第10讲圆的方程（原卷版）

第10讲圆的方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识点1圆的标准方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.知识点2圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．考点一：由圆心（或半径）求圆的标准方程例1.（2324高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【变式11】（2425高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（

）A． B．C． D．【变式12】（2324高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为.【变式13】（2324高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程：①圆心为，半径是；②圆心为，且经过点.考点二：求过三点的圆的标准方程例2.（多选）（2324高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式21】（2324高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（

）（参考数据：）A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米【变式22】（2324高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是.【变式23】（2324高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则外接圆的方程为．考点三：圆的标准方程与圆的圆心、半径例3.（2324高二·全国·课堂例题）若圆的标准方程为，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是吗？【变式31】（2324高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．， B．， C．，3 D．，3【变式32】（2324高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．【变式33】（2324高三上·海南·期末）已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为．考点四：二元二次方程与圆的关系例4.（2324高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式41】（2324高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式42】（多选）（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（

）A．－1 B．0 C． D．1【变式43】（2324高二·全国·课堂例题）如果方程表示一个圆，那么实数k的取值范围是什么？与圆是怎样的位置关系呢？考点五：两种圆的方程的互化例5.（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为．【变式51】（2324高二上·新疆·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（

）A． B．C． D．【变式52】（2324高二上·广西南宁·期末）已知圆的方程为，则圆的半径为．【变式53】（2324高二上·河南郑州·阶段练习）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：①；②．考点六：求圆的一般方程例6.（2324高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为.【变式61】（2324高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为．【变式62】（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为.【变式63】（2021高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.考点七：点与圆的位置关系问题例7.（2324高二上·河南郑州·阶段练习）已知点在圆的内部，求实数的取值范围..【变式71】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式72】（2122高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【变式73】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为.考点八：圆过定点问题例8.（2223高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.【变式81】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点.【变式82】（2324高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是.【变式83】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．(1)当取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．考点九：圆的一般方程与圆心、半径问题例9.（2324高二上·新疆·期中）求下列各圆的圆心坐标和半径：①；②.【变式91】（2324高二下·上海闵行·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的面积为.【变式92】（2324高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为.【变式93】（2324高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为；半径为.1．（2324高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．2.（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·一模）圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．6．（2324高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是．7．（2324高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为.8.（