第04讲常用逻辑用语（4大知识点4种必考题型强化训练）

第04讲常用逻辑用语课程标准学习目标1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)知识点01.命题1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）.判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题.说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段.③真命题的确定：直接法和反证法.说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述.2.推出关系：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）.因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则.它是逻辑推理的基础.【即学即练1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）命题“如果，那么”是命题（填“真”或“假”）.【答案】真【分析】解不等式即可求解.【详解】由得解得且，所以命题“如果，那么”是真命题，故答案为:真.知识点02.充分条件，必要条件、充要条件【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件.2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”.【举例】小明是上海人，小明是中国人.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【即学即练2】（2024春•黄浦区校级期末）设，则是的条件．【分析】根据由，一定能得到．但当．不能推出（如时），从而得到结论．【解答】解：由，一定能得到，但当时，不能推出（如时），故是的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．知识点03.反证法要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事.我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法.【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论2．反证法的一般步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【即学即练3】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数．【解答】证明：假设n不是奇数，则n是偶数，设n＝2k，k∈Z，则n3＝8k3，因为k∈Z，则k3∈Z，所以8k3是偶数，即n3为偶数，这与已知n3为奇数矛盾，所以假设不成立，即n是奇数．知识点04.从集合角度看充分、必要条件充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；（2）若p是q的充分不必要条件，则；（3）若p是q的必要不充分条件，则；（4）若p是q的充要条件，则A＝B.（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.【即学即练4】已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.【答案】【详解】因为条件和条件，若是的充分不必要条件，所以是的真子集，因此只需.故答案为：.【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．题型01充分条件、必要条件及充要条件的判断【解题策略】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．【例11】(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．③方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；②p：A⊆B，q：A∩B＝A；③p：a>b，q：ac>bc.解①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．②因为p⇒q，所以q是p的必要条件．③因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．【例12】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数．解(1)方法一当x＝1时，x－1＝eq\r(x－1)成立；当x－1＝eq\r(x－1)时，x＝1或x＝2.∴p是q的充分不必要条件．方法二A＝{x|x＝1}＝{1}，B＝{x|x－1＝eq\r(x－1)}＝{1,2}，可知AB，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又eq\f(1,2)是正数，但eq\f(1,2)不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件．【变式11】（2022秋•普陀区校级期末）设p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要．【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答】解：x＜5能推出x＜6，充分性成立，x＜6不能推出x＜5，必要性不成立，故p是q成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．【变式12】已知为非零实数，则“”是“”成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】D【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出，则“”是“”成立的既非充分又非必要条件.故选：D【变式13】指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【解析】解(1)∵x2＝2x＋1⇏x＝eq\r(2x＋1)，x＝eq\r(2x＋1)⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件．(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇏(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件．【变式14】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；【解析】解(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件．题型02充分条件与必要条件的应用【解题策略】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围．【解析】解由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集．当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意，当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2>－2，,5m＋2<4，))解得0<m<eq\f(2,5)，综上，m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－2或0<m<\f(2,5))))).【变式21】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是．【答案】【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，且是的充分条件，即推得出，所以.故答案为：【变式22】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是()A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2}【答案】C【解析】A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.【变式23】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】－1≤a≤5【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，))所以－1≤a≤5.【变式24】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．【答案】{a|a≤－9}【解析】∵p是q的必要条件，∴q⇒p，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a≤－2，,1－a≥10，,a<0，))解得a≤－9.题型03充要条件的证明【解题策略】充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．【例3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.【解析】证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴ac<0.充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.【变式31】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.【解析】证明(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．(2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.【变式32】（2021秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件．【解答】证明：若n∈Z，n是偶数，则n+1是奇数，（n+1）2是奇数，是充分条件，若n∈Z，（n+1）2是奇数，则n+1是奇数，则n是偶数，是必要条件，故：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件．【变式33】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【解析】证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【变式34】求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－eq\f(1,2)；当a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a>0，且x1x2＝eq\f(1,a)<0，方程两根一正一负．所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根．(2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则①当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，符合题意．②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；当a＝1时，方程的解为－1，符合题意；当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，则x1x2＝eq\f(1,a)<0，即a<0.所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0.综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.题型04充分不必要、必要不充分、充要条件的应用【解题策略】充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．【变式41】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案.【详解】根据题意可知，但，故是的真子集，故,故答案为：【变式42】对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．【答案】充要【解析】由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．【变式43】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________________________．【答案】m≤－7或m≥1【解析】因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.【变式44】设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B.(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．【解析】解(1)由条件A＝{x|－1<x<3},p是q的充要条件，得A＝B，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m＝－1，,m＋1＝3，))解得m＝2，所以正实数m的取值范围是{2}．(2)由p是q的充分不必要条件，得AB，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－1，,m＋1>3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－1，,m＋1≥3，))解得m>2，综上，正实数m的取值范围是m>2.一．选择题1.（2023秋•徐汇区期末）若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据推知与的大小关系，由此可推“”是“”的关系．【解答】解：根据推知，由此可推“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题．2．（2023秋•松江区期末）已知：整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：整数能被2整除，若，则不能被6整除，则推不出，整数能被6整除，一定有整数能被2整除，能推出，则是的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．3．（2023秋•浦东新区校级期中）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的基本性质，我们可以判断“”“”的真假；根据不等式解集可能为空集，可判断“”“”的真假，进而得到答案．【解答】解：若“”时，则不等式等价于，则“”；即“”是“”的不充分条件；但当“”时，如：和，“”不成立，即“”是“”的不必要条件故“”是“”的既不充分又不必要条件故选：．【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断出“”“”与”“”的真假，是解答本题的关键．4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可判断．【解答】解：若，当时，不成立，即充分性不成立，当成立时，，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．5．（2023秋•浦东新区校级期末）是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得．【解答】解：当时，可取、符合题意，但此时不能得到，充分性不成立，当时，有，，即成立，必要性成立，综上所述，是的必要非充分条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．6．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，是非零常数，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】由“”不能推出“”成立，且由“”也推不出“”成立，进而判断“”是“”的什么条件．【解答】解：因为可得，当，即，当时，成立，所以“”不是“”的充分条件；当时，因为，所以，所以“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既非充分也非必要条件，故选：．【点评】本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题．7．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，都是自然数，则“是偶数”是“，都是偶数”的条件．A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解．【解答】解：令，，满足是偶数，但，都不是偶数，故充分性不成立，，都是偶数，则是偶数，故必要性成立，故“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．8．（2023秋•普陀区校级期末）设，“是偶数”是“是偶数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充要条件的判断即可选出答案．【解答】解：是偶数等价于是偶数，故为充要条件，故选：．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．9．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据既不充分也不必要条件的定义求解即可．【解答】解：等价于，化简得，即或，又等价于，即，则“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题考查既不充分也不必要条件的应用，属于基础题．10．（2023秋•闵行区校级月考）设，则“”是“”的A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可．【解答】解：，或，，，，，“”是“”的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可．【解答】解：因为，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以时，必有，，所以成立，所以由，可推出，因为，当且仅当，即时取等号，所以当时，必有成立，此时，不一定成立，所以由推不出，所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题．二．填空题12．（2023秋•奉贤区期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的条件．【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．【解答】解：四边形是正方形，则四边形的四个角都是直角，即，若四边形的四个角都是直角，这个四边形可能是长方形，不一定是正方形，即推不出，则是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．13．（2022秋•青浦区校级期末）已知、，用反证法证明命题：“若，则、全为零”时的假设是．【分析】把要证结论否定即可．【解答】解：用反证法证明命题：若，，且，则，全为0时，要做的假设是证明结论的反面，即，不全为0．故答案为：，不全为0．【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题．14．（2023秋•静安区校级期末）“”是“”的条件．【分析】求出的解集，并判断与此解集的推出关系得出结论．【解答】解：当时，方程为化为，此时成立；当时，方程为化为，解得舍去；当时，方程为化为，此时舍去；当时，方程为化为，此时成立；故的解集为，由可推得，反之不成立，故“”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．15．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为．【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可．【解答】解：由，因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以有，等号不同时成立，解得．故答案为：，【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题．16．（2023秋•闵行区校级期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是．【分析】任意，使得”是真命题，结合一次函数的性质即可求解．【解答】解：因为存在，使得”是假命题，所以任意，使得”是真命题，根据一次函数的性质可知，当时，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．【答案】a>3(答案不唯一)a>－1(答案不唯一)【解析】因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4≥0，,x1＋x2＝a>0，))解得a≥2.故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3；一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1.三．解答题18．（2023秋•闵行区期中）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数取值范围组成的集合．【分析】（1）先算出，再根据并集的运算法则算出答案；（2）根据题意，可得是的真子集，从而建立关于的不等式组，算出实数的取值集合．【解答】解：（1）当时，集合，结合，可知，；（2）若“”是“”的充分非必要条件，则是的真子集．可得，解得，实数的取值集合是．【点评】本题主要考查集合的并集运算、充分必要条件的概念、不等式的解法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．【分析】（1）先求出集合，再利用列出不等式，求出的取值范围即可；（2）由“”是“”的必要非充分条件可得，进而列出不等式，求出的取值范围即可．【解答】解：（1）集合，，，，或，解得或，即实数的取值范围，，；（2）“”是“”的必要非充分条件，，集合，，，（等号不能同时取到），解得，即实数的取值范围为，．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．20．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合，，全集．（1）当时，求；（2）若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．【分析】（1）解不等式确定，利用并集运算得到答案．（2）确定，再考虑和两种情况，计算得到答案．【解答】解：（1），则，，则．（2）是的充分非必要条件，则，是的真子集，当时，，解得；当时，且，等号不能同时成立，解得．综上所述：．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.（2022秋•黄浦区校级月考）“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的什么条件？请证明你的结论．【解答】解：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根是ac＜0必要不充分条件．证明：①证充分性不成立，当a＝1，b＝﹣4，c＝3时，此时方程ax2+bx+c＝0⇔x2﹣4x+3＝0，方程的实数根为1或3，但此时ac＝3＞0，∴充分性不成立，②证必要性成立，当ac＜0时，则Δ＝b2﹣4ac＞0恒成立，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，∴必要性成立．综上，关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根是ac＜0必要不充分条件．22．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，．（1）若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【分析】（1）根据题意，分析命题、为真时的取值范围，由复合命题的真假可得、一真一假，由此分情况讨论，求出的取值范围，即可得答案；（2）根据是的充分条件，得到关于的不等式组，解可得答案．【解答】解：（1）对于，解可得，若，则，若，，有且只有一个为真命题，则真假或假真，若真假，即，无解，若假真，即，解可得或，综合可得：或，即的取值范围为，，；（2）若是的充分条件，则有，解可得，即的取值范围为，．【点评】本题考查命题真假的判断以及充分必要条件的应用，涉及集合之间的关系，属于中档题．23.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件；（2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数．【解答】证明：（1）先证充分性（即证m＝﹣1⇒A∩B＝{6}），当m＝﹣1时，A＝{1，2，6}，又因为B＝{0，6}，所以A∩B＝{6}，再证必要性（即证A∩B＝{6}⇒m＝﹣1），当A∩B＝{6}时，由6∈A，得m+