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文档简介

6热传导问题的有限元法本章应用变分原理,将求解域的微分方程,转化为泛函,然后通过求泛函的极值,找到原问题的解。6-1问题的提出前面对于力学问题,采用直接法或者虚功原理,建立了有限元的求解格式但是对于非结构问题,必须借助数学工具:变分原理分析,求泛函的极值比如,热传导中稳定温度场的求解是工程中经常遇到的问题对于均质物体内温度不随时间变化的情况,温度分布函数7=7(x,y,2)应满足拉普拉斯方程:atatat0再加上用得最多(一般)的边界条件OT+aTTOλ一热传导系数(与温度栟度有关)α一对流换热系数(与温度有关)T—外界介质温度Ⅰ一物体边界。上式称为定解问题。除非几何形状特别简单,如无限大平面,半无限大平面,圆平面,一般无法得到解析解。为此要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可选的方法。有限元法求解偏微分方程的思路:1)利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函;2)假设单元上的场变量变化形式,即插值涵数或试探函数;3)寻找试探函数的系数一节点场变量,以使泛函取极值。下面首先简要介绍变分、泛函,然后推导有限元格式。6-2泛函与变分的基本概念函数:z=f(x),X变,2变。泛函:平面上两点A、B之间的距离ddy变,廖。l是y的泛函一函数的函数当然,使泛函取得极值的自变函数y的变化要复杂的多三变分法函数取极值的条件:次=0,d称为微分泛函取极值的条件:0,δ称为变分四变分函数微分f(x+△x·Ef(x)kx,c为任意小的正数o8E=0可以用来研究函数z在x处的变化类似,泛函在某点y的变化,可以通过对泛函的变分x)+8来观察。}泛函,ε一任意小的正数。五泛函取极值的条件函数在x处取极值的条件:dz=ef(EE=0泛函′=|y(×)]在y=yo(x处取极值的必要条件是/=0,即Cyo(x)+eS上式的含义是:异于y(x)的y都使/偏离最大值点或最小值点,此时,/处于“左也不是,右也不是”的状态可见,函数取极值的必要条件和泛函取极值的必要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值点附近的变化方式,比泛函中的自变函数的变化方式要简单一些而已。六变分法预备定理设函数F(x)在[x1,x2连续,对于by(x),如果有F(x)syd=0则F(x)=0[x,x]。5(x)是y的变分by(x)的条件:一阶或若干阶可微,在X1,x处为零byk<ε或|y|及|by'|<E,等。这些话的意思是:y是连续区间[X1,x2]中一段曲线。该曲线的变分,就是说它可以变化。这种变化可以是:值的变化,一阶导数的变化,高阶导数的变化等。下面证明:一维泛函(只与一个函数有关)取极值的条件。设有泛函DVx)=「Fxy(x)y(x)x其中:泛函中的自变函数y(x)(平

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