2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 分式的基本性质与约分教学设计

15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分教学目标课题15.1.2第1课时分式的基本性质与约分授课人素养目标1.通过类比分数的基本性质，经历分式的基本性质的探究过程，感知类比的思想方法，体会由“数”到“式”的抽象.2.能利用分式的基本性质进行约分，了解最简分式的概念，能将分式化为最简分式. 3.掌握分式的变号法则，并运用分式的基本性质进行恒等变形，提高运算能力．教学重点理解并掌握分式的基本性质并利用其进行约分．教学难点灵活运用分式的基本性质进行分式的约分以及运用变号法则进行分式的恒等变形.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，导入新课设计意图从回顾分数的基本性质开始，通过类比分数的基本性质，引出活动二分式的基本性质，达到由具体到抽象转化的目的.【回顾导入】教师提问：eq\f(3,4)与eq\f(15,20)相等吗？eq\f(4,6)与eq\f(2,3)相等吗？依据的是什么？答：相等．因为eq\f(3,4)＝eq\f(3×5,4×5)＝eq\f(15,20)，即分数eq\f(3,4)的分子、分母同乘5，分数的值不变.eq\f(4,6)＝eq\f(4÷2,6÷2)＝eq\f(2,3)，即分数eq\f(4,6)的分子、分母同除以2，分数的值不变.依据分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变.由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么eq\f(2,3)＝eq\f(2c,3c)，eq\f(4c,5c)＝eq\f(4,5).教师鼓励大家尝试用字母表示分数的基本性质.小组讨论交流后一起写出分数的基本性质的字母表达式.一般地，对于任意一个分数eq\f(a,b)，有eq\f(a,b)＝eq\f(a·c,b·c)，eq\f(a,b)＝eq\f(a÷c,b÷c)(c≠0)，其中a，b，c是数.【教学建议】教学中教师也可多设计一些分数变形的题目帮助学生探索.【教学建议】教师引导学生思考为什么c≠0.(分母为0无意义)活动二：问题引入，探究新知设计意图采用问答的方式达到启发学生猜想、探索分式的基本性质的目的，并初步尝试应用分式的基本性质将分式变形.探究点1分式的基本性质问题经过上述的探究后，你认为分式和分数具有相同的性质吗？你能用语言描述吗？能用式子表示吗？其实，分式的基本性质与分数的基本性质非常接近，只是将分数的基本性质中的“乘(或除以)同一个不为0的数”替换成“乘(或除以)同一个不等于0的整式”.概念引入：分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.用式子表示：eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)(C≠0)，其中A，B，C是整式．【教学建议】教学中，应引导学生注意式子eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)中的A，B，C表示的是整式，且整式C不等于0.随着知识的扩充，学生将会知道A，B，C还可以表示其他式子.教学步骤师生活动例(教材P129例2)填空：解析：因为eq\f(x3,xy)的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要除以x，即eq\f(x3,xy)＝eq\f(x3÷x,xy÷x)＝eq\f(x2,y).所以，第一个括号中应填x2.同样地，易得第二个括号中应填2x.解析：因为eq\f(1,ab)的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即eq\f(1,ab)＝eq\f(1·a,ab·a)＝eq\f(a,a2b).所以，第一个括号中应填a.同样地，易得第二个括号中应填2ab－b2.想一想：(1)中为什么不给出x≠0，而(2)中却给出了b≠0？想一想：运用分式的基本性质应注意什么？归纳总结：【对应训练】填空：(1)eq\f(3x2y,5xy2)＝eq\f(3x,（5y）)；(2)eq\f(bn＋n,an＋cn)＝eq\f(（b＋1）,a＋c)；(3)eq\f(b,2ab)＝eq\f(（2ab）,4a2b)；(4)eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x2－x,（x2－1）)(x≠1).【教学建议】教师提示学生在做这样的题时，需根据分式的基本性质，从分子或分母的已知部分入手，观察等号左右两边的分子(母)发生了怎样的变化，然后对该分式的分母(子)做出相同的变化.设计意图由于分式的约分和分数的约分是很类似的，所以设计这样一个由分数约分类比得出分式约分的过程，进一步渗透类比思想.探究点2约分及最简分式知识回顾将分数eq\f(24,36)约分.问题1由此分数的约分，结合探究1的例题你能联想到如何对分式进行约分吗？与分数的约分类似，在探究1的例(1)中，我们利用分式的基本性质，约去eq\f(3x2＋3xy,6x2)的分子和分母的公因式3x，不改变分式的值，把eq\f(3x2＋3xy,6x2)化为eq\f(x＋y,2x).概念引入：像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.【教学建议】教学中应提醒学生找出分子和分母的公因式是约分的第一步．如何找公因式，可让学生类比分数约分时找最大公因数的方法，从而引导学生说出找公因式的步骤：(1)找系数的最大公因数；(2)找分子、分母相同因式的最低次幂；(3)两者的乘积即为公因式.教学步骤师生活动经过约分后的分式eq\f(x＋y,2x)，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.例(教材P131例3)约分：(1)eq\f(－25a2bc3,15ab2c)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)；(3)eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y).解：(1)eq\f(－25a2bc3,15ab2c)＝－eq\f(5abc·5ac2,5abc·3b)＝－eq\f(5ac2,3b)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)＝eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)＝eq\f(x－3,x＋3)；(3)eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y)＝eq\f(6（x－y）2,3（x－y）)＝2(x－y).问题2结合上面的例题，你认为约分有哪些基本步骤？约分的基本步骤：(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.问题3由例题中约分后的结果，你认为约分要达到怎样的程度？分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【对应训练】教材P132练习第1题.【教学建议】在学生探究的过程中，教师应关注学生以下几个方面：(1)学生是否知道约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式；(2)找分式的分子、分母的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；(3)是否注意到分式的符号的变化；(4)约分结果是否彻底等.对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思．师生再一起总结相应约分的基本步骤及约分的结果是怎样的.活动三：知识延伸，巩固升华设计意图加深学生对分式的基本性质的理解，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.例不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号.(1)eq\f(－x,5y)；(2)eq\f(－3a,－7b)；(3)－eq\f(10m,－3n).解：(1)eq\f(－x,5y)＝－eq\f(x,5y)；(2)eq\f(－3a,－7b)＝eq\f(3a,7b)；(3)－eq\f(10m,－3n)＝eq\f(10m,3n).归纳总结：分式eq\f(A,B)本身及其分子、分母这三处的正负号(在分式前面、上面、下面)中，同时改变两处，分式的值不变，即eq\f(A,B)＝－eq\f(－A,B)＝－eq\f(A,－B)＝eq\f(－A,－B).【对应训练】教材P133习题15.1第5题.【教学建议】事实上，借助分数的经验以及分式的基本性质，研究分式的变号法则并不困难．教师可以在学生自己完成例题的基础上适当进行归纳，使学生掌握分式的变号法则.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.分式的基本性质是什么？2.对分式进行约分的依据是什么？步骤是什么？3.什么是最简分式？约分的结果最后要化成什么？4.分式的变号法则是什么？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P133习题15.1第4，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 2.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．教学反思本节课运用类比得出分式的基本性质及约分的方法，在这个教学活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中来的，而是通过自己去类比发现的，这个过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，达到了学生主动参与、探究新知的目的，然后顺势探究分式的变号法则．在活动中，设计了具有启发性的问题，对知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导等，一步一步地完成既定教学目标.解题大招一判断分式中字母的变化与分式值的变化之间的关系先求出变化后的分式，然后进行化简，最后与原分式进行比较．例1分式eq\f(2x＋3y,3x)中的x，y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值为（B）A．扩大为原来10倍B．不变C．缩小为原来的eq\f(1,10)D．缩小为原来的eq\f(1,20)解析：分式中的x，y的值都扩大到原来的10倍后为：eq\f(2x×10＋3y×10,3x×10)＝eq\f(20x＋30y,30x)＝eq\f(2x＋3y,3x)，即原分式中的x，y的值都扩大到原来的10倍，分式的值不变．故选B.解题大招二分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法例2不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)eq\f(x－0.3y,0.8x－5y)；(2)eq\f(\f(m,2)＋\f(n,3),\f(2m,5)－\f(2n,3)).解：(1)eq\f(x－0.3y,0.8x－5y)＝eq\f(（x－0.3y）×10,（0.8x－5y）×10)＝eq\f(10x－3y,8x－50y)；(2)eq\f(\f(m,2)＋\f(n,3),\f(2m,5)－\f(2n,3))＝eq\f(（\f(m,2)＋\f(n,3)）×30,（\f(2m,5)－\f(2n,3)）×30)＝eq\f(15m＋10n,12m－20n).解题大招三利用整体代入法化简求值方法①：可将所求分式的分子、分母先分解因式再约分化简，最后将已知条件变形后代入求值．方法②：可将所求式子变形后化简，再将已知条件代入求值．例3已知eq\f(x,y)＝3，求eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)的值．解法一：eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(（x－y）（x＋3y）,（x－y）2)＝eq\f(x＋3y,x－y).由eq\f(x,y)＝3，得x＝3y，∴eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(x＋3y,x－y)＝eq\f(3y＋3y,3y－y)＝eq\f(6y,2y)＝3.解法二：eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(\f(x2,y2)＋\f(2xy,y2)－\f(3y2,y2),\f(x2,y2)－\f(2xy,y2)＋\f(y2,y2))＝eq\f(（\f(x,y)）2＋2·\f(x,y)－3,（\f(x,y)）2－2·\f(x,y)＋1)＝eq\f(（\f(x,y)－1）（\f(x,y)＋3）,（\f(x,y)－1）2)＝eq\f(\f(x,y)＋3,\f(x,y)－1).∵eq\f(x,y)＝3，∴eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(\f(x,y)＋3,\f(x,y)－1)＝eq\f(3＋3,3－1)＝3.培优点与分式基本性质有关的阅读理解题在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例已知eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,4)，求代数式x2＋eq\f(1,x2)的值．解：∵eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(x2＋1,x)＝4，即eq\f(x2,x)＋eq\f(1,x)＝4.∴x＋eq\f(1,x)＝4，∴x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2＝16－2＝14.材料二：在解决某些连等式问题时，通常