2024年河南省周口市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年河南省周口市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x|−1<x<5}，集合A满足∁UA={x|0≤x<3}，则(

)A.0∈A B.1∉A C.2∈A D.3∉A2.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位数为(

)A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.83.已知数列{an}为等比数列，且a1=1，a9=16，设等差数列{bn}的前A.−36或36 B.−36 C.36 D.184.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a=C201⋅2+C20A.2018 B.2020 C.2022 D.20245.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinωt，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x(x∈R)，则下列说法正确的是A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的最大值为32

C.f(x)的图象关于点(π2,0)对称 D.f(x)在区间6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为(

)A.58 B.78 C.9297.在平面直角坐标系xOy中，设A(2,4)，B(−2,−4)，动点P满足PO⋅PA=−1，则tan∠PBOA.22121 B.429298.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点A.2x±y=0 B.x±2y=0 C.3x±y=0 D.x±3y=0二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在复平面内，复数z1=12−32i对应的点为A.|z1|=|z2|=1 B.z1⋅z10.如图，在矩形ABB1A1中，AA1=1，AB=4，点C，D，E与点C1，D1，E1分别是线段AB与A1B1的四等分点.若把矩形A.直线AC1与DE1异面 B.AE/​/平面A1CD

C.直线DE1与平面AED11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)f(x−y)=f2(x)−f2(y)，f(1)=1A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数

C.f(2+x)=−f(2−x) D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。12.抛物线x2=1ay的准线方程为y=113.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=4，c⋅cosB+a=0，则边c=______，点D在线段AB上，且∠CDA=3π414.已知不等式ex−1a+1−2ax≥b对任意的实数x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立．

(Ⅰ)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(Ⅱ)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(x2−lnx)+(1−2a2)x(a≥0)．

(Ⅰ)若x=1是函数y=f(x)的极值点，求a的值；

(17.(本小题15分)

如图，在多面体DABCE中，△ABC是等边三角形，AB=AD=2，DB=DC=EB=EC=2．

(Ⅰ)求证：BC⊥AE；

(Ⅱ)若二面角A−BC−E为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1)，且焦距为23．

(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)过点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．

①证明：直线MN19.(本小题17分)

已知数列{an}为有穷数列，且an∈N∗，若数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}为m的k增数列；

①a1+a2+a3+…+an=m；

②对于1≤i<j≤n，使得ai<aj的正整数对(i,j)有k个．

(Ⅰ)写出所有4的参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.−113.10

414.2−2ln2

15.解：(Ⅰ)前3局比赛甲都取胜的概率为P=12×12×12=18；

(Ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，3.其中，X=0表示第1局乙输，第2局是甲丙上场，第3局是乙输，则P(X=0)=12×12=14；

X=1表示乙赢1局，即第1局乙赢，第2局乙输，或第1局乙输，第3局乙赢；则P(X=1)=12×12+12×1X0123P

1

1

1

1X的数学期望为E(X)=0×1416.解：(Ⅰ)函数f(x)=a(x2−lnx)+(1−2a2)x(a≥0)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=a(2x−1x)+1−2a2=(2ax+1)(x−a)x，

因为x=1是函数y=f(x)的极值点，

所以f′(1)=0，即(2a+1)(1−a)=0，a≥0，

解得a=1，经检验知，当a=1时，x=1是函数y=f(x)的极值点，

所以a=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=(2ax+1)(x−a)x，a≥0，

当a=0时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间；

当a>0时，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，

所以函数f(x)的递减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞)．

综上，当a=017.(Ⅰ)证明：如图，取BC中点O，连接AO，EO，

∵△ABC是等边三角形，O为BC中点，

∴AO⊥BC，又EB=EC，

∴EO⊥BC，∵AO∩EO=O，

∴BC⊥平面AEO，又AE⊂平面AEO，

∴BC⊥AE；

解：(Ⅱ)连接DO，则DO⊥BC，由AB=AC=BC=2，DB=DC=EB=EC=2，

则AO=3，DO=1，又AD=2，

∴AO2+DO2=AD2，

∴DO⊥AO，又AO∩BC=O，

∴DO⊥平面ABC，

如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,−1,0)，D(0,0,1)，

∴CA=(3,1,0)，CD=(0,1,1)，

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅CA=0,n⋅CD=0，

即3x+y=0,y+z=0，

取x=1，则n=(1,−3,3)，

∵∠AOE是二面角18.解：(Ⅰ)因为椭圆E过点(0,1)，且焦距为23，

所以b=1，c=3，

可得a2=b2+c2=4，

则椭圆E的方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)①证明：不妨设直线AB的方程为x=my+1(m≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

可得直线CD的方程为x=−1my+1(m≠0)，

联立x=my+1x24+y2=1，消去x并整理得(m2+4)y2+2my−3=0，

此时Δ=16m2+48>0，

由韦达定理得y1+y2=−2mm2+4，

所以M(4m2+4,−mm2+4)，

同理得N(4m21+4m2,m1+4m2)，

当4m2+4=4m21+4m2，即m2=1时，

直线MN的方程为x=45，

此时直线MN19.解：(Ⅰ)由题意得a1+a2+⋯+an=4且对于1≤i<j≤4，使得ai<aj的正整数对(i,j)有1个，

由于1+2+1=4或1+3=4，

故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3．

(Ⅱ)当n=5时，存在m的6增数列，

即a1+a2+a3+a4+a5=m，且对于1≤i<j≤5，使得ai<aj的正整数对(i,j)有6个，

所以数列{an}的各项中必有不同的项，所以m≥6且m∈N∗，

若m=6，满足要求的数列{an}中有四项为1，一项为2，

所以k≤4，不符合题意，所以m>6．

若m=7，满足要求的数列{an}中有三项为1，两项为2，

此时数列为1，1，1，2，2，满足要求的正整数对(i,j)分别为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，符合m的6增数列，

所以当n=5时，若存在m的6增数列，m的最小值为7．

(Ⅲ)若数列{an}中的每一项都相等，则k=0，

若k≠0，所以数列[an}中存在大于1的项，

若首项a1≠1，将a1拆分成a1个