第四章指数函数与对数函数提升卷2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

指数函数与对数函数提升卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2324高一上·北京丰台·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值.【详解】，故A正确.故选：A.2．（2324高一上·辽宁·期末）根据有关资料，围棋的状态空间复杂度的上限约为，记.光在真空中的速度约为，记.下列各数中与最接近的是（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．【详解】，所以.故选：B．3．（2324高一下·江西·阶段练习），，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数运算求得，利用指数的性质与运算比较，从而得解.【详解】因为，，所以．故选：A．4．（2324高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断．【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．故选：C．5．（2324高一上·四川泸州·期末）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，得出结果.【详解】如图，当时，，当时，有最小值，此时；当时，单调递增，若方程的实数解有3个，则与有3个不同的交点，则,即.故选：D.6．（2324高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性求解即可.【详解】令，则，随的增大而增大，要使在上单调递增，只需在上单调递增，则有，所以．故选：A.7．（2324高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由已知条件可判断为偶函数，函数图象关于轴对称，由函数有且只有一个零点，过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，，解得.故选：.8．（2324高一上·北京·阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】存在，使，则函数图象上存在两点关于原点对称，所以只要把的图象关于原点对称后与射线有公共点即可.【详解】由题意可知，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，当时，，将其图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为，所以只要射线与的图象有公共点即可，图中射线与的图象相切，由，得，由，得，由图象可知，所以，即实数的取值范围为，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查新定义问题，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是问题的转化，题中新概念“优美点”，转化为函数图象上存在关于原点对称的点，再转化为射线与的图象有公共点即可，考查转化能力和数形结合的思想，属于较难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2324高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数【答案】AC【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可.【详解】对于函数，令，解得，函数的定义域为，故A正确；因为在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，同理可得在上单调递增，所以为上的增函数，又，其中，因为，所以，所以，所以，则，所以，即，又的值域为，函数的值域为，故B错误；又，函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误．故选：AC．10．（2324高一下·湖南衡阳·期中）已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（

）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有二个解C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解【答案】ACD【分析】将内层函数看作一个变量，先由外层函数确定其解的个数情况，再根据内层函数的图象即可确定复合函数的解的个数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，由题意可知时，或或，故方程时，则或或，，又在上单调递减，故都有唯一解，即方程有且仅有三个解，故A正确；对于B，当时，，故时，即，而，故由图象可知有一个解，即方程有且仅有一个解，故B错误；对于C，时，或或，故由可得或或，而，故和各有唯一一个解，有3个解，故方程有且仅有五个解，故C正确；对于D，时，，故由可得，而，在上单调递减，故有唯一解，故方程有且仅有一个解，故D正确，故选：ACD11．（2324高一下·广东茂名·期末）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（

）A．当时，B．当时，C．在上单调递增D．【答案】ACD【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得.【详解】对A：由为偶函数，则，当时，，则，即当时，，故A正确；对B：由为奇函数，则有，即，即，故当时，，则，即，故B错误；对C：由，，则，，即，故为周期为的周期函数，由当时，，可得在上单调递增，故在上单调递增，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2324高一下·山西临汾·阶段练习）已知函数且恒过定点，则点的坐标为.【答案】【分析】令即可得定点.【详解】令得，此时，即函数且恒过定点.故答案为：13．（2324高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解出即可得.【详解】因为，所以，所以，即，由，则，即，因为对于任意，存在，使得，所以，则，解得，即.故答案为：.14．（2324高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是.【答案】【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案.【详解】令，由对勾函数的性质可知：对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，画出的图象如下：故值域为，作出函数的图象，如下：令，解得：，令，解得：，，令，解得：，当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解；当时，存在使得，此时方程有三解，其中时，有1个解，即，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，时，无解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有七解，时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有八个解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有六解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，当时，有2个解，时，有2个解；综上：实数t的取值范围是.故答案为：.【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）（2324高一上·江苏盐城·阶段练习）已知.(1)分别求和；(2)若，且，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用指数运算法则和对数运算法则计算出答案；（2）将指数式化为对数式，结合换底公式求出，结合得到方程，求出答案.【详解】（1），；（2）因为，所以，由换底公式得，则，由于，故，所以.16．（15分）（2324高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min01234水温/℃100.0091.0082.9075.6169.05设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．）【答案】(1)答案见解析(2)5.54min【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式；（2）根据（1）的解析式，求解方程.【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型．由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．故应选择②（，，）将表中前的数据代入，得，解得，所以函数模型的解析式为：；（2）由（1）中函数模型，有，即，所以，所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感．17．（15分）（2324高一下·湖南郴州·阶段练习）已知函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．(1)求的解析式；(2)设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．【答案】(1)(2)最小值为0，【分析】（1）利用方程组思法求解即可；（2），令，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意得，因为分别是上的奇函数和偶函数，所以，解得；（2）由（1）可知，令，当时，，故，由对称轴，可得时，取得最小值0，此时，解得，即，所以在上的最小值为0，此时．18．（17分）（2324高一下·广东深圳·期末）已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，.(1)当时，求函数的值域:(2)若函数的图像关于点中心对称.①设函数，求证:函数为周期函数;②若对任意恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)①证明见解析；②【分析】（1）代入，，得到，再二次性质求出当时，，最后根据复合函数单调性得；（2）①运算得，则可证明；②求出，然后转化为求最大，最小即可.【详解】（1）由于函数为上奇函数，那么，且，则，则，则；那么，由，则，而函数为奇函数，那么时，，综上所述:当时，，由复合函数单调性可知:则.（2）①由于，且，由于，则，那么，则为上周期为2的函数.②由（1）可知，当时，，时，，那么时，；时，；那么；若要最大，仅需最大，最小，从而考虑如下临界：由于，令，则，此时；；当时，，，那么，令（舍去）；同理，时，，，那么，令（舍去）；从而，那么的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出，再求出的临界值即可.19．（17分）（2324高一下·浙江杭州·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.(1)判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；(3)函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.【答案】(1)是的“n重覆盖函数”，；(2)实数a的取值范围是；(3)正实数a的取值范围是.【分析】（1）第一问根据新定义，结合函数单调性即可求解；（2）第二问先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，然后对a分类讨论即可求解；（3）第三问可由题意得，则，，要有2024个根，作出函数的图像，结合图像即可求解.【详解】（1）,，由题目定义可知，对，恰好存在不同的实数，使得，其中即，易得，故对，能找到一个，使得，是的“n