2024-2025学年新疆石河子市石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年新疆石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(

)A.(−2,1,−4) B.(−2,−1,−4) C.(2,1,−4) D.(2,−1,4)2.过原点且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为(

)A.y=2x B.y=−2x C.y=12x3.若两平行直线l1：x−2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny−6=0之间的距离是5，则m+n=A.0 B.1 C.−2 D.−14.已知平面α的一个法向量为n=(1,−2,2)，点M在α外，点N在α内，且MN=(−1,2,1)，则点M到平面α的距离d=(

)A.1 B.2 C.3 D.5.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C1与A.BO=a−b+12c 6.已知直线l1：ax+y−2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，若l1//lA.−1或2 B.1 C.1或−2 D.−27.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，则该三角形的欧拉线方程为(

)A.y=−12x+52 B.y=18.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，A.1 B.12 C.18 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,2,1)，则下列结论正确的是A.向量a与向量b的夹角为π3

B.c⊥(a−b)

C.向量a在向量b上的投影向量为(12,0,10.已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x−my+m−2=0和过定点B的动直线l2：mx+y+2m−4=0交于点P(P与A，B不重合)，则以下说法正确的是(

)A.A点的坐标为(2,1) B.PA⊥PB

C.|PA|2+|PB|211.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界A.D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13

B.A1点到D1E的距离为42三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过两条直线l1：x−y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为______.(13.平面α上三个点A(0,0,0)，B(1,0,−1)，C(−1,2,0)，写出平面α的一个法向量为______．14.已知(m,n)为直线x+y−1=0上的一点，则m2+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点．

(1)用AB，AC，AD表示EG；

(2)求EG⋅AB16.(本小题15分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD所在直线的方程为x−2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为(1,3)．

(1)求直线BC的方程；

(2)求直线AC的方程及点C的坐标．17.(本小题15分)

已知直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)．

(1)求证：直线l经过一个定点；

(2)若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．18.(本小题17分)

在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°,AB=1,AD=2,AA1=219.(本小题17分)

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a,b〉.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|sin〈a,b〉.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，|AD×BP|=8

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.B

7.A

8.C

9.ABD

10.ABC

11.ABD

12.313.(2,1,2)(答案不唯一)

14.1015.解：(1)如图所示：

所以AE=12(AB+AC)，AF=12(AC+AD)，由于点G为AF的中点，

故AG=116.解：(1)∵BC与AD互相垂直，且AD的斜率为12，

∴直线BC的斜率为k=−2，

结合B(1,3)，可得BC的点斜式方程：y−3=−2(x−1)，

化简整理得：2x+y−5=0，

所以直线BC的方程为2x+y−5=0．

(2)由x−2y+2=0和y=0联解，得A(−2,0)

由此可得直线AB方程为：y−03−0=x+21+2，即y=x+2，

∵AB，AC关于角A平分线x轴对称，

∴直线AC的方程为：y=−x−2，

∵直线BC方程为y=−2x+5，

∴将AC、BC方程联解，得x=7，y=−9，

因此，可得17.(1)证明：直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)，可化为y−1=k(x−2)，

对任意实数k，当x=2时，恒有y=1，所以直线l过定点(2,1)；

(2)解：根据题意可得k不为0，直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R)交x轴于点A(2−1k,0)，交y轴于点B(0,1−2k)，

而点A，B分别在x，y轴的正半轴上，即2−1k>0,1−2k>0，解得k<0，

则△AOB的面积S=12(2−1k)(1−2k)=2+12[4(−k)+1−k]≥2+18.解：(1)根据题意可得AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，

则|AC1|2=|AB+AD+AA1|2=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+2AD⋅AA1+2AB⋅AA1

=1+4+8+2×1×2×12+2×1×22×22+2×2×22×19.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，

∴PD⊥底面ABCD，∴易得DA，DC，DP两两相互垂直，

∴易得BC⊥平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC，

又DP=DA=4，E为AD上一点，

且|AD×BP|=85，AD//BC，AD=BC=4，

∴|AD×BP|=BC×BP×sin∠PBC=4×BP×PCBP=4PC=85，

∴PC=25，又DP=4，PD⊥DC，

∴AB=DC=PC2−DP2=20−16=2；

(2)若E为AD的中点，分别延长BE，CD交点F，

∵PD⊥底面ABCD，过D作DH⊥BF于点H，连接PH，

则根据三垂线定理可得∠PHD为二面角P−EB−A的补角，

又DP=DA=4，底面ABCD为矩形，且由(1)知AB=DC=2，

∴△DEF为等腰直角三角形，∴DH=12E