2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高三（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高三（上）段考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知α：x≥a，β：|x−1|<1.若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是(

)A.a≥0 B.a≤0 C.a≥2 D.a≤22.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6：5：4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取(    )人．A.16 B.18 C.20 D.243.已知cosθ2=45，且sinθ<0，则A.−2425 B.±247 C.4.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④二、填空题：本题共12小题，共54分。5.设集合A={x|2x−1≥0,x∈R}，B={x||x|<2,x∈R}，则A−∩B=______．6.不等式3−xx+4≤0的解集是______．7.数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是an=______．8.函数f(x)=−x2+4x+1(x∈[−1,1])9.函数y=1−2sin2x10.若复数z满足z=i(2−z)(i是虚数单位)，则|z|=______．11.直线l1：3x−y+1=0，l2：x+5=0，则直线12.(x2−1x)13.圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为2cm，则该圆锥的体积为

cm14.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作(每项1人)，其中甲不参加测温的分配方案有______种．(结果用数值表示)15.在△ABC中，AC=4，且AC在AB方向上的数量投影是−2，则|BC−λBA16.设k∈R，函数y=|x2−4x+3|的图像与直线y=kx+1有四个交点，且这些交点的横坐标分别为x1，x2，x3，三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

设集合A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}．

(1)若a=15，试判定集合A与B的关系；

(2)若B⊆A18.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知PA=AB=2，AD=22，求：

(1)△PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE19.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量m=(2sinB,2cosB)，n=(3cosB,−cosB)，且m⋅n=1．

(1)求角B；20.(本小题16分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，P(1,3)，Q(3,1)，M(−3,1)，N(0,2)这四点中恰有三点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点E是椭圆C上的一个动点，求△EMN面积的最大值；

(3)过R(0,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率k>0，在x轴上是否存在一点21.(本小题18分)

已知函数f(x)=loga1−x1+x(0<a<1)．

(1)求函数f(x)的定义域D，并判断f(x)的奇偶性；

(2)如果当x∈(t,a)时，f(x)的值域是(−∞,1)，求a与t的值；

(3)对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D参考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.(−2,16.(−∞,−4)∪[3，+∞)

7.4n−3

8.4

9.π

10.211.π612.3003

13.π314.96

15.216.(−∞,−18217.解：(1)由x2−8x+15=0得x=3或x=5，故A={3,5}，

当a=15由ax−1=0得x=5.∴B={5}，

∴B⫋A．

(2)当B=⌀时，满足B⊆A，此时a=0；

当B≠⌀，即a≠0时，集合B={1a}，由B⊆A得1a=3或118.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，

则PA⊥CD，

由于底面ABCD是矩形，

即有AD⊥CD，

则CD⊥平面PAD，

即有CD⊥PD，

由PA=2，AD=22，PA⊥AD，

由勾股定理可得PD=PA2+AD2=23．

则有S△PCD=12CD⋅PD=23；

(2)连接AC，DE．

由AD//BC，则∠DAE即为异面直线BC和AE所成的角．

在直角三角形PCD中，DE=12PC，

在直角三角形PAC中，AE=12PC，

由于AC=AB2+AD19.解：(1)∵m⋅n=1，∴2sinB⋅3cosB−2cos2B=1，

∴3sin2B−cos2B=2，sin(2B−π6)=1，

又0<B<π，∴−π6<2B−π6<11π6，

∴2B−π6=20.解：(1)由Q，M两点关于y轴对称，因此Q，M两点必然在椭圆C上，∴9a2+1b2=1，

若点P在椭圆C上，则1a2+9b2=1，得出a=b，矛盾，因此点不P在椭圆C上，

∴点N(0,2)在椭圆C上，∴b=2，解得a2=16，

∴c=a2−b2=23．

∴椭圆C的方程为：x216+y24=1．

(2)kMN=13，|MN|=32+(2−1)2=10，

直线MN的方程为：y=13x+2．

设与椭圆C相切的直线方程为：y=13x+t，

代入椭圆方程可得：x2+4×(13x+t)2=16，

化为：13x2+24tx+36t2−144=0，

令Δ=(24t)2−52(36t2−144)=0，解得t=±13，

取t=−13，此时与椭圆C相切的直线方程为：y=13x−13，

与直线MN的距离d=|2+1321.解：(1)要使原函数有意义，则1−x1+x>0，解得−1<x<1，

所以，函数f(x)的定义域D=(−1,1)

f(x)是定义域内的奇函数．

证明：对任意x∈D，有f(−x)=loga1+x1−x=loga(1−x1+x)−1=−loga(1−x1+x)=−f(x)

所以函数f(x)是奇函数．

另证：对任意x∈D，f(−x)+f(x)=loga1+x1−x+loga(1−x1+x)=loga1=0

所以函数f(x)是奇函数．

(2)由1−x1+x=−1+2x+1知，函数g(x)=1−x1+x在(−1,1)上单调递减，

因为0<a<1，所以f(x)在(−1,1)上是增函数

又因为x∈(t,a)时，f(x)的值域是(−∞,1)，所以(t,a)⊆(−1,1)

且g(x)=1−x1