2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知二次根式2a−1，则a的取值范围是(

)A.a<12 B.a≤12 C.2.下列函数中，y关于x的二次函数是(

)A.y=ax2+bx+c B.y=x(x−1)

C.y=3.下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A.B.C.D.4.某篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)分别是：188，190，192，194，195.现用一名身高为190cm的队员换下场上身高为195cm的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高(

)A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大5.四张相同的卡片，每张的正面分别写着5，6，7，8A.14 B.13 C.126.若关于x的一元二次方程(k+2)x2−3x+1=0有实数根，则k的取值范围是A.k<14且k≠−2 B.k≤14 C.k≤17.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2−4x+5上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为(

)A.5

B.4

C.2

D.18.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E，连结DE，CE.则下列说法一定正确的是(

)A.若AC⊥BD，则四边形OCED是矩形

B.若AC=BD，则四边形OCED是菱形

C.若AD⊥CD，则四边形OCED是矩形

D.若AD=CD，则四边形OCED是菱形9.在反比例函数y=−2024x图象上有三个点A(x1,y1)、B(A.若y1⋅y3<0，则x2⋅x3>0 B.若x1+x210.在矩形ABCD中，点F为边AD的中点，连结BF，将△ABF沿直线BF翻折，使得点A与点H重合，FH的延长线交线段BC于点G，BH的延长线交线段CD于点E，AB=6，若点E为线段CD的中点，则S△BFG的值为(

)A.18 B.12C.2722二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为______．12.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分(含边界)时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为______．13.若二次函数y=ax2−bx+5(a≠0)的图象与x轴交于(1,0)，则b−a+202414.小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：S2=16[2(7−15.如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E，若S△BCE=3，则k的值为

16.如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE，交BC于点H，连结AH、HE，AH与BD交于点G.下列结论：①AF=HE，②∠HAE=45°，③△CEH的周长为12，④BG2+D三、计算题：本大题共1小题，共8分。17.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(3,0)和点B(4,3)．

(1)求二次函数的表达式

(2)四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

计算

(1)2×(19.(本小题6分)

已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0．

(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足(x20.(本小题8分)

王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率m0.2300.2310.3000.2600.254______(1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是______；

(2)估计袋中白球的个数；

(3)在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．21.(本小题10分)

如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连结CF．

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE=5，∠BEF=120°，求四边形BCFE的面积．22.(本小题10分)

如图，已知二次函数y=a(x+1)2+b的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连结AC，BC，求△ABC的面积．

(3)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P23.(本小题12分)

综合实践：如何用最少的材料设计花园？

【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米．

【项目解决】

目标1：确定面积与边长关系．

当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长．

目标2：探究最少的材料方案．

现要围面积为812平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．

(1)若m=14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．

(2)若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，AB=______米.24.(本小题12分)

综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现.在矩形纸片ABCD中，AD=2，AB=3．

【数学思考】如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，使得点E落在BC边上，点A作AH⊥DE.求证：△ADH≌△DEC；

【解决问题】如图2，连结AG，求线段AG的长．

【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周，若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE，AG，求△AEG的面积．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.D

10.C

11.5

12.1813.2029

14.9

15.6

16.②③④

17.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)和点B(4,3)．

∴9a+3b+3=016a+4b+3=3，解得a=1b=−4，

∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=x2−4x+3；

(2)∵y═x218.解：(1)原式=1+2×8

=1+4

=5；

(2)原式=4−5−3

=−419.(1)证明：∵Δ=[−(m+2)]2−4×2m=(m−2)2≥0，

∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m20.（121.(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，BC=2DE，

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF//BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵EF=BE，

∴平行四边形BCFE是菱形；

(2)解：由(1)得：四边形BCFE是菱形，

∴BC=CF=BE=EF，

∵∠BEF=120°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴BC=BE=CE=5，

∴菱形BCFE的面积=2×322.解：(1)∵二次函数y=a(x+1)2+b的图象过点A(−3,0)和点C(0,−3)，

∴a(−3+1)2+b=0a(0+1)2+b=−3，

解得a=1b=−4，

∴抛物线的解析式为y=(x+1)2−4；

(2)(2)令y=x2+2x−3=0，

解得：x=−3或1，

即点B(1,0)，则AB=4，

则△ABC的面积=12AB⋅CO=12×4×3=6；

(3)∵抛物线解析式为y=(x+1)2−4，如图：

∴该抛物线的对称轴为直线x=−1，

∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x=−1对称，

∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离，

∵两点之间线段最短，

∴连接点A和点C与直线x=−1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，

设过点A(−3,0)和点C(0,−3)的直线解析式为y=kx+m23.

24.【数学思考】证明：∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，

∴AD=DE，∠C=∠ADC=90°，

∴∠CDE+∠ADH=90°，

∵AH⊥DE，

∴∠AHD=90°，

∴∠HDA+∠DAHl=90°，

∴∠DAHl=∠CDE，

∴△ADH≌△DEC(AAS)；

【解决问题】解：∵△ADH≌△DEC，

∴AH=CD=3，

∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，

∴CD=DG=3，∠GDE=90°，

∴DH=AD2−AH2=1，

∴DH=12AD，

∴∠DAH=30°，

∴∠ADH=60°，