人教A版必修一课件第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3

§2.3

幂函数第二章

基本初等函数(Ⅰ)学习目标1.理解幂函数的概念.2.掌握y＝xα(α＝－1，

，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一幂函数的概念y＝

，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案答案底数为x，指数为常数.一般地，

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.梳理函数

y＝xα知识点二五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图.

y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域_______________________值域_____________________________奇偶性_____________________单调性增在[0，＋∞)上

，在(－∞，0]上_________在(0，＋∞)上

，在(－∞，0)上___2.五个幂函数的性质[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞){y|y≠0}偶奇非奇非偶奇增减增增减减奇[0，＋∞)RRRRR思考

知识点三一般幂函数的图象特征类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案答案y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<x<1时，x5＝x3·x2<x3，当x>1时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点

；(2)α>0时，幂函数的图象通过

，并且在区间[0，＋∞)上是

函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象

；当0<α<1时，幂函数的图象

；(3)

时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从

到

的顺序排列.梳理(1,1)原点增下凸上凸α<0小大题型探究例1

已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是幂函数，求m，n的值.解答类型一幂函数的概念幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝

都不是幂函数.反思与感悟

跟踪训练1

在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3答案解析y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常数函数y＝1不是幂函数.类型二幂函数的图象及应用解答在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).解h(x)的图象如图所示：解答注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.反思与感悟

跟踪训练2

幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于A.1 B.2C.3 D.无法确定答案解析∴αβ＝1.故选A.

命题角度1比较大小例3

设

则a，b，c的大小关系是A.a>b>c

B.b>a>cC.b>c>a

D.c>b>a类型三幂函数性质的综合应用答案解析此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.反思与感悟跟踪训练3

比较下列各组数中两个数的大小：解答解∵0<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数.解答解∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，解答解∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，又

y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，命题角度2幂函数性质的综合应用例4

已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足

<的a的取值范围.解答解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.反思与感悟跟踪训练4

已知幂函数f(x)＝

(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解答解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.(2)若函数还经过(2，

)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.解答解∵＝2＝

，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝

，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<当堂训练√答案23451解析答案√234513.设α∈{－1,1，

，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x的图象的是答案√234515.以下结论正确的是A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大

而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案23451规律与方法1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一