沪教版（2020）必修第二册《7.2余弦函数的图像与性质测试卷》2024年同步练习卷

沪教版（2020）必修第二册《7.2余弦函数的图像与性质测试卷》2024年同步练习卷一、选择题1．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（）A． B． C． D．2．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数（）A．[﹣，] B．[，] C．[0，] D．[，π]3．若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sinx B．cosx C．sin2x D．cos2x4．“a＝”是“函数y＝cos22ax﹣sin22ax的最小正周期为π”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件二、填空题5．设函数f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y＝sinnx在上的面积为，则函数y＝cos3x在上的面积为．6．函数y＝2cos2x+1（x∈R）的最小正周期为．7．函数y＝cos（x+φ）（其中0＜φ＜π）为奇函数，则φ＝．8．函数的单调递增区间是．9．函数y＝sin2x﹣2cosx的值域是．10．y＝cosx（x∈[0，π]）与坐标轴所围成的图形的面积是．11．若函数y＝cosx的最小正周期T满足T∈（），则正整数k的值为．12．余弦函数y＝cosx的零点为．13．若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是．14．若实数x，y满足x2+2cosy＝1，则x﹣cosy的取值范围是．三、解答题15．已知f（x）＝sin（ωx十φ）﹣cos（ωx十φ）（0＜φ＜π，ω＞0）．函数y＝f（x）是偶函数，且最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求y＝g（x）的单调减区间．16．已知函数y＝f（x）和y＝g（x）满足关系g（x）＝f（x）f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）＝cosx+sinx，α＝，求函数y＝g（x）的表达式；（2）请设计一个定义域为R的函数y＝f（x）及一个α（0＜α＜π）的值，使得g（x）＝cos8x，并予以证明；（3）给出真命题：已知0＜x1＜x2＜时，总有＞成立．试用这个命题解决下列问题：设常数α＝0，f（x）＝（0＜k＜1），当x∈（0，）时，比较sin[g（x）]与g（sinx）的大小，并予以证明．

沪教版（2020）必修第二册《7.2余弦函数的图像与性质测试卷》2024年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：因为函数y＝xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x＝时，，当x＝π时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．2．【解答】解：∵y＝cos2x∴2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z）∴kπ≤x≤+kπ（k∈Z）当k＝0时，0≤x≤函数y＝cos2x单调递减故选：C．3．【解答】解：若f（x）＝sinx，则f（x）sinx＝sin2x为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cosx，则f（x）sinx＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．若f（x）＝sin2x，则f（x）sinx＝2cosxsin2x，为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cos2x，则f（x）sinx＝sinx﹣2sin3x，周期不为π不符合题意．故选：B．4．【解答】解：函数y＝cos22ax﹣sin22ax＝cos4ax，则T＝＝π，解得a＝±，故为不必要条件，当a＝时，函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x的最小正周期为π，故为充分条件，故选：A．二、填空题5．【解答】解：y＝cos3x＝sin（3x+），令t＝x+，则y＝sin3t．t∈[，π]在函数y＝sinnx中，令n＝3，得出函数y＝sin3x在[0，]上的面积为．在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．阴影部分面积为＝2故函数y＝cos3x在上的面积为2﹣＝故答案为：6．【解答】解：y＝2cos2x+1＝1+cos2x+1＝cos2x+2，∵ω＝2，∴T＝＝π．故答案为：π7．【解答】解：由于函数y＝cos（x+φ）是奇函数，则，而0＜φ＜π，所以．故答案为：．8．【解答】解：由题意，函数可化为设，则y＝cosu∵在R上增函数，y＝cosu的单调增区间为（2kπ﹣π，2kπ），k∈Z∴，k∈Z∴，k∈Z∴函数的单调递增区间是，k∈Z故答案为：，k∈Z9．【解答】解：函数y＝sin2x﹣2cosx＝1﹣cos2x﹣2cosx＝﹣（cosx+1）2+2，故当cosx＝﹣1时，函数y取得最大值为2，当cosx＝1时，函数y取得最小值为﹣2，故函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．10．【解答】解：y＝cosx（x∈[0，π]）的图象如图，根据积分的几何意义，y＝cosx（x∈[0，π]）与坐标轴所围成的图形的面积S＝cosxdx＝sinx＝sin﹣sin0＝1，故答案为：1．11．【解答】解：由已知可得函数的最小正周期为T＝＝，解得8π＜k＜9π，又k∈N*，所以k＝26，27或28，故答案为：26，27或28．12．【解答】解：根据余弦函数的图象和性质，可得余弦函数y＝cosx的零点为x＝kπ+，k∈Z．故答案为：kπ+，k∈Z．13．【解答】解：函数f（x）＝cosx﹣sinx＝，所以，由于在[0，a]是减函数，所以，即．所以a的最大值为．故答案为：．14．【解答】解：实数x，y满足x2+2cosy＝1，可得cosy＝，由﹣1≤cosy≤1，解得﹣≤x≤，则x﹣cosy＝x﹣＝（x+1）2﹣1，设f（x）＝（x+1）2﹣1，﹣≤x≤，可得f（﹣1）＝﹣1为最小值；f（）＝1+为最大值，可得x﹣cosy的取值范围是[﹣1，1+]．故答案为：[﹣1，1+]．三、解答题15．【解答】解：（1）f（x）＝sin（ωx十φ）﹣cos（ωx十φ）＝2sin（ωx十φ﹣），由f（x）的最小正周期为π，可得ω＝＝2．又函数y＝f（x）是偶函数，可得φ﹣＝kπ+，k∈Z，由0＜φ＜π，可得k＝0时，φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+﹣），即f（x）＝2cos2x，所以f（）＝2cos＝；（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位后，可得y＝2cos2（x﹣），即y＝2cos（2x﹣）的图像；再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝2cos（x﹣），即g（x）＝2cos（x﹣）的图像．由2kπ≤x﹣≤2kπ+π，可得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．16．【解答】解：（1）∵f（x）＝cosx+sinx，α＝，∴f（x+a）＝cosx﹣sinx；∴g（x）＝f（x）•f（x+a）＝cos2x；（2）证明：g（x）＝cos8x＝cos24x﹣sin24x＝（cos4x﹣sin4x）（cos4x+sin4x）＝cos（4x+）×sin（4x+）＝sin（4x+）×sin（4x+）