概率论与数理统计教学13-第一章第三节(概率统计)

第一章随机事件与概率

1.3频率与概率第一章随机事件与概率

1.3频率与概率

内容简介:通过借助于熟悉的频率及其性质,引出概率的统计定义,建立概率的公理化定义,在此概念基础上,研究概率的有限可加性、差事件和对立事件的概率计算公式、概率加法公式等重要理论。1.3.1提出问题

1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和刻画它？

2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗?可以给我们哪些启示呢？1.3.3预备知识

1.频数,频率,掷币试验的频率.

我们观察一项随机试验所发生的各个事件,就其一次具体的试验而言,每一事件出现与否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言.

但是在大量的重复试验后,就会发现:某些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致相同.1.3.3问题分析

比如,一个箱子中装有100只产品,其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可能性大.假如这100只产品中的合格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大致相同.

所以,一个事件发生的可能性大小是它本身所固有的一种客观的度量.很自然,人们希望用一个数来描述事件发生的可能性大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大;事件发生可能性小的,这个数就小.

为此,我们引入熟悉的“频率”的概念,它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标——概率.

定义1

在相同的条件下，进行了n次试验,在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数；比值

称为事件A发生的频率,并记为fn(A).

1.频率引例

在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据.表1-2

掷硬币试验数据

频率0.50774096180640罗曼诺夫斯基0.50051201224000皮尔逊0.5016601912000皮尔逊0.508020484040蒲丰出现正面次数nA(频数)投掷次数n实验者

上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定于0.5.实验者资料

频率具有下列性质：

性质1

非负性:

0≤fn(A)≤1.性质2规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1.

经验表明：虽然n次试验中,事件A出现的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个常数附近摆动.用这个常数来表示事件A发生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础.性质3可加性:若A,B互不相容,则

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B).2.概率的统计定义

定义2在试验条件不变的情况下，重复作n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验中发生的概率，记作P(A).即P(A)=p.

数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2是概率的统计定义.例如,在引例中就可以用0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现的可能性大小.用概率的统计定义来估计概率的方法,在过去和现在解决了不少问题,但它们

在理论上存在缺陷,在应用上也有局限性.

例如,在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的“充分大”,也不清楚试验次数应该大到什么程度,因此概率的统计定义不能作为数学意义上的定义.讲评“频率”与“概率”的区别：

(1)事件的频率与概率有着本质区别:频率具有随机波动性,是一个变数;而概率是一个常数,具有客观性.

(2)概率的统计定义只是一种描述,它指出了事件的概率是客观存在的,随着试验次数的增加,频率在概率附近摆动.因此,在实际问题中,当试验的次数n很大时,频率通常作为概率的近似值.1.3.4建立理论

定义3设E是随机试验,Ω是E的样本空间,若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A)与之对应,如果集合函数P(·)满足下列条件：

(1)非负性：对于每一事件A,有0≤P(A)；

(2)规范性：对必然事件Ω,

有P(Ω)=1；

(3)可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,…,An,…,

有

P

(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…(1.3.1)

则实数P(A)称为事件A的概率.

1.概率的公理化定义

对上面讲过的“频率”定义、“概率统计”定义都满足这个定义中的条件要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A).因此,我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一次试验中发生的可能性的大小.令An=,n=1,2,…,则

概率的一些重要性质:

证2.概率重要性质

=并且AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).由概率的可列可加性得P()=由概率的非负性知P()≥0,因此,由上式得到

P()=0.性质4

P()=0.

性质5(加法公式)对于两两互不相容的n个事件A1,A2,…,An,则有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1.3.2)

证令An+1=An+2=…=,由假设即得

AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).P(A1∪A2∪…∪An)==P(A1)+P(A2)+…+P(An),(1.3.2)式得证.

讲评:

关键词是两两互不相容.一般情形见(1.3.10)式.由概率的可列可加性(1.3.1)得

性质6(差事件概率)设A,B为两个事件,若A

B,则有P(B－A)=P(B)－P(A).(1.3.6)

讲评:关键词是A

B.否则不成立.这里隐含

P(A)≤P(B).如若P(A)=,P(B)=,

则P(B)-P(A)=

一般情形是概率减法公式

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB).

由AB知B=A∪(B－A),且A(B－A)=,由概率的有限可加性(1.3.2)得到

P(B)=P(A)+P(B－A),移项,(1.3.6)式得证.

证

推论1(保序性)若AB,则

P(A)≤P(B).

证

由概率的非负性,得P(B－A)≥0.

由(1.3.6)式得到

P(A)≤P(B).

性质7

对于任意事件A,都有P(A)≤1.

证

因为对于任意事件A,都有A

Ω,由概率的保序性和规范性,得P(A)≤P(Ω)=1.

可见,对于任意事件A,概率的有界关系为

0≤P(A)≤1.

因为A∪

=Ω,由规范性和有限可加性(3.2)得到1=P(Ω)=P(A∪)=P(A)+P().

移项,得到所证等式.

性质8(对立事件的概率)设是A的对立事件,则有

P()=1－P(A).

(1.3.8)

证

性质9(概率加法公式)对于任意的事件A,B,有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB).(1.3.9)证因为A∪B=A∪(B－AB),且A(B－AB)=,及ABB,

由有限可加性(1.3.3)和概率减法公式(1.3.5)得到

P(A∪B)=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB).

推论2对任意的事件A,B,

有P(A∪B)≤P(A)+P(B).

证

注意

加法公式在计算两个事件和的概率时经常使用.两个事件的加法公式面积解释由性质9

(1.3.9)式得证.

对于n个事件A1,A2,…,An有关系式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)

+…+(-1)n+1

P(A1A2…An).(1.3.10)推广：n个事件A1,A2,…,An有关系式

特别地,设A1,A2,A3是三个事件,P(A1∪A2∪A3)－P(A1A2)－P(A1A3)－P(A2A3)+P(A1A2A3)

(1.3.11)式(1.3.11)是三个事件和的概率加法公式.则有

=

P(A1)+P(A2)+P(A3)

如果A1,A2,A3两两互斥,则得到三个事件和的加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

讲评:对于一般情形,当事件A1,A2,…,An两两互斥时,有加法公式(1.3.2),即

讲评:

本题的作用是训练用概率的性质计算概率.常用公式有:(1)对立事件概率公式(2)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

例2

已知P(AB)=0.5,P(C)=0.2,

P=0.4,求解

=1-[0.5+(1-0.2)-0.4]=0.1.

1.3.5方法应用

设A,B,C分别表示{居民订购A,B,C

报}事件,由题设知(1)

P(只订A及B报的)

==P(AB-C)=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.1-0.03=0.07.

例1.3.1

某城市共发行A,B,

C三种报纸.

调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,

同时订购A,B两报的占10%,同时订购A报和C报或者B报和C报的各占8%,5%,三种报纸都订的占3%.今在该城中任找一户,问:(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?

(2)该户只订C报的概率为多少?解

讲评:

易混点是“同时订购A报和B报”与“只订A报和B报”.常用性质

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB),而不是

P(A-B)=P(A)-P(B).

(2)

P(只订C报的)=

=P(C-(A∪B))=P(C-C(A∪B))=P(C)-P(AC∪BC))=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=0.3-(0.08+0.05-0.03)=0.2.1.3.6内容小结提出问题

1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和描述