5.1 任意角与弧度制（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

5.1任意角与弧度制（精讲）考点一角度制与弧度制的互换【例1】（2022广东）把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【答案】（1）105°（2）-390°（3）254π（4）【解析】（1）根据弧度制与角度制的互化公式，，可得：；（2）（3）；（4）.【一隅三反】1．（2022宿州）将210°化成弧度为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】。故答案为：D.2．（2022房山期中）将120°转化为弧度为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故答案为：B.3．（2022山西月考）角度化成弧度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，。故答案为：A.考点二终边相同的角【例2】（2022·涟水）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）在内的角．【答案】见解析【解析】（1）解：与角终边相同的角为，.由且，可得，故所求的最大负角为（2）解：由且，可得，故所求的最小正角为（3）解：由且，可得，故所求的角为【一隅三反】1．（2022陕西期末）在0~360°的范围内，下列与-510°终边相同的角是（）A．330° B．210° C．150° D．30°【答案】B【解析】因为-510°=-720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是210°.故选：B

2（2022房山月考）在，，，中，与终边相同的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】与终边相同的角为：；当时，.故答案为：D.3．（2022海东）下列各组角中，终边相同的是（）A．43°和313° B．37°和787°C．65°和-655° D．124°和-576°【答案】C【解析】.故答案为：C．4（20222怀化）（多选）与角终边相同的角是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】与角终边相同的角的集合是，当时，，当时，.故答案为：BD考点三角象限的判断【例3-1】（2022南阳）已知角，则角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.故答案为：C.【例3-2】（2022砀山月考）角的终边所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，则与终边相同，故角的终边所在的象限是

第三象限.故答案为：C

【一隅三反】1．（2022高一下·新余期末）410°角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，故为第一象限角。故答案为：A．2．（2022·河池月考）已知角，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因为所以与是同一象限角，因为是第三象限角，故为第三象限角．故答案为：C．3．（2022云南）角的终边所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，又，所以角的终边在第四象限.故选：D考点四概念的辨析【例4】（2022山东）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90º的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60º；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角.故②错误；对于③：显然是第一象限角.故③错误；对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为，所以，是第四象限角.故⑥正确.综上所述，①⑥正确.故答案为：B.【一隅三反】1．（2021·安徽蚌埠二中高一期中）下列说法中，正确的是（）A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角【答案】A【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.2．（2022·浙江）下列命题中正确的是（）．A．终边与始边重合的角是零角 B．90°～180°间的角不一定是钝角C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角【答案】B【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误；90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；终边和始边都相同的两个角相差，故C错误；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B3．（2022·陕西大荔）下列说法正确的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角【答案】B【解析】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；C选项，若是第二象限角，则，∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选：.考点五扇形的弧长与面积【例5】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长l；（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；（3）若α=，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．【答案】见解析（1）解：l=10×=（cm）．（2）解：由已知得：l+2R=20，所以S=lR=（20﹣2R）R=﹣（R﹣5）2+25．所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad．（3）解：设弓形面积为S弓，由题知l=cm，S弓=S扇﹣S△=×22×sin（cm2）．【一隅三反】1．（2022滨州期末）若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（）A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5【答案】A【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意得2R+l=1212Rl故扇形的圆心角的弧度数或4．故答案为：A.2．（2022高一下·常州期中）已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】C【解析】由题意得：扇形的半径为，圆心角为3rad扇形的周长为：，解得所以扇形的弧长为：故答案为：C3.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】见解析【解析】（1）解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由题意可得：2r+l=10，×l×r=4，解得：，或．故扇形中心角的弧度数为=，或8（由于8＞2π，舍去）．（2）解：设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=lr=•l•2r≤（）2=100，当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α==2，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．考点六实际应用【例6】（2022定州）（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（）A．小赵同学说：“经过了5h，时针转了．”B．小钱同学说：“经过了40min，分针转了．”C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12：35时，时针与分针所夹的钝角为．”D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”【答案】ACD【解析】经过了5h，时针转过的角度对应的弧度数为，A符合题意．经过了40min，分针转过的角度对应的弧度数为，B不符合题意．时钟显示的时刻为12：35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为，C符合题意．分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了tmin，第n次和时针重合，则，得，故，D符合题意．故答案为：ACD【一隅三反】1．（2022·兰溪期中）如图所示，一圆形钟的时针长，2021年11月9日上午至，时针的针头自点处转动到点处，则线段的长为.【答案】【解析】2021年11月9日上午7：00至11：00，时针的针头自点处转动到点处，则时针转过的弧度数为，故。故答案为：。2．（2021杭州期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为平方步.【答案】120【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，所以这块田的面积为120平方步。故答案为：120。3．（2022如皋）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，设．则．，．