2024-2025学年江苏省连云港市云帆杯高三（上）学情调研数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省连云港市云帆杯高三（上）学情调研数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x∈Z|−1≤x≤5}，则A∩B=A.[−1,2] B.{−1,0,1,2} C.[−1,2) D.{−1,0,1}2.若1z=1−i1+7i，则A.10 B.42 C.5 3.已知空间向量a=(6,2,1)，b=(2,x,−3)，若(a−2bA.4 B.6 C.234 D.4.已知cos(α+β)=13，sin(β+γ)=32A.3+13 B.3+25.已知函数f(x)=2x2−2x−3,x>alogaA.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(1,3) D.(4,+∞)6.已知实数x，y满足(x−2)2+(y−3)2=3A.6−1 B.−2−7 C.7.锐角△ABC中，sinC=13，sin(A−B)=14，AB=8，则AB边上的高A.3625 B.191178.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an−16an3，记A.S25<4 B.∃n∈N+,i=2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin2x，则下列函数为周期函数的是(

)A.f(cosx) B.f(x+sinx2)

C.10.“大鹏曲线”的方程为C：x24−y|y|=1，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线y=ax+b与C的交点可能个数的集合记为D(a,b)，下列选项正确的是A.D(a,2)={0，1，2}

B.D(a,−3a)={0，1，2}

C.“D(a,b)={3}”的充要条件是“|a|>12且b<0”

D.“D(a,b)={0，1，2}”的充分条件是“2a−b=2，a≤311.如图，平面m与平面n交线为l1，空间内有另一条直线l2，记l1，l2的夹角为θ，l2与平面m的夹角为α，l2与平面n夹角为β，二面角m−lA.θ>α

B.θ<β

C.α+β+γ≤π

D.α+β+γ≥π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(3−2x)6的二项展开式中x13.抛物线C：y2=4x的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则sin∠BADsin14.已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下：合格不合格合计甲村27030300乙村29010300合计56040600(1)分析能否有99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？

(2)该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在2024年上半年的月销量符合正态分布(290,25)，乡镇人员现从2024年的前6个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于290的记为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

附：K2=P(0.10.050.01k2.7063.8416.63516.(本小题12分)

已知函数f(x)=xlnx−12a(x−2)2−3x．

(1)若a=1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有两个极值点，求a17.(本小题12分)

三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=BC，AB⊥BC，P，Q分别为线段AB，BC上面的点，且A′P⊥AQ，B′C⊥AQ．

(1)证明：AP=BQ；

(2)若B′C=A′B′=2，A′P=3，AQ=5，求平面A′PQ与平面BCC′B′的夹角的余弦值．18.(本小题12分)

双曲线W：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在W的右支上，当BC⊥x轴时，|AB|=41111．

(1)求19.(本小题12分)

设n为正整数，数列{an}为正整数数列，且满足数列{an}和{an+1}均为等差数列，则称数列{an}为“五彩的”．

(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由：

①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；

②无穷数列{cn}，通项公式为cn=n．

(2)若数列参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.D

9.ABD

10.BD

11.AC

12.−4320

13.2

14.263315.解：(1)设零假设H0：有99%的把握认为甲乙两村的产品质量没有差异，

则K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=600(2700−290×30)2560×40×300×300≈10.7>6.635，

故零假设H0不成立，

所以有99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异；

(2)由题意，月销量符合正态分布(290,25)，

则P(ξ≥290)=0.5，

由题意，ξ的取值为0，1，2，3，

ξ0123P1331数学期望E(ξ)=3816.解：(1)f′(x)=lnx−x，

设g(x)=lnx−x，g′(x)=1−xx，

则g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，

∴g(x)≤g(1)=−1，即f′(x)<0，

故f(x)在(0,+∞)单调递减；

(2)f′(x)=lnx−ax+2a−2，

即原题等价于f′(x)有两个零点，设ℎ(x)=lnx−ax+2a−2，ℎ′(x)=1−axx，

当a≤0时，ℎ′(x)>0，

则ℎ(x)在定义域单调递增，f′(x)最多有一个零点，与题意不符，

当a>0时，令ℎ′(x)>0⇒x<1a，

故R(x)在(0,1a)单调递增，在(1a,+∞)单调递减，

当x→0，ℎ(x)→∞，x→+∞，ℎ(x)→−∞，

由于f(x)有两个零点，则ℎ(1a)>0这等价于2a−lna−3>0①，17.解：(1)证明：过A作BC的平行线AD，且AD=BC，连接A′D，CD，

则有CD//AB//A′B′且CD=AB=A′B′，

故四边形A′DCB′为平行四边形．∴A′D/​/BC且A′D=B′C，

∵B′C⊥AQ，A′P⊥AQ，∴A′D⊥AQ，

又A′D，A′P⊂面A′DP，∴AQ⊥平面A′DP，

又因为DP⊂平面A′DP，∴AQ⊥DP，

∴∠QAP+∠DPA=∠ADP+∠DPA=90°，

∴∠ADP=∠BAQ，

∴AP=ADtan∠ADP=ABtan∠QAB=BQ；

(2)由题意，A′P=3，DP=AQ=5，

∴由勾股定理知A′D⊥DP，

又∵A′D⊥AQ，

∴A′D⊥平面DPAQ，

∴A′D⊥平面ABCD

∴AD，DA，DC两两垂直，

以D点为坐标原点，DA、DC、DA′所在直线分别为x轴，y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

∴D(0,0,0)，A(0,0,2)，P(2,1,0)，Q(1,2,0)

∴A′P=(2,1−2),A′Q=(1,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面A′PQ的法向量，

则n⋅A′P=0n⋅A′Q=0，则有2x+y−2z=0x+2y−2z=0，

取x=2，则平面A′PQ的一个法向量为n=(2.2,3)，

而m18.解：(1)由题知ba=e2−1=2⋯⋯①，

当BC⊥x轴时，不妨设直线BC：x=m，

与双曲线联立知x2a2−y2b2=1x=m⇒|y|=bam2−a2，

又因为|AB|=|BC|=|CA|=41111=2m2−a2，

所以|BC|=2|y|=4m2−a2=41111⋯⋯②，

又因为A在BC的中垂线上，故A(0,0)，

所以m=|AB|sin60°=23311⋯⋯③，

将③代入①②知a=1，b=2．

即双曲线W方程为：x2−y24=1．

(2)由题意知直线BC的斜率存在，不妨设BC：y=kx+m，

设A(0,yA)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，D(0,m)，

直线BC与双曲线联立y=kx+mx2−y24=1⇒(4−k2)19.解：(1)①不是．

{aan+1}中aa1+1=a2=5，aa2+1=a6=2，aa3+1=a3=2，不是等差数列，①不是“五彩的”．

②是．

aan=an=n，aan−a