专题07 二项分布、超几何分布与正态分布【考点串讲】（原卷）

高中数学精编资源专题07二项分布、超几何分布与正态分布知识点1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.知识点2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).知识点3．二项分布的期望与方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).知识点4．超几何分布(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.知识点5．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.

(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.知识点6．正态曲线与正态分布1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．知识点7．正态曲线的特点1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.知识点8．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．考点1n重伯努利试验的概率【例1】（河南省开封市五县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为，则比赛在第4局结束的概率为（

）A． B． C． D．【解后感悟】n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．【变式1-1】（山东省滨州市六校联考2022-2023学年高二下学期期中质量监测数学试题）甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题）我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为“弹棋”的游戏：“弹棋，二人对局，先列棋相当.下呼，上击之.”其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜.现有甲、乙两人对弈，其中甲、乙击中的概率分别为、，甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（广东省深圳实验学校光明部2022-2023学年高二下学期期中数学试题）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是________．.考点2二项分布的应用【例2】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；(2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望.【解后感悟】概率综合问题的求解策略(1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种．(2)明事件：判断事件是A＋B还是AB.(3)套公式：选择相应公式求解即可．【变式2-1】（2023春·山东烟台·高二统考期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．(1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；(2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望．【变式2-2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望，方差．(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．考点3二项分布之概率最大问题【例3】掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为，若，则当取最大值时，k为（

）A．3 B．4 C．8 D．10【解后感悟】二项分布之概率最大问题的求解思路如果X～B(n，p)，其中0＜p＜1，求P(X＝k)最大值对应的k值，一般是考查eq\f(PX＝k,PX＝k－1)与1的大小关系．因为eq\f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq\f(n－k＋1p,k1－p)＝1＋eq\f(n＋1p－k,k1－p)(1≤k≤n)，所以要使P(X＝k)≥P(X＝k－1)，则k≤(n＋1)p.故有：(1)若(n＋1)p＞n，则k＝n时P(X＝k)取得最大值；(2)若(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和k＝(n＋1)p时，P(X＝k)取得最大值；(3)若(n＋1)p是不超过n的非整数，则当k＝[(n＋1)p](注：[(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)时P(X＝k)取得最大值．【变式3-1】若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【变式3-2】经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-3】随机变量，则取最大值时的值为__________考点4超几何分布的概率【例4】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．【解后感悟】求超几何分布的分布列的步骤【变式4-1】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq\f(1,7).(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【变式4-2】从4的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．考点5超几何分布与二项分布间的关系【例5】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．【解后感悟】二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)【变式5-1】(1)100件ξ的分布列；(2)某批数量较布列．【变式5-2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．考点6正态曲线【例6】(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有()A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点【解后感悟】利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特点结合图象可求出σ.【变式6-1】如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3【变式6-2】(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3【变式6-3】(多选)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)考点7利用正态分布求概率【例7】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解后感悟】利用正态分布的对称性求概率由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．【变式7-1】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84【变式7-2】已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝，P(|X－2|<4)＝.【变式7-3】已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．考点8正态分布的应用【例8】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？【解后感悟】求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．【变式8-1】在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【变式8-2】一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂【变式8-3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？1．（2023春·河南开封·高二统考期中）从一批含有8件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北·高二校联考期中）已知，且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.83．（2023·浙江·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（

）A． B． C． D．4．（2023春·河南开封·高二统考期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（

）A．3200 B．6800 C．3400 D．64005．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.46．（2023春·山东青岛·高二校考期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出个红球得分，每取出个白球得分.按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（

）A． B． C． D．7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（

）A．24 B．25 C．26 D．278．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（

）A． B． C． D．9．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差10．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（

）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C． D．12．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（

）A． B．C．在上是减函数 D．13．（2023·浙江温州·统考三模）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（

）A．由直方图可估计样本的平均数约为B．由直方图可估计样本的中位数约为C．由正态分布可估计全县的人数约为万人D．由正态分布可估计全县的人数约为万人14．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学试题）在某市的一次高三测试中，学生数学成绩X服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样抽取100份试卷进行分析，其中120分以上的试卷份数为______.15．（2023春·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过每个项目测试的概率都是.若用表示甲通过测试项目的个数，则__________.16．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量X（单位：kg）服从正态分布．已知当时，有，，．(1)求该地水稻的平均亩产量和方差；(2)求该地水稻亩产量超过638kg且低于678kg的概率．17．2023年是我国改革开放45周年，改革开放以来，我国发生了翻天覆地的变化，居民消费水平也得到了大幅提升．调查得到某市居民周末消费金额（单位：元）的频率分布直方图如图所示．(1)求该市居民周末人均消费金额（每组数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，从该市居民中随机选取3人进行周末消费习惯调查，这3人中周末消费金额在的人数记为，求的分布列与数学期望．18．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生