此即可求出的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得，又，则，.（2）该市居民用水的平均数估计为：（吨）.（3）因的频率为，的频率为，故的估计值为（吨）．所以有的居民每月的用水量不超过标准（吨）．19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，设甲获胜为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件，则，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案.【详解】（1）根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，则，，设甲获胜为事件，则，而，，互斥，故（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件，则，而，互斥，所以（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件，分两种情况讨论：若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件，若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件，故20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．

(1)求证：；(2)求平面APB与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)(3)不存在，理由见详解【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得结果；（2）建系标点，分别求平面APB与平面法向量，利用空间向量求面面夹角；（3）设，分析可知∥，列式求解即可判断.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，且，平面，