第2章-点、直线、平面的投影

01第2章点、直线、平面的投影2.1点的投影点的三面投影点的投影与直角坐标的关系12两点的相对位置3作点的轴测图4点、直线、平面是构成形体的基本几何元素。2.1点的投影面BCDA线点

1.点的三面投影2.1点的投影W投影面展开XVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋转90°HW面向右旋转90°OXZYHaxaza

ayayaa″V面不动

1.点的三面投影2.1点的投影点的投影规律：(1)点的投影连线，必定垂直于相应的投影轴。

(2)点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。

2.点的投影与直角坐标的关系2.1点的投影点的空间位置，可用直角坐标来表示，点A坐标的规定书写形式为：A(x,y,z)。

点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z

。例1:已知点A(12，10，15)，判定点A的空间位置，并求点A点的三面投影图。2.1点的投影1.作投影轴；

2.量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点；作图步骤:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123.过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a′、a″既为所求。例2：已知点的两个投影，求第三投影。2.1点的投影●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通过作45°线使a

az=aax用圆规直接量取a

az=aax3.两点的相对位置2.1点的投影两点的相对位置指两点在空间的左右、前后、上下位置关系。

x坐标大的在左；

y坐标大的在前；

z坐标大的在上。判断方法：B点在A点的左、前、下方。

上下后左右前两点重影2.1点的投影

当空间两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。()H面重影，被挡住的投影加()2.2直线的投影直线的三面投影属于直线的点12各种位置平面的投影3两直线的相对位置41.直线的三面投影2.2直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。2.属于直线的点2.2直线的投影如果一个点在直线上，则该点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。直线与点的相对位置2.2直线的投影ABVHCbcac′b′a′e′eC点在直线AB上；D点不在直线AB上。D例1：判断点K是否在线段AB上。2.2直线的投影a″b″●k″因k″不在a″

b″上，故点K不在AB上。abka′b′k′●●3.各种位置直线的投影2.2直线的投影投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面投影特性：（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜；（2）一般位置直线的各面投影的长度均小于实长。一般位置直线2.2直线的投影2、投影面平行线投影特性：1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。2.2直线的投影与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ2.2直线的投影b″a″abab′b″aa″b′ba′水平线侧平线正平线γ实长实长实长βγααβba″aa′b′b″′3、投影面垂直线投影特性：1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。2.2直线的投影2.2直线的投影铅垂线正垂线侧垂线●c′(d

)cdd″c″●a′b′a(b)a″b″●e′f′efe″(f″)积聚为点积聚为点积聚为点d′C′dddCAB为水平线CD为侧平线2.2直线的投影例2：判断下列直线的空间位置例3在立体的投影上判断直线的位置AB水平

线；SB侧平线；AC侧垂

线；SA一般位置线。2.2直线的投影⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。4.两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。2.2直线的投影abcda′b′c″d″例4：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CDX2.2直线的投影

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论:AB与CD不平行例5：判断图中两条直线是否平行2.2直线的投影cbadd′b′a′c′b″d″c″a″2.两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。2.2直线的投影HVXABCDabcda′b′c′d′abcdb′a′c′d′kk′交点是两直线的共有点k′kK●●cabb′a′c′d′k′kd例6：过C点作水平线CD与AB相交先作正面投影2.2直线的投影3.两直线交叉

同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律，是两直线上的一对重影点的投影。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。AB与CD两直线相交吗结论：AB与CD两直线不相交2.2直线的投影12●●d′b′a′abcdc

1′(2′

)3(4)●●3′

4′●●平面的表示法各种位置平面的投影12平面上直线和点的投影32.3平面的投影1.平面的表示法不属于同一直线的三点可确定一平面。因此平面可以用如图所示的任何一组几何要素的投影来表示。在投影图中，常用平面图形来表示空间的平面。2.3平面的投影

2.各种位置平面的投影投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面2.3平面的投影一般位置平面投影特性:三面投影都是小于原平面图形的类似形a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC2.3平面的投影铅垂面投影特性：1.H面投影积聚成一直线,反映平面与V面夹角β和与W面夹角γ；2.V面和W面投影是类似形。2.3平面的投影正垂面投影特性：1.V面投影积聚为一直线,反映直线与H面夹角α和与W面夹角γ；2.H面投影和W面投影为类似形。

2.3平面的投影侧垂面

投影特性：1.W面投影积聚为一直线,反映平面与V面的夹角β和与H面的夹α；

2.V面投影和H面投影为类似形。2.3平面的投影投影面垂直面投影特性总结

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。2.3平面的投影投影面平行面投影特性：(1)水平投影△abc反映△ABC实形；(2)a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线。CABa"b"c'baca'b'c"ca′b'b"baa"c′c"水平面2.3平面的投影直线的位置直观图正平面投影图投影特性侧平面水平面CBAb"c'ab"bac'1．水平投影反映实形。2．正面投影积聚成平行于X轴的直线。3．侧面投影积聚成平行于Y轴的直线。1．正面投影反映实形。2．水平投影积聚成平行于X轴的直线。3．侧面投影积聚成平行于Z轴的直线。1．侧面投影反映实形。2．正面投影积聚成平行于Z轴的直线。3．水平投影积聚成平行于Y轴的直线。投影面平行面投影特性总结在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。2.3平面的投影例1在立体的投影上判断平面的位置▲SAB

面？▲ABC

面？

▲SAC

面？水平面一般位置侧垂面2.3平面的投影

条件一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

1、属于平面的直线3.平面上直线和点的投影●●MN2.3平面的投影条件二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。AB●M2.3平面的投影有无数解abb′a′abnb′n′a′d′mnn′m′d例2：已知平面由直线AB、AN所确定，试在平面内任作一条直线。

解法一：解法二：根据条件一有多少解根据条件二2.3平面的投影⒉属于平面的点（平面上取点）

方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。条件：若一点属于平面内一条线，则此点属于该平面。2.3平面的投影例3：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca′k′b′●①c′利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●d′d②●abca′b′k′c′k●2.3平面的投影bckada′d′b′c′k′例4：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。2.3平面的投影换面法的概念点的投影变换12直线的投影变换32.4投影变换a1

c1

b1

V1X1X1

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.换面法的概念新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2．新投影面