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4.3对数运算(精讲)考点一对数的定义【例1】1(2021·江西省吉水中学高一阶段练习)使式子有意义的x的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】要使式子有意义,则,即,解得或,所以x的取值范围是.故选:D【一隅三反】1.(2021·全国·高一课时练习)使有意义的实数a的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知,解得,所以实数a的取值范围是.故选:C.2.(2022广东)对数式M=log(a-3)(10-2a)中,实数a的取值范围是(

)A.(-∞,5) B.(3,5)C.(3,+∞) D.(3,4)∪(4,5)【答案】D【解析】由题意得,解得3<a<4或4<a<5,即a的取值范围是(3,4)∪(4,5).故选:D.3.(2022·云南)在等式中,实数a的取值范围是(

)A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】要使有意义,只需:,解得:或∴实数a的取值范围是或故选:B考点二指对数的互化【例2】(2022山西)将下列指数式与对数式互化:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【答案】(1);(2);(3);(4);(5);(6).【解析】(1)因为,所以有:.(2)因为,所以有:.(3)因为,所以有:.(4)因为,所以有:.(5)因为,所以有:.(6)因为,所以有:.【一隅三反】1.(2021·全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化:(1)____________.(2)____________.(3)____________.(4)____________.【答案】【解析】.故答案为:,,,.2.(2022·湖南)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由对数定义得;(2)由对数定义得;(3)由对数定义得;(4)由对数定义得.考点三对数求值【例3】(2022·湖南·高一课时练习)求下列各式中的值:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)125(2)(3)(4)【解析】(1)因为,所以;(2)因为,所以,解得(3)因为,所以,所以;(4)因为,所以,所以.【一隅三反】1.(2021·全国·高一课前预习)求下列各式中的值:(1);(2);(3);(4).【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】(1)由题意,.(2)由题意,,而且,所以.(3)由题意,.(4)由题意,.2.(2021·江苏·高一课时练习)求下列各式中x的值:(1)logx3=;(2)log64x=-;(3)-lne2=x;(4);(5)log5[log3(log2x)]=0.【答案】(1)9;(2);(3)-2;(4)3;(5)8.【解析】(1)由logx3=,得=3,所以x=9.(2)由log64x=-,得x===4-2=,所以x=.(3)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2.(4)由,得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3,又因为x=1时,x2-2=-1<0,舍去;x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意.综上,x=3.(5)由log5[log3(log2x)]=0,得log3(log2x)=1,所以log2x=3,故x=23,即x=8.考点四对数的运算【例4】(2022北京)求值:(1);(2);(3);(4).(5)2log32-log3+log38-;(6)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).(7)lg25+lg2+lg+lg(0.01)-1;(8)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(9)(log32+log92)·(log43+log83);(10)2log32-log3+log38-3log55;【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)-1(6)13(7)(8)2(9)(10)-1【解析】(1)原式.(2)(3)原式=.(4)原式==.(5)原式=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.(6)原式.(7)原式=(8)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.(9)(log32+log92)·(log43+log83)=·=·=·=.(10)2log32-log3+log38-3log55=log322+log3(32×2-5)+log323-3=log3(22×32×2-5×23)-3=log332-3=2-3=-1.【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)化简下列各式:(1)lg25+lg2+lg+lg(0.01)-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)计算(log32+log92)·(log43+log83);(4)2log32-log3+log38-3log55;【答案】(1);(2)2;(3);(4)-1.【解析】(1)原式=(2)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.(3)(log32+log92)·(log43+log83)=·=·=·=.(4)2log32-log3+log38-3log55=log322+log3(32×2-5)+log323-3=log3(22×32×2-5×23)-3=log332-3=2-3=-1.2.(2021·全国·高一课时练习)计算下列各式:(1)lg25+lg2+lg+lg(0.01)-1;(2)2log32-log3+log38-3log55;(3)(lg5)2+lg2·lg50;【答案】(1);(2);(3)1【解析】(1)lg25+lg2+lg+lg(0.01)-1=(2)2log32-log3+log38-3log55(3)(lg5)2+lg2·lg50(lg5)2考点五换底公式【例5-1】(2022·全国·高一)(1)已知,,试用表示;(2)已知,,试用表示.【答案】(1);(2).【解析】(1),,,,;(2),,.【例5-2】(2021·全国·高一单元测试)已知,求证:.【答案】证明见解析;【解析】令,则,,,所以.【一隅三反】1.(2022·全国·高一课时练习)已知,,则(

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