2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是(

)A.1、2、2、3 B.1、2、3、4 C.1、2、2、4 D.3、5、9、132.4sin60°的值为(

)A.3 B.1 C.32 D.3.若n是方程x2−x−2=0的一个根，则代数式n2−nA.−1 B.2 C.−1或2 D.−1与24.若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为(

)A.2：3 B.4：9 C.16：81 D.不能确定5.如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于(

)A.40°

B.60°

C.80°

D.100°6.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：3，则斜坡AB的长度为(

)A.10m B.10C.5m D.57.如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2,0)，△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为(

)A.18

B.12

C.24

D.98.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为(

)A.18

B.

C.

D.9.自然数n满足(n2−2n−2)n2A.2 B.1 C.3 D.410.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是(

)A.2B.5 C.2D.9二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知ab=73，则a+b12.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE.若DE=2，则BC=______．13.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE>AE.已知AB为2米，则线段BE的长为______米.14.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC=______．15.在锐角三角形ABC中，2AB2=2AC216.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，点M为线段AA′上一动点，则EM+5三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：|318.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−2x−4=0；

19.(本小题8分)

如图，中山路MN一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°.小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．20.(本小题7分)

如图，四边形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.求证：△EDM∽△FBM．21.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x−2=0．

(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．

(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x122.(本小题10分)

某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元．

(1)求y与x的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？23.(本小题10分)

阅读下列材料：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．

证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：

在Rt△BCD中，CD=asinB

在Rt△ACD中，CD=bsinA

∴asinB=bsinA

∴asinA=bsinB

根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°24.(本小题13分)

风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上(坡比i=3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线)，坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°(点E，F，M，N在同一水平线上)．

(1)求叶片OA的长；

(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时(如图3)，求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．

(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，25.(本小题14分)

【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE(旋转角小于180°)，连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．

【特例感知】

(1)如图1，当α=60°时，则AF与BE的数量关系为______；

【尝试探究】(2)如图2，写出AF与BE的数量关系(用含α的三角函数表示)，并说明理由；

【拓展应用】(3)如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=47，BD=15BC，请直接写出AF参考答案1.C

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.C

8.C

9.C

10.A

11.5212.4

13.(14.4

15.1316.12517.解：原式=3−1+1+2−318.解：(1)x2−2x−4=0，

∴x2−2x+1=5，

∴(x−1)2=5，

∴x−1=±5，

解得：x1=1+5，x2=1−5；

(2)(x−3)2=5(3−x)19.解：∵AC2=64，BC2=225，AB2=289，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

过点B作BD⊥MN于点D，则BD的长即为小明与B送奶站的最近距离，

∵∠ACM=30°，∠ACB=90°，

∴∠BCD=60°．

在Rt△BCD20.证明：∵AB=2CD，E是AB的中点，

∴DC=EB，

又∵AB//CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∴ED//BC，

∴∠EDB=∠FBM，

又∵∠DME=∠BMF，

∴△EDM∽△FBM．

21.(1)证明：∵Δ=[−(2m+1)]2−4×1×(−2)

=(2m+1)2+8>0，

∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．

(2)解：由根与系数的关系得出：x1+x2=2m+1，x122.解：(1)由题意可得：y=(50+x−40)(500−10x)

=(10+x)(500−10x)

=−10x2+400x+5000；

(2)y=−10x2+400x+5000

=−10(x−20)2+9000，

∵−10<0，开口向下，

∴当x=20时，y有最大值，23.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，AD=csinB，

在Rt△ACD中，AD=bsinC，

∴csinB=bsinC，

∴bsinB=csinC；

(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠BAC=67°，∠B=53°，

∴∠C=60°，

在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×32=403(m)，

又24.解：(1)∵DE垂直于水平地面EF，

∴∠E=90°．

∵坡比i=3：4，坡面DF长10 m，

∴DE=6 m，EF=8 m．

∵MF=25

m，

∴ME=33 m．

由题意得：∠OME=53°，

∴OE=ME⋅tan53°≈33×43=44 m．

∵MN=23.5 m，

∴NE=ME+MN=56.5 m．

由题意得：∠N=30°，

∴AE=NE⋅tan30°≈32 m．

∴OA=OE−AE=44−32=12 m；

(2)作CM⊥OE于点M．

∴∠CMO=90°．

∵∠AOC=120°，∠AOE=90°，

∴∠COM=30°．

由题意得：OC=OA=12 m，

∴OM=OC⋅cos∠COM=12×32=63

m．

∴ME=OE−OM=44−625.(1)∵α=60°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵△FCE为等腰三角形，∠FCE=60°，

∴△FEC是等边三角形，

∴CE=CF，

∵∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE与△ACF中，

BC=AC∠BCE=∠ACFCE=CF，

∴△BCE≌△ACF(SAS)，

∴AF=BE，

(2)BE=2cosαAF；理由如下：

如图2，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB=AC，∠ACB=α，

∴∠ABC=∠ACB=α，

∴∠BAC=180°−2α．

∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=α，

∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．

∴∠EFC=180°−2α．

∴∠BAC=∠EFC．

∴△ABC∽△FEC．

∴BCEC=ACFC．

∴BCAC=ECFC．

∵∠ACB=∠FCE=α，

∴∠BCE=∠ACF．

∴△BCE∽△ACF．

∴BEAF=BCAC．

∵AB=AC，H为BC的中点，

∴BC=2CH．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°，

∴cos∠ACH=cosα=CHAC．

∴BEAF=2CHAC=2cosα．

∴BE=2cosαAF．

(3)AF=433.理由如下：

如图3，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，

∴∠BMD=∠H=90