第12章《全等三角形》(学生版+解析)

2023-2024学年人教版数学八年级上册易错题真题汇编（提高版）第12章《全等三角形》考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•城厢区校级模拟）点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PD＞3 B．PD≥3 C．PD＜3 D．PD≤32．（2分）（2023•花溪区模拟）如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（）A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°3．（2分）（2022秋•长沙期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（）A．110° B．115° C．120° D．125°4．（2分）（2023春•雁山区校级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS5．（2分）（2022秋•克什克腾旗期末）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）6．（2分）（2022秋•阿瓦提县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A．16 B．12 C．8 D．47．（2分）（2022秋•泉港区期中）如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2分）（2023春•渠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④9．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④10．（2分）（2023春•管城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝2S△ABP；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•天台县一模）​如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝．12．（2分）（2023春•平遥县月考）如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是．13．（2分）（2022秋•卧龙区期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s．14．（2分）（2022秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，E是AD延长线上一点，且AE＝AB，过点E作EF⊥AB于点F．有以下结论：①BD＝EC；②∠ACE+∠BDE＝180°；③AC∥EF；④∠BEF＝∠AEC，其中正确的有．（填序号）15．（2分）（2020秋•雁江区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为时，能够使△BPE与△CQP全等．16．（2分）（2020秋•西宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是．17．（2分）（2022•长春二模）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有．18．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD＝∠FCG，∠CBG＝∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC＝117°；③S△ACE＝S△CFD+S△BCG；④AD＝DG+BG．其中结论正确的是（只需要填写序号）．19．（2分）（2022秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．20．（2分）（2022秋•黄岛区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有．（填序号）评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，（1）求DE的长度．（2）求△ABE的面积．22．（6分）（2022秋•西乡塘区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE，（1）求证：△BEC≌△HEA；（2）若BE＝8，CH＝3，求线段AB的长．23．（8分）（2021秋•右玉县校级期末）阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心：定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．求证：AM，BN，CP相交于一点．证明：如图2，设AM，BN相交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F．∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，∴OE＝OF（依据1），同理，OD＝OF，∴OD＝OE（依据2）．∵CP是∠ACB的平分线，∴点O在CP上，（依据3）．∴AM，BN，CP相交于一点．请解答以下问题：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？（2）如果BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝r，请用a，b，c，r表示△ABC的面积．24．（8分）（2022秋•琼海期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为线段AD上一个动点，PE⊥AD于点P，交BD的延长线于点E．（1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，则∠BAD＝，∠ADC＝；（2）若∠ACB＝90°，∠ABC＝∠E，求∠B的度数；（3）若∠B＝α，∠ACB＝β，α＜β，求∠DEP．（用含α，β的式子表示）25．（8分）（2022秋•垫江县校级月考）已知：在△ABC中，点E在直线AC上，点B，D，E在同一条直线上，且BA＝BD，∠BAE＝∠D．（1）如图1，若BE平分∠ABC，求证：∠AEB+∠BCE＝180°．（2）如图2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延长线于点E，问：∠AEB和∠BCE的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．26．（8分）（2021秋•长沙期末）如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．（1）求∠ABC+∠ADC的度数；（2）求证：FO＝OG；（3）当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB．27．（8分）（2020秋•立山区期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）28．（8分）（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．​（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．

2023-2024学年人教版数学八年级上册易错题真题汇编（提高版）第12章《全等三角形》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•城厢区校级模拟）点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PD＞3 B．PD≥3 C．PD＜3 D．PD≤3解：∵点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，∴点P到BC边的距离等于3，∵点D是BC边上的任意一点，∴PD≥3，故选：B．2．（2分）（2023•花溪区模拟）如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（）A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°解：如图：由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠1+∠BED＝90°，在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED（SAS），∴∠2＝∠BED，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．3．（2分）（2022秋•长沙期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（）A．110° B．115° C．120° D．125°解：∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝110°，由题意得：OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∵OF＝OE＝OD，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°，故选：D．4．（2分）（2023春•雁山区校级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS解：HL，理由是：∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故选：A．5．（2分）（2022秋•克什克腾旗期末）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）解：如图所示：∵点A（2，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝2，∵△BOC与△AOB全等，∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），故选：A．6．（2分）（2022秋•阿瓦提县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A．16 B．12 C．8 D．4解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABE＝∠D＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△AEB和△AFD中，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB＝S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16．故选：A．7．（2分）（2022秋•泉港区期中）如图，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AB于E，并且2AE＝AB+AD，则下列结论正确的是①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3解：如图，过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF，又∵AB+AD＝2AE，∴BE＝DF，∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，即AB＝AD+2BE，故①正确；∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确；又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确；∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，∴由等式性质可得，AB×CE＝AD×CF+2×BE×CE，即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误；故选：B．8．（2分）（2023春•渠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故选：B．9．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，设∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正确；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（SAS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，FC＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正确；∵S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正确．故选：D．10．（2分）（2023春•管城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝2S△ABP；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，又∵AB＝FB，∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确．如图，连接HD，ED．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD＝S△ABP+S△APH+S△PBD＝S△ABP+S△FPD+S△PBD＝S△ABP+S△FBP＝2S△ABP，故④正确．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•天台县一模）​如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝145°．解：∵△ADE≌△ABC，∴∠E＝∠C．又∠EAC＝180°﹣∠E﹣∠EDA，∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF，且∠EDA＝∠CDF，∴∠EAC＝∠CFD＝35°．∴∠BFD＝180°﹣∠CFD＝145°．故答案为：145°．12．（2分）（2023春•平遥县月考）如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．解：如上图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．13．（2分）（2022秋•卧龙区期末）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为1或4s．解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4．14．（2分）（2022秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，E是AD延长线上一点，且AE＝AB，过点E作EF⊥AB于点F．有以下结论：①BD＝EC；②∠ACE+∠BDE＝180°；③AC∥EF；④∠BEF＝∠AEC，其中正确的有①②．（填序号）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS），∴∠ADB＝∠ACE，BD＝EC，①正确；∵∠ADB+∠BDE＝180°，∴∠ACE+∠BDE＝180°，②正确；若AC∥EF，则∠BAC＝∠AFE＝90°，而根据已知条件无法得知∠BAC＝90°，故③错误；设EF交BC于H，如图所示：∵△ABD≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABD，如果∠BEF＝∠AEC，则∠ABD＝∠BEF，∵∠BFE＝∠HFB，∴∠FHB＝∠ABE，∵AD＝AC，AE＝AB，∴∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB，∵∠BAD＝∠DAC，∴∠ADC＝∠ACD＝∠ABE＝∠AEB，∴∠FHB＝∠ACD，∴AC∥EF，∵AC∥EF错误，∴∠BEF＝∠AEC错误，故④错误；故答案为：①②．15．（2分）（2020秋•雁江区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．16．（2分）（2020秋•西宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是15．解：如图，作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．17．（2分）（2022•长春二模）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有①②④．解：∵∠A＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，∴∠EBC+∠DCB＝ABC+ACB＝（180°﹣∠A）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，故①正确；由①得，∠DFB＝60°，∠BFC＝120°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG＝BFC＝60°，在△BDF和△BGF中，，∴△BDF≌△BGF（ASA），∴BD＝BG，故②正确；在△BDF和△CEF中，∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边，∴△BDF和△CEF不一定全等，故③错误；由②可得BD＝BG，同理可得△CEF≌△CGF（ASA），∴CE＝CG，∴BC＝BG+CG＝BD+CE，故④正确．综上所述：结论正确的序号有①②④．故答案为：①②④．18．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD＝∠FCG，∠CBG＝∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC＝117°；③S△ACE＝S△CFD+S△BCG；④AD＝DG+BG．其中结论正确的是①②④（只需要填写序号）．解：①∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠ACD＝∠FCG，∴∠ACF+∠FCD＝∠FCD+∠BCG．∴∠ACF＝∠BCG，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG（ASA），故①正确；②∵∠ACB＝180°﹣2×54°＝72°，∠BCG＝∠ACF＝°＝36°，∠CBG＝∠CAF＝54°＝27°，∴∠BGC＝180°﹣36°﹣27°＝117，故②正确；③∵S△ACD＝S△CFD+S△ACF，∴S△ACD＝S△CFD+S△BCG，∵根据题意S△ACD≠S△ACE，∴S△ACE≠S△CFD+S△BCG；故③错误；④如图，连接BF，可知点F为三角形角平分线交点，即BF平分∠ABC∴∠CBF＝ABC＝BAC＝∠CAF，∴∠CBF＝∠CBG，在△BCF和△BCG中，，∴△BCF≌△BCG（ASA），∴BF＝BG＝AF，FD＝DG．∵AD＝AF+FD．AD＝BG+DG，故④正确故答案为：①②④．19．（2分）（2022秋•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是②③④．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故答案为：②③④．20．（2分）（2022秋•黄岛区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有①②③⑤．（填序号）解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q，∵BD是∠ABC的平分线，∴DH＝DG，∵CD是∠ACF的平分线，∴DG＝DP，∴DH＝DP，∴AD是∠CAH的平分线，即∠CAD＝∠HAD＝∠CAH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°，∴∠CAD＝∠ACB，∴AD∥BC，因此①正确；∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBM＝×180°＝90°，即BD⊥BE，因此②正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵CD是∠ACF的平分线，∴∠ACD＝∠FCD，∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，∴∠BDC＝∠BAC，∵AQ⊥BC，AB＝AC，∴∠BAQ＝∠CAQ＝∠BAC，∵∠BAQ+∠ABC＝90°，∴∠BDC+∠ABC＝90°，因此③正确；∵∠ADB＝∠ABC＝×（）＝45，而∠BAC∴∠ADB与∠BDC不一定相等，因此④不正确；∵BE⊥BD，∴∠E+∠BDC＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠E+∠BAC＝90°，∴2∠E+∠ABC＝180°，因此⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，（1）求DE的长度．（2）求△ABE的面积．解：（1）∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，∴DE＝EC＝4.5，∴DE的长度为4.5；（2）∵DE⊥AB，AB＝10，∴△ABE的面积＝AB•DE＝×10×4.5＝22.5，∴△ABE的面积为22.5．22．（6分）（2022秋•西乡塘区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE，（1）求证：△BEC≌△HEA；（2）若BE＝8，CH＝3，求线段AB的长．（1）证明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠CEB＝∠AEH＝∠ADC＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠ECB＝∠EAH，在△BEC和△HEA中，，∴△BEC≌△HEA（ASA）；（2）解：∵△BEC≌△HEA，BE＝8，∴HE＝BE＝8，∵CH＝3，∴CE＝HE+CH＝8+3＝11，∵AE＝CE，∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝11+8＝19．23．（8分）（2021秋•右玉县校级期末）阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心：定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．求证：AM，BN，CP相交于一点．证明：如图2，设AM，BN相交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F．∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，∴OE＝OF（依据1），同理，OD＝OF，∴OD＝OE（依据2）．∵CP是∠ACB的平分线，∴点O在CP上，（依据3）．∴AM，BN，CP相交于一点．请解答以下问题：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？（2）如果BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝r，请用a，b，c，r表示△ABC的面积．解：（l）由题意得：依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等，依据2：等量代换，依据3：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（2）∵OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝OE＝OF＝r，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△AOC的面积+△BOC的面积＝AB•OF+AC•OE+BC•OD＝cr+br+ar，∴△ABC的面积为cr+br+ar．24．（8分）（2022秋•琼海期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为线段AD上一个动点，PE⊥AD于点P，交BD的延长线于点E．（1）若∠B＝36°，∠ACB＝84°，则∠BAD＝30°，∠ADC＝66°；（2）若∠ACB＝90°，∠ABC＝∠E，求∠B的度数；（3）若∠B＝α，∠ACB＝β，α＜β，求∠DEP．（用含α，β的式子表示）解：（1）∵∠B＝36°，∠ACB＝84°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝66°，故答案为：30°，66°；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵PE⊥AD，∴∠EDP＝90°，∴∠ADC+∠E＝90°，∵∠ABC＝∠E，∴∠ADC＝∠BAC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∴∠ADC＝2∠DAC，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠ADC＝60°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝30°，∴∠B＝∠E＝30°，∴∠B的度数为30°；（3）∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣α﹣β＝90°+α﹣β，∵PE⊥AD，∴∠EDP＝90°，∴∠DEP＝90°﹣∠ADC＝90°﹣（90°+α﹣β）＝β﹣α，∴∠DEP的度数为β﹣α．25．（8分）（2022秋•垫江县校级月考）已知：在△ABC中，点E在直线AC上，点B，D，E在同一条直线上，且BA＝BD，∠BAE＝∠D．（1）如图1，若BE平分∠ABC，求证：∠AEB+∠BCE＝180°．（2）如图2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延长线于点E，问：∠AEB和∠BCE的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．解：（1）证明∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（ASA），∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠AEB+∠BCE＝180°；（2）∠AEB和∠BCE的数量关系发生改变，变为∠BEC＝∠BCE．理由如下：∵BE平分∠ABF，∴∠ABE＝∠EBF＝∠CBD，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（ASA），∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE．26．（8分）（2021秋•长沙期末）如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．（1）求∠ABC+∠ADC的度数；（2）求证：FO＝OG；（3）当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB．（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，