沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第7讲 一元二次方程的应用（一）(解析版)

w一元二次方程的应用

内容分析

本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解，

二是运用方程的思想解决关于数字及增长(降低)率的实际问题.通过本节的学

习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思

想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题.

知识结构

模块一：二次三项式的因式分解

知识精讲

1、二次三项式的因式分解

(1)形如2》2一4犬-1的多项式称为二次三项式；

(2)如果一元二次方程2d-4x-l2/一4尤一1的两个根是2d—4尤一1和2x2-4x-l,那

么二次三项式的分解公式为：2炉-以-12尤2-4尤-1.

例题解析

【例1】在实数范围内不能分解因式的是()

A.2厂—4x-1B.x~-2\[^x—6

C.5X2-2X+11D.4X2-2X-2

【答案】C

【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式△=6?-4*与

0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，

A：A=(-4)2-4X2X(-1)=24>0；B：公=卜2厨-4xlx(-6)=36>0；

C：A=(-2)2-4x5xll=-216<0；D：A=(-2)2-4x4x(-2)=36>0；

只有C选项△小于0,故选c.

【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可.

【例2】方程尔+法+。=0(叱0)的两个实数根是占则把这个

二次三项式办2+6x+c进行因式分解的结果是

2

【解析】ax+Z?.x+c=a(x-X1)(x-x2),即得该式可分解为

【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解.

【例3】将9储+1一36-6a在实数范围内因式分解，正确的结果是()

A.（3a-l+®（3a+l-扬）B.（3°-1-岛）（3a+l+&）

C.(30-1+&)(3<2-1-&)D.(3a+l+标)(3a+l-限)

【答案】C

【解析】关于的一元二次方程9/一6。+1—362=0的根为卬=匕普，出=上£

由此对应的二次三项式分解为9(a-%)(a-g)，

即为9+=(3a-1-扬)(3a-l+技),故选C.

【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可.

【例4】在实数范围内分解因式：

(1)2X2-8；(2)。一1)3—5(尤-1)；

(3)-X2+X+72；(4)2X2-4X-30.

【答案】⑴2(x+2)(x-2)；(2)-逐)(x-l+⑹；(3)一(x-9)(x+8)；

(4)2(x-5)(x+3).

【解析】(1)原式=2(f—4)=2(x+2)(x-2)；

(2)原式=(无一l)[(x-l)2—51=(无一1乂了2-2元一4),x1—2x—4—0,

解得：石=1+后，％=1-石，即得-2》一4)=(犬一1)卜一1-百)卜一1+百卜

(3)原式=-(x2-x-72)=-(x-9)(x+8)；

(4)原式=2(f_2尤—15)=2(x-5)(x+3).

【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为

2

ax+Z?x+c=tz(x-x1)(x-x2).

【例5】在实数范围内分解因式：

(1)2X2-8X+5；(2)2f—2岳-1.

2727

【解析】(1)令2/一8》+5=0,解得:

22

即该式可分解为a(x-X1)(x-x2)=2

(2)令2/-2缶-1=0,解得:

22

即该式可分解为°(尤-王)(工-工2)=2

1

【总结】考查二次三项式的因式分解，ax+bx+c=a^x-xx^x-.

【例6】在实数范围内分解因式:

(1)x2y2+4xy+1；(2)2x2-2y/2xy-y2；

(3)~x2y2-3A^+4.

(2)2x-^^yx_j

【答案】

(3)

【解析】(1)令。=个，该方程即为4+4。+1=0,解得：4=—2+若，/=-2,

(2)令2/_2夜孙-丁=0,解得:A/2+2

西=---y,x2=---y,

'72+2A/2-2)

该式可分解为2I"一--Jx-一—y^

(3)令1=町，该方程即为一g4—3〃+4=0,角军得：%=—3+^/F7,%=—3—^/5^，

・••该式可分解为」仿+3-

2、

【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用.

【例7】在实数范围内分解因式:

（1）2X4+7X2-72;（2）-4/-10/+36.

【答案】⑴（f+8）（缶一3）（夜x+3）；（2）一2（2丁+9）卜一夜）（y+夜）.

【解析】（1）原式=，+8）（才—9）=（炉+8）（缶一3）（缶+3卜

（2）原式为=-2（2yt+5/-18）=-2（2y2+9）（/-2）=-2（2x2+9）（y-应）（y+应）.

【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底.

【例8】在实数范围内分解因式：

（1）苏-2巾”-"2；（2）3-+12忘冲+11丁；

（3）6x2y2+2xy—l.

【答案】（1）（机一〃一0〃）（加一〃+应几）；（2）3■+6后3y

【解析】（1）令加一2加〃一〃2=0,解得：町=（1+拒）"，也=（1一行）〃，

则原式可分解为（加-町）（加一加2）=伽-〃—亚，（加一〃十四川）；

卜6^/5+^/39^y

y

（2）令3/+12忘肛+lly2=。，解得:

EH旧一—r/、扁力斗「/\?\6A/2—^396^/^+J39

则原式可分解为—xj(x—%2)=O3xH----------yx-\-----------y

(3)a=xy,该方程即为6a2+2々-1=0,

-1+A/7Y-l-肝

则原式可分解为6a—-------a---------

【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数.

【例9】二次三项式(20-1)/-2应以+(°-1),当a取何值时，

(1)在实数范围内能分解；

(2)能分解成两个相同的因式；

(3)不能因式分解.

【答案】(1)a>—M.a7s—；(2)a=—■,(3)a<—.

3233

【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数2a-1W0,得：

2

令(2a-1)%2—2后以+(〃—1)=0,得A二12亿了-4(2Q-1)(Q-1)=12〃-4,

(1)原式可分解因式，则有12Q-420,得：a>-^a^—；

32

(2)原式可分解为两个相同的式子，则有12a-4=。，得：a=-；

3

(3)原式不能分解因式，则有12a-4v0,得：a<~.

3

【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间

的区别和联系.

【例10】多项式X?-4A/§X+12-4/+4。6-62是完全平方式，求证：b=2a.

【答案】略

(解析】证明：V一4岳+n-4a2+4ab-b2是完全平方式,

.•・关于x的方程尤2-4怎+12-4a2+4"-炉=0有两个相等的实数根，

.-,A=(-473)2-4(12-4fl2+4aZ?-Z?2)=4(2fl-Z?)2=0,

:.2a=b.

【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程△=().

模块二：一元二次方程应用：数字问题

(^)知识精讲

1、列一元二次方程解应用题的步骤：

审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句.

注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去.

2、数字问题：

主要考察的是对数的表示如：

两位数=十位数字x10+个位数字；

三位数=百位数字x100+十位数字x10+个位数字.

俚)例题解析

【例11】两个连续的自然数的积是182,求这两个自然数.

【答案】13和14.

【解析】设这两个自然数分别为〃和”+1,

依题意可得+1)=182,解得：4=13,n,=—14,

“为自然数，则有“20,取4=13,即这两个数分别为13和14.

【总结】考查连续自然数的表达方式.

【例12】有一个两位数，十位数字比个位数字大3,而此两位数比这两个数字之积的2倍

多5,求这个两位数.

【答案】85.

【解析】设这个两位数个位为x,则十位为x+3,

依题意可得：[10(x+3)+x]-2x(x+3)=5,

整理得2x2-5x-25=0,解得：石=-|(舍)，x2=5,即得这个两位数为85.

【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法.

【例13】一个两位数，它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这

个两位数，求这个两位数.

【答案】25或36.

【解析】设这个两位数十位为x,则个位为x+3,依题意可得（X+3）2=10X+X+3,

整理得：X2-5X+6=0,解得：占=2,々=3，对应个位数分别为5和6,

即得这个两位数为25或36.

【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法.

【例14】一个三位数，百位上的数字比十位数字大1,个位数字比十位数字小1,且个位

数字和十位数字的平方和比百位数字大2,求这个三位数.

【答案】321

【解析】设这个三位数十位为x,则百位为x+1,个位为x-l,

依题意可得（1）2+/4+1）=2,

整理得2/一3》-2=0,解得占=一；（舍），々=2,则百位与个位分别为3和1,

即这个三位数为321.

【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件.

模块三：增长（降低）率问题,

⑥）知识精讲

1、增长（降低）率问题

基本公式：tz（l±x）2=b.

+c表示增长（降低）前的数，+c表示增长（降低）率，加+加；+0表

示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出办2+乐+。、a^+bx+c.

⑧例题解析

【例15】某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%,从2月份开始涨

价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率.

【答案】20%.

【解析】设2、3月份平均增长率为x,依题意可得50（1-10%）。+64.8,

解得：玉=_"（舍），x2=-,即月均增长率为20%.

15-5

【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值.

【例16]某为了绿化校园，某中学在2014年植树400棵，计划到2016年底使这三年的植

树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数.

【答案】10%.

【解析】设年均增长率为尤，依题意可得400+400（1+x）+400（1+x『=1324,

QI1

整理得100尤2+300X—31=0,解得：X=-一（舍），X,=—，即年均增长率为10%.

10-10

【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值.

【例17】某电器集团公司为了适应竞争需要，从2013年开始，每年将销售总额的12%作

为新产品开发的研究基金.已知该公司2013年底投入的新产品研究基金是4000万元,

2015全年销售总额是8亿元，求该公司2014和2015年销售总额的平均增长率（精确

到0.01%）.

【答案】54.92%.

【解析】设销售总额年均增长率为x,4000万=0.4亿，依题意可得_2±（1+62=8,

12%,7

整理得100/+300%-31=0,解得：x=-^^-1（舍），%,54.92%,

155

即年均增长率约为54.92%.

【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值.

【例18】某花生种植基地原有花生品种的亩产量为200千克，出油率为55%.改用新品种

后，每亩收获的花生可加工得到花生油135千克.已知新品种花生亩产量和出油率都比

原有品种有所增加，其中出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求两者的增长率（精

确到0.01%）.

【答案】出油量增长率为7.23%,则亩产量增长率为14.46%.

【解析】设出油量增长率为x,则亩产量增长率为2x,

依题意可得200（1+2x）.55%。+尤）=135,整理得445+66x-5=0,

丽士汪汨（3）119-V1309-33,冬、>/1309-33,

配万法得|关+—|=——，解得：x=----------------（舍），天=-----------=7.23%,

14）176744244

则2X=14.46%,即得出油量增长率是7.23%,亩产量增长率是14.46%.

【总结】考查增长率问题，根据题意列出方程即可求解.

随堂检测

【习题1】二次三项式6?+版+。可以在实数范围内因式分解，那么以下各式成立的是

A.b2-4ac>0B.b2—4ac<0C.b2—4ac>0D.不能确定

【答案】C

【解析】二次三项式在实数范围可分解因式，即方程办2+6尤+。=0有实数根，由此可得

△=/-4或20,故选C.

【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联.

【习题2】二次三项式3尤2-2（3左+1）尤+3/-1在实数范围内不能因式分解，则k的取值范围

是.

【答案】k<--.

3

【解析】二次三项式在实数范围不能分解因式，即方程办2+fer+c=0没有实数根，

由止匕可得△=〃一4ac=4（3左+l）——4x3（342-1）=24左+16<0,解得：k<--.

【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联，不能分解因式即△<().

【习题3】若一元二次方程_法+。=0有两根，-5+拒，士也,那么二次三项式

33

9x2-bx+c^以分解为__________________________

【解析】根据二次三项式的因式分解，该式可分解为“(尤-xj(x-z),

即原式可分解为9X+

【习题4】已知两个数的差等于6,积等于16,求这两个数.

【答案】2,8或一8,-2

【解析】设两数中较小者为x,则较大者为x+6,依题意可得x(x+6)=16,

解得：玉=2,x,=-8,对应另一个数分别为8和-2.

【总结】考查列方程解文字题，一个条件作设，一个列式.

【习题5】将下列二次三项式在实数范围内因式分解：

(1)(x-1)~—2(x—1)+1；

(2)3X2-2X-1；

(3)X2-2X-1.

【答案】(1)(x-2)2；(2)(3x+l)(x-l)；(3)(X-1-A/2)(X-1+A/2).

【解析】(1)式子满足完全平方，即为(尤-1-1『=(X-2)2；

(2)由十字相乘法即得分解为(3尤+l)(x-l)；

(3)4x2-2x-l=0,解得：x,=1+72,4=1-忘，

即得该式分解为(X-X])(X-X2)=(x-l-应)(*-1+应)・

【总结】考查二次三项式在实数范围内的因式分解.

【习题6】在实数范围内分解下列因式:

(1)6X2-9X-21；(2)(m2—m)x2-(2m2—l)x+m(m+1)；

(3)6x2-llxy-7/；(4)3x2-4xy-y2.

(3)(2x+y)(3x-7y)；

【解析】（1）令6%2—9x—21=0,解得:

'3-

即该式可分解为〃（％-为）（%-％2）=6x---

(2)十字相乘法可得(加-m)x2-(2m2-V)x+m(m+1)=x-；

（3）十字相乘法可得6/一11孙一7y2=（2x+y）（3x-7y）；

(4)令312—4孙―J?=0,解得石=2+近y,x2=-—―

即得该式可分解为-七）（％-工2）=3x-

1

【总结】考查二次三项式的因式分解，ax+bx+c=a（＜x-x^^x-x2）,

【习题7】一个三位数，个位数字和百位数字相同，都比十位数字小1,且个位数字和百位

数字的平方和等于十位数字，求这个三位数.

【答案】121

【解析】设这个三位数十位为X,则百位和个位为X-1,依题意可得（X-I）?+（X-1）2=X,

整理得2/-5工+2=0,解得：士=；（舍），/=2,则百位与个位为1，

即这个三位数为121.

【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件.

【习题8】三个连续的整数两两相乘后，再求和，得362,求这三个连续的整数.

【答案】10,11,。或-10,-11,-12

【解析】设这三个整数中间数为尤，则另两个数分别为X-1和X+1,

依题意可得无(x+l)+x(x-l)+(x+l)(x-1)=362,整理得/=121,

解得：Xj=11,9=-"，则另两个数分别为10，12和-10,-12.

【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式.

【习题9】某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个

月销售商品收入款的平均每月增长率是多少.

【答案】20%

【解析】设收入款平均月增长率为无，依题意可得25(l+x『=36,

解得：x=-11(舍)，X,=」，即月均增长率为20%.

1525

【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值.

【习题10］市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格.某种药品经过连续

两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率.

【答案】20%.

【解析】设每次降价百分率为x,依题意可得200(1128,

91

解得：占=2(舍)，X2=±,即每次降价率为20%.

15-5

【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值.

【习题11】某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次,

其中第一年培训了20万人次.求每年接受科技培训的人次的平均增长率.

【答案】50%.

【解析】设每年接受培训的人次增长率为x,依题意可得20+20(1+X)+20(1+X)2=95,

71

整理得4f+12x—7=0,解得：x,——（舍），x,=—,

2-2

即平均增长率为50%.

【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值.

【习题12】制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测该

产品销售价第一个月降低20%,第二个月比第一个月提高了6%,为了使两个月后的销

售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为无，请依题意列方程：

【答案】略

【解析】利润不变，可列出方程：625（1-20%）（1+6%）-500（1-X）2=625-500.

【总结】利润问题，利润=售价-成本.

【习题13】若多项式7m2-4（小-l）x+4机在实数范围内能分解因式，求整数相取得的最大

值.

【答案】-1.

【解析】多项式可分解因式，则关于x的一元二次方程皿2一4（〃一1口+4利=0有实数根，

21

由此可得公=16（，〃-1）---4m=-32//7+16>0J=L,得；〃4万且〃?片0,

由此即得整数，"的最大值为-1.

【总结】考查式子的分解与方程根的关系，注意题目中的隐含条件，即二次项系数不能为0.

课后作业

【作业1】下列二次三项式可以在实数范围内因式分解的是（）

A.x~—x+2=0B.厂+5=0

C.ox2+10x-l=0D.（x-l）2+10（x-l）-l=0

【答案】D

【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式△=》?-4℃与

0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，

A：A=(-l)2-4xlx2=-7<0；B：A=02-4xlx5=-20<0；

C：A=102-4ax(-l)=100+4a,不能确定与0的大小关系；

D：整理即为f+8x-10=0,A=82-4xlx(-10)=104>0；

只有D选项△大于0,故选D.

【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可.

【作业2】如果*2一1。X一4=0的两根为5+2#,5-2遥，在实数范围内分解因式

x2—10%—a=.

【答案】(X-5-2A/6)(X-5+2^).

【解析】该式可分解为(尤-工)(尤-%)=1-5-2#)(尤-5+2n).

【总结】考查二次三项式与方程根关联的因式分解.

【作业3】如果二次三项式2/一3*+2m可以分解为两个相同的一次根式，则根的取值范围

是.

9

【答案】m=一

16

【解析】二次三项式可分解为两个相同的一次根式，可知关于X的方程2炉-3%+2根=0有

两个相等的实数根，即得A=(-3『-422加=0,解得：m=^.

【总结】式子可分解为两个相同的式子，即相关方程有两个相等实数根.

【作业4】把下列二次三项式进行因式分解:

2

(1)3X-7%;(2)(2x-1)2-9。+1):

(3)x2+4x-2-

【答案】(1)x(3x-7)；(2)-(5x+2)(x+4)；(3)1+2+n)[+2-n).

【解析】(1)提公因式法即得3d-7X=X(3X-7)；

(2)平方差公式分解得[(2彳-1)+3(尤+l)][(2x-l)-3(x+l)]=-(5x+2)(x+4)；

(3)令Y+4X-2=0,解得：x、=-2-瓜,占=-2+指，

即得该式可分解为(无一百)(无一%)=(尤+2+遥)(尤+2-.

【总结】考查二次三项式的因式分解，注意观察题目的形式，用相应的方法分解.

【作业5】一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a,高位上的三个数字是b,现

在将小b互换，得到一个新的六位数是.

【答案】lOOOa+6.

【解析】由于。是低位上的三位数，故变化后的六位数的前三位数应该是1000a,所以变化

后的六位数为1000(7+6

【总结】考查多位数的数字表示，本题中应注意数字与组成的三位数的区别.

【作业6】二次三项式在实数范围内进行因式分解：

(1)2(2x-I)2-2(2%-1)-3；(2)2/-7孙+5;/；

(3)4/+8x-l；(4)2x2y2-8xy+5.

【答案】(1)8卜-士丁Jx-上

；⑵(2x-5j)(x-y)；

；(4)2“、一^1|孙一^^.

【解析】(1)整理即得8f—12x+l,令8x12x+l=0,解传：x,=,x=,

1424

%)=81＞一

则该式分解为〃(％-再)(冗-

(2)十字相乘法可分解得2f-lxy+5y-=(2x-5y)(x-y)；

(3)44.r2+8x-l=0,解得斗—

力2

则该式分解为a(尤-王)(x-尤2)=4x+

1

【总结】考查二次三项式的因式分解，ax+bx+c=a^x--XT).

【作业7】三个连续偶数，两两相乘，再求和得44,求这三个偶数.

【答案】2,4,6或—2,-4,-6.

【解析】设中间偶数为x,则另两个数分别为X-2和尤+2,

依题意可得x(x+2)+*(x-2)+(x+2)(x-2)=44,整理得x?=16，

解得：%=4,%=7,则另两个数分别为2,6和-2,-6.

【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式.

【作业8】一个两位数等于其各位数字之积的3