2024～2025学年度八年级数学上册第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教学设计

第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教学目标课题12.2第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等授课人素养目标1.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，经历探索“ASA”的过程.2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生几何直观感知能力与推理能力.3.能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形，培养学生分析与作图能力.教学重点探索“ASA”，用“ASA”证明“AAS”，运用“ASA”“AAS”判定三角形全等，尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．教学难点“ASA”的探究过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图在进入新课的探究之前设置一个悬念，既是问题，也是探究的现实意义.【情境引入】如图，小熊不慎将一块三角形模具打碎为三块，它是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中的理由吗？【教学建议】教师展示图片并提出问题，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生的好奇心和求知欲．此处不必告知结果，使学生带着疑问在后面的探究中找寻答案.活动二：动手操作，探究新知设计意图以“两角一边分别相等”能否保证两个三角形全等切入主题，经历探索三角形全等的判定条件——“ASA”的过程，学会尺规作图：已知两角及其夹边作三角形的方法，并运用“ASA”解题.探究点1用“ASA”判定三角形全等我们在前面已经知道用三个条件探索三角形全等共有四种情况——三边分别相等、两边一角分别相等、两角一边分别相等、三角分别相等，而前两种情况已经在之前的两个课时中分别探讨了，这节课我们将探索后两种情况.问题：“两角一边分别相等”有几种可能性呢？请举例.答：有两种可能性，如图所示.我们分情况进行讨论，先来看“两角及其夹边分别相等”的情况.探究先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B(即两角和它们的夹边分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？【教学建议】本节课继续探讨三个条件能否保证两个三角形全等．先发现“两角一边分别相等”存在两种可能性，再分两个探究点分别探究．在第一个探究过程中对“角边角”判定方法的处理与“边边边”“边角边”判定方法类似，先通过作图实验操作让学生经历探究过程，然后在让学生总结探究出的规律后，直接以基本事实的方式给出“角边角”判定方法．需要注意已知两角及其夹边作三角形也是课标要求学生能够作出的尺规作图，其中蕴含两个基本作图，可让学生口述是哪两个.教学步骤师生活动如图给出了画△A′B′C′的方法．你是这样画的吗？探究的结果反映了什么规律？由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.例1(教材P40例3)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证AD＝AE.分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE.证明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(ASA)．∴AD＝AE.【对应训练】1.请解答“活动一”中的问题.解：能配一块与原来一样的三角形模具，带③去合适，理由：由③可确定三角形的两角及其夹边，那么据此可确定唯一的三角形，这是“已知两边及其夹角作三角形”的实际模型，也是“ASA”的原理，所以带③去合适.2.教材P41练习第2题.【教学建议】设置例1的目的是给学生应用“角边角”解决问题做出示范，与上节课活动二中的例1类似，都是通过证明全等三角形的对应边相等来证明线段相等的．在用大括号列举证全等的条件时备注公共角∠A，因为它既是△ACD的角，又是△ABE的角．这说明在证两个三角形全等时，公共角和公共边一样可作为已知条件使用.设计意图使学生经历证明定理——“AAS”的过程，了解“ASA”与“AAS”的关系，并思考“AAA”无法判定两个三角形全等的原因，最后对已学的三角形全等的判定方法做出总结.探究点2用“AAS”判定三角形全等我们接着探究“两角和其中一角的对边分别相等”的情况，先看下面这道例题.例2(教材P40例4)如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证△ABC≌△DEF.分析：如果能证明∠C＝∠F，就可以利用“角边角”证明△ABC和△DEF全等．由三角形内角和定理可以证明∠C＝∠F.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))∴△ABC≌△DEF(ASA).【教学建议】与其他判定方法先由作图实验探究，再由基本事实给出的方式不同，这里是用“角边角”来证明“角角边”的正确性，所以设置例2来得到“角角边”这个判定方法．首先例2的题干提出了问题，问题得证即可知“AAS”的正确性，接着在分析中教学步骤师生活动因此我们可以得到下面的结论：也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.知识点睛“ASA”与“AAS”的区别与联系：思考三角分别相等的两个三角形全等吗？解答上述问题后，把三角形全等的判定方法做一个小结.答：不一定全等.如图，DE∥BC，于是∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但显然△ADE与△ABC大小不同，它们不全等.注意：为方便记忆，我们可将上述这种情形简记为“AAA”.类似于“SSA”，“AAA”也不能作为判定三角形全等的依据.归纳总结：【对应训练】教材P41练习第1题.定理证明.通过例2说明“AAS”是“ASA”的推论.这一系列的推导过程可使学生了解到“AAS”不是基本事实，而是定理.教师注意跟学生强调这两种判定方法之间的区别.至此，判定两个三角形全等的“三个条件”中就剩下三角分别相等的条件了.【教学建议】这里用“思考”启发学生自行探究.教师可引导学生作图，不难发现这种情形举出反例说明较容易.最后可让学生代表对三角形全等的方法做一个总结，如有不全面的地方加以补充，培养学生归纳总结及表达能力，体会数学推理的严谨性及完整性.教学步骤师生活动活动三：综合训练，巩固提升设计意图将全等三角形的判定方法——“ASA”“AAS”与全等三角形的性质综合，强化学生对于新知的理解，锻炼学生解题能力.例如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝8，CF＝6，求BD的长.(1)证明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠ECF，,∠ADE＝∠F，,DE＝FE，))∴△ADE≌△CFE(AAS).(2)解：由(1)可知△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝6.∵AB＝8，∴BD＝AB－AD＝8－6＝2，即BD的长是2.【对应训练】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)若AE＝13，AF＝7，试求DE的长.(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF.在△BDE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠DCF，,BD＝CD，,∠BDE＝∠CDF，))∴△BDE≌△CDF(ASA).(2)解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE－AF＝13－7＝6.∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF.∵DE＋DF＝EF＝6，∴DE＝3.【教学建议】在选用“ASA”或“AAS”判定三角形全等时，注意要将判定方法描述正确，不要混淆．我们可以这样区分：“ASA”必须是两角及其夹边，先确定是不是这种情况，否则就是“AAS”．而在找寻等角时，通常依靠以下办法：①对顶角；②公共角；③等角加(减)等角；④同(等)角的余(补)角；⑤角平分线；⑥垂线或平行线；⑦全等三角形的性质；⑧等量代换.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是“ASA”？什么是“AAS”？你能用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等吗？2.“AAA”一定能判定两个三角形全等吗？你能举例说明吗？3.判定两个三角形全等的方法有哪些？能做一个总结吗？4.你能用尺规作图的方法已知两角及其夹边作三角形吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P44～45习题12.2第4，5，6，11，12题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第3课时用“ASA”“AAS”判定三角形全等1.基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”). 2.定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”). 3.尺规作图：已知两角及其夹边作三角形. 4.实际应用：用“ASA”“AAS”判定三角形全等. 教学步骤师生活动教学反思本节课探究三角形全等的判定方法——“ASA”“AAS”，教学的展开借助于动手操作、分组讨论等，先引导学生从动手操作出发探索出“ASA”，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法，再借助例题利用“ASA”去证明“AAS”，加强学生数学推理里的逻辑思维能力．初学时学生对于“AAS”和“ASA”的选择可能会混淆，需要讲清楚分辨方法，并通过练习加强巩固和理解.解题大招全等三角形的开放性问题开放性问题分为条件开放型与结论开放型，若是条件开放，一般从已知条件(包括隐含条件)入手，分析解决问题还缺少的条件，这个条件即为要补充的条件；若是结论开放，一般根据已知条件可以得到多种结论，可发挥想象，符合题目限制要求的答案均可．开放性问题有利于发散学生思维及提高创新能力．下面是证明全等三角形的一些常见思路总结，可作为解题时的一些参考.1.条件开放型例1如图，在△ABE和△DCE中，∠A＝∠C，AE＝CD，请添加一个条件：AB＝CE或∠AEB＝∠CDE或∠ABE＝∠CED，使△EAB≌△DCE.(添加一种情况即可)解析：在△ABE和△DCE中，已知∠A＝∠C，AE＝CD，若根据“SAS”，可添加AB＝CE；若根据“ASA”，可添加∠AEB＝∠CDE；若根据“AAS”，可添加∠ABE＝∠CED.2．结论开放型例2如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一)．(2)选△ABE≌△CDF，证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CDF，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△ABE≌△CDF(AAS)．培优点全等三角形中的“一线三等角”模型(1)模型特征：在一条直线上有三个相等的角．模型展示如下：(2)解题思路：通过三角形外角的性质，得到两个三角形中的对应角相等，从而证明全等．例1如图，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.证明：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠CFD＝∠ACF＋∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CAF，,AB＝CA，,∠BAE＝∠ACF，))∴△ABE≌△CAF(ASA)．例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长．(1)证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴易得∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB＝90°，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝CB，))∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由(1)知△ADC≌△CEB，则AD＝CE＝5cm，CD＝BE.∴BE＝CD＝CE－DE＝5－3＝2(cm)．例3“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况．在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现还经常会伴随着出现全等三角形．请你根据对材料的理解解答以下问题：(1)如图①，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC，猜想DE，AD，BE之间的关系并说明理由．(2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，AC＝BC，请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图③，在△ABC中，D为AB上一点，DE＝DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，请直接写出AB的长．分析：(1)猜想：DE＝AD＋BE，证明△ADC≌△CEB(AAS)，推出AD＝CE，CD＝BE，可得结论；(2)结论成立．证明△