中考数学一轮复习重难点题型突破训练：整式运算及应用

1.2重难点题型突破训练：整式运算及应用

题型分类结构图（本专题共100题102页）

题型1：数字规律探究

题型2:图形规律探究

题型3:图形周长探究问题

题型4:与整式有关的图形面积问题

整式运算及应用

题型5:未知项（符号）探究

题型6:整式运算的应用

题型7:因式分解的应用

题型1：数字规律探究

典例：（2023•河北石家庄•九年级期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如

图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为。，b,c,d.

|2022^1v|<|10J]v|>

日一二三四五六

1

国庆节

2345678

重阳节r----------

9101112J1314;15

16171819;2021J22

23242526272829

3031

（1）若用含有。的式子分别表示出b,Jd,其结果应为：b=;c=；d=

⑵按这种方法所圈出的四个数中，次?的最大值为

⑶嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得历的值为135.”

淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数。与最大数d的乘积ad为84.

请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.

巩固练习

1.（2023•西藏•中考真题）按'一定规律排列的一组数据:y,-—,；,---,—,—,….则按此

252172637

规律排列的第10个数是（）

A19c2119c21

A.----B.---C.---D.—

1011018282

2.（2023•广西百色•二模）将一组数近，2,76,2TLM2回,按下列方式进行排列：

y/2,2,R,2&,加；

2框,V14,4,3近，275;

若2的位置记为（1,2）,的位置记为（2,1）,则商这个数的位置记为（）

A.（5,4）B.（4,4）0.（4,3）D.（3,5）

3.（2023•重庆市第。中学校模拟预测）有依次排列的3个整式：x,x+7,x-2,对任意相邻的两

个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：X,7,

尤+7,-9,x-2,则称它为整式串1;将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2;以此类

推.通过实际操作，得出以下结论：

CZ）整式串2为：％,7—x,7,x,龙+7,—x—16,—9,x+7,x-2;

②整式串3共17个整式；

③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2;

④整式串2021的所有整式的和为3%-4037；

上述四个结论正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

4.（2023•重庆南开中学九年级期中）有依次排列的两个整式。，6,第1次操作后得到整式串。，b,b-a-,

第2次操作后得到整式串a,b,b-a,-a-其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项-前

一项），下列说法：

①第4次操作后的整式串为。，b,b-a,a,-b-b,a-b;

②第2022次操作后的整式串各项之和为a+b；

③第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2023•黑龙江牡丹江•九年级期末）按顺序观察下列五个数T,5,-7,17,-31.......,找出以上数据

依次出现的规律，则第n个数是.

6.（2023•全国•七年级专题练习）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第行第一

列.

1

23

456

78910

1112131415

7.（2023•江苏•常州市北郊初级中学二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向

前直走5根，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10。.第一次直走5机后转动10°,第二次直走5wi

后转动20。，第三次直走5相后转动30。，如此下去.那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了

米.

8.（2023•湖北恩施•九年级期中）我们知道，一元二次方程/=-1没有实数根，即不存在一个实数的平

方等于7.若我们规定一个新数/,使其满足/=_1（即方程d=_i有一个根为，），并且进一步规定：一

切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有工=i,『=一1,尸=>.j=（_］）.,=,

/=&2）2=从而对任意正整数〃，我们可以得到严+1=产4=册4y.i=j,同理可得严+2=_i,

产+3=t•，泮=1,那么i+f+尸+/+…+严1+严2的值为.

9.（2023•重庆•巴川初级中学校九年级期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，

求解过程如图1所示.仿照图1,用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则

>加c+加夕什酢庐.

10.（2023•全国•九年级专题练习）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等

特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展

现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白

小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数

据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成220°个不同的数据二维码，现有四名网友对22°°的理解如

下：

力缈（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数;

DDDD（懂的都懂）：2200等于2OO2;

加"（觉醒年代）：22°°的个位数字是6;

QGYW（强国有我）:我知道21°=1024,1O3=1000,所以我估计220°比1O60大.

其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

11.（2023•全国•九年级专题练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

若有序数对仇,利）表示第〃行，从左到右第加个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对是.

12.（2023•内蒙古鄂尔多斯•二模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.根据此规律，

则第"个图中的c=.

13.（2023•台湾•模拟预测）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿

藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.

请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：

（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分

裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共

分裂成4k个绿藻细胞，则上之值为何？

⑵承（1）,已知60亿介于232与233之间，请判断斗个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？

14.（2023•重庆•三模）对任意一个四位正整数〃，如果〃的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m

的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数〃为“筋斗数”.例如：加=5321,满足1

+2=3,2X2+1=5,所以5321是“筋斗数”.例如：m=8523,满足2+3=5,但2X2+3=7羊8,所以

8523不是“筋斗数”.

⑴判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；

⑵若m是“筋斗数”，且加与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m.

15.（2023•全国•九年级专题练习）观察以下等式：

第1个等式：（2xl+iy=（2x2+l）2_（2x2）2,

第2个等式：（2x2+1）?=（3x4+l）2—（3x4）、

第3个等式：（2x3+1?=（4x6+1）?-（4x6）、

第4个等式:（2x4+iy=（5X8+1）2-（5X8）、

按照以上规律.解决下列问题：

（1）写出第5个等式：；

⑵写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

16.（2023•浙江嘉兴•九年级专题练习）设后是一个两位数，其中a是十位上的数字（1WaW9）.例如,

当a=4时，商表示的两位数是45.

⑴尝试：

①当a=1时，152=225=1X2X100+25;

②当a=2时，252=625=2X3X100+25;

③当a=3时，352=1225=；

⑵归纳：益2与iooa（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由.

⑶运用：若后z与100a的差为2525,求a的值.

题型2:图形规律探究

典例：（2023•湖北宜昌•九年级期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行,

其中第一行有一个点，第二行有两个点…第〃行有〃个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和.

①求三角形点阵中前10行的点数和；

②若三角形点阵中前a行的点数之和为300,求a的值；

③三角形点阵中前6行的点数之和是600吗？（填“能”或“不能”）

（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…，2〃，…,

①求这个三角形点阵中前〃行点数和（用含"的代数式表示）；

②这个三角形点阵中前〃行点数和能是600吗？若能，求出"；若不能，请说明理由.

巩固练习

1.（2023•重庆市第七中学校九年级期中）下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①

个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个

图形中黑点的个数是（)

图①图②图③图④

A.44B.48C.49D.54

2.（2023•重庆市丰都县平都中学校九年级期中）观察下列图形规律，其中第1个图形由6个O组成，第2

个图由14个O组成，第3个图由24个O组成，……，照此规律下去，则第6个图由O的个数一共是（）

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOO

OOO

OOO

OOOOOOOO

图

图②图③

A.64B.650.66D.67

3.（2023•浙江•北大附属台州书生学校二模）如图所示，动点尸从第一个数0的位置出发，每次跳动一

个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三

次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去,

点户从。跳动6次到达《的位置，点尸从0跳动21次到达£的位置，…，点斗£、心…匕在一条直线上,

则点。从0跳动（）次可到达0的位置.

A.887B.903C.90D.1024

4.（2023•重庆南开中学九年级期中）用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角

星，第②个图案中有7个五南星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律

排列下去,则第⑧个图案中五角星的个数为（）

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆忒

☆

☆

☆☆

☆

①②③④

A.42B.52C.56D.63

5.（2023•浙江宁波•九年级专题练习）图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是

由图2的"一连串直角三角形演化而成,其中。A=AA=4A=…=4一出=1,若的值是整数，且

l<n<50,则符合条件的"有（)

图1

A.1个B.D.4个

6.（2023•青海•中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第"个图中共有木料

根.

a)&

第i个第2个第3个

7.（2023•甘肃•平凉市第七中学二模）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形边上，按照这样的

规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

8.（2023•甘肃•嘉峪关市明珠学校一模）如图，平面直角坐标系尤Oy内，动点尸按图中箭头所示方向依

次运动，第1次从点（0,1）运动到点（1,0）,第二次运动到点（2,-2）,第3次运动到点（3,0）,…按这样的运动

规律，动点户第2022次运动到的点的坐标是

9.（2023•山东枣庄•九年级期中）如下图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小

木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第"个图

形需要2022根小木棒，则”的值为

图3

10.（2023•黑龙江牡丹江•九年级期中）如图是由同样大小的五角星按一定规律组成，其中第①个图形有

2个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有8个五角形，第④个图形有14个五角形，则第10个

图形有个五角星.

☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

☆

图①图②图③图④

11.（2023•宁夏•银川外国语实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形。414G的两

边在坐标轴上，以它的对角线。片为边做正方形OB]B2c2,再以正方形OB/2c2的对角线为边做正方形

03233c3……以此类推，则正方形。氏2。履2c⑼的边长是

12.（2023•山东•禹城市教育和体育局二模）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆。1,半圆。叫…，半圆

。“与直线>=迫彳相切.设半圆。>半圆。2,…，半圆。”的半径分别是仆6,…，rn,则当时，〜22=

3、

13.（2023•广东佛山•九年级期中）如图，A3C中，ZB=9O°,BC=3,2c边上的高A3=l,点片、2PH,

分别在边AB、AC、CB上，且四边形40MB为矩形，片。|：《8=2:3,点生Q?、凡分别在边

。向、C2PCd上，且四边形EQ&d为矩形，鸟2：6凡=2:3,…按此规律操作下去，则线段C&022的

长度为.

A

14.（2023•广西南宁•九年级期中）如图，已知点A,4,­••,A。2。在函数y=/位于第二象限的图象上,

点、B[,B],…,蜃20在函数＞=/位于第一象限的图象上，点C1,c2,…，C2020在y轴的正半轴上，若四

边形OAC内、C,AC2B2,…，GM4c£23/22都是正方形，则正方形C?⑼怎22Go22与。22的对角线长为

15.（2023•安徽•铜陵市第十五中学九年级期中）如图，用同样规格黑白亮色的正方形瓷砖铺设长方形地

面，请观察下列图形，并解答有关问题.

〃=1n=2n=3

⑴在第"个图中，第一横行共有块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖，铺设地面所用瓷砖

的总块数为：（用含〃的式子表示）

⑵上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时〃的值；

⑶黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，求问题（2）中，共需要多少钱购买瓷砖.

16.（2023•山西忻州•九年级期中）阅读与思考

方法介绍：

同学们、生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合，建立数学模型的方式来

解决.

例如：我校七年级有五个班在落实“双减”政策，丰富课余生活，每个班只能组建一个球队，代表该班参

加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？

这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上)，如图1所示，其中

每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安

排比赛的场数、这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即

每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5义4=20(条)线段，而每两个点之间的线段都重

复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.

学以致用：

(1)由于七年级学生积极性高涨，还要求再比赛，体育组为了让更多的同学参加，体现班级的凝聚力，这次

要求每班组建2个球队，且每个队与其他各队比赛一场且本班的两个球队也要比赛.学校一共安排20场比

赛，对吗？请借助图2直接判断，若不正确，请直接写出学校一共安排的场数；

⑵根据规律，直接写出如果学校准备组织〃个篮球队参加比赛，每两个球队之间都比赛场，若比客场数用

加表示，直接写出加与"的数量关系式；

(3)D53670是从大同南开往运城北的高铁，若途中任两站的距离都不相等，在这趟高铁中共设有45种不同

的票价，求途中有多少个停车点，

题型3:图形周长探究问题

典例：(2023•河北唐山•二模)已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示(m>0),面积分别为S甲和

SC.

加+8

m+2甲

m+6

7M+4乙

(1)①用含m的代数式表示S甲=Sc=

②用、"="或号填空s甲S5

（2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为Sj

①该正方形的边长是.（用含m的代数式表示）；

②小方同学发现，“S正与S。的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由.

巩固练习

1.（2023•浙江宁波•九年级专题练习）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不

重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一

定能求出（）

A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.ABEF的面积D.△AEH的面积

2.（2023•浙江•九年级专题练习）两张全等的矩形（非正方形）纸片先后按如图①呈轴对称方式，按如

图②呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形①与图形④的面积差，则一定能求出（）

A.图形②与③的面积差B.图形②与③的周长差

C.图形②与③的面积和D.图形②与③的周长和

3.（2023•浙江金华•一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其

中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条

A.（1）与（2）的周长之差B.（3）的面积

0.（1）与（3）的面积之差D.长方形的周长

4.（2023•湖北恩施•一模）如图叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形（图①）开始画：把一个等边

三南形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六

角星（图②）.然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有18个尖角

的图形（图③）.如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图④）.继续重复上面的过程，图形的外

边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致，越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了.若

图①中等边三角形的边长为1,则第4个图形的周长为（）

5.（2023•全国•七年级专题练习）把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片

/、B、C、。和一张长方形纸片E,并将它们按图2的方式放入周长为24cm的的长方形中.设正方形C的边

长为xcm,正方形〃的边长为wm.则下结论中正确的是（）

图1

A.正方形C的边长为1cmB,正方形4的边长为3cm

C.正方形8的边长为4cmD.阴影部分的周长为20cm

6.（2023•浙江•宁波市第七中学九年级期中）图，有三张正方形纸片4B,C,它们的边长分别为a,b,

c,将三张纸片按图1,图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为/7，面积为S,

图2中阴影部分周长为/z,面积为若$2-则》:c的值为（)

图1图2

35

A.-B.2C.-D.3

22

7.（2023•全国•九年级专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组

数：1,1,2,3,5,8,13,其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中

的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如图1）;再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个拼成

如图2长方形并记为①，②，③，④若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是（）

A.110B.100C.105D.90

8.（2023•辽宁•沈阳市实验学校九年级期中）长方形的长为力-a,宽长为a,则这个长方形的周长是

9.（2023•江苏•九年级专题练习）如图，四边形ABCO与AEG/均为矩形，点瓦尸分别在线段上.若

BE=FD=2cm,矩形AEGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为cm.

10.（2023•北京•九年级单元测试）如图1,小长方形纸片的长为2,宽为1,将4张这样的小长方形按图

2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形4和8,设长方形力和8的

周长分别为3和。2,则CxC2（填“>”、"二”或“<”）

图1

11.（2023•安徽六安•七年级期中）如图1是长为a,宽为6的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡

片不重叠地放在一个底面为长方形（长为4,宽为3）的盒子底部（如图2）,盒子底部未被卡片覆盖的部分

用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长之和为（填具体数值）

12.（2023•安徽•一模）某校数学小组开展了趣味剪纸活动。

【观察】如图，图①是一块边长为周长记为：的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为:a的正

三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正

三角形纸板边长的;）后，得图③，④，…，记第””23）块纸板的周长为匕

（1）［了解］P3~P2=；P„-P,i=.

（2）【实践】如果一个正三角形纸板面积为6,通过两次这种方法裁剪，得到最小的正三角形的面积为？

13.（2023•浙江•八年级单元测试）将一根长为（12m+9"-3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一

个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2〃z+〃）cm,腰为（机+”）cm.

⑴求剪掉部分的铁丝长度.

⑵若围成的等腰三角形的周长为20cm,求铁丝的长度.

14.（2023•新疆•乌鲁木齐市第七十七中学九年级期中）下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律

组成的，其中第1个图形的周长为4,第2个图形的周长为10,第3个图形的周长为18,……按此规律排

列，回答下列问题：

第1个第2个第3个

（1）第4个图形的周长为;

（2）第"个图形的周长为；

（3）第〃个图形的周长能否为155?如能求出〃的值，如不能，请说明理由.

15.（2023•河北•顺平县腰山镇第一初级中学一模）现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a>0）,周长

分别为。叶和C匕,面积分别为S尹和St.

（1）用含a的代数式表示C甲=；C乙=;S中=;S匕=.

⑵通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个

矩形的面积之差越大”.你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由.

题型4:与整式有关的图形面积问题

典例：（2023•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪

成9块，其中有2块是边长为。厘米的大正方形，2块是边长为万厘米的小正方形，5块是长为。厘米，宽

为6厘米的相同的小长方形，且a>8.

⑴该大长方形纸板的长为厘米，宽为厘米.（用含。、6的代数式表示）

⑵观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+26?可以因式分解为.

⑶若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.

巩固练习

1.（2023•湖北武汉•七年级期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片.小

长方形两邻边的长分别记为a,b,把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖

的部分，分别记为S2.

（1）如图2,若a=2,b=5,AC=1O,直接写出S］的面积=S?的面积=；

⑵如图2,当A3=20,AC=15时，直接写出航和S2的周长和是；

⑶如图3,若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是2,分别求大长方形的两邻边

AB,4C的长.

2.（2023•福建省厦门第二中学八年级期中）如图，4张长为x,宽为y（x>y）的长方形纸片拼成一个正方形

ABCD.

（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的3倍时，求4y-2x-5的值；

⑵用含x,y的代数式表示图中所有阴影部分面积的和.

3.（2023•全国•九年级专题练习）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往

往能化繁为简，巧妙解题.请阅读并解决下列问题：

问题一：（x+y-z）（x—y+z）=（A+B）（A-B）,

（1）则4=,B=;

（2）计算：（2a+b+3）（2a+b-3）.

问题二：已知尤2+y2=（尤+y）2—尸=（彳—丫）2+Q,

（1）贝UP=,Q=；

（2）已知长和宽分别为a,6的长方形，它的周长为14,面积为10,如图所示，求/+廿+仍的值.

b

4.（2023•湖南•醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）从前，有一位庄园主把一块边长为6米（相＞5）

的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，相邻的另一边减

少5米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”.如果这样，你觉得张老

汉的租地面积会（）

A.没有变化B.变大了C.变小了D.无法确定

5.（2023•广东•江门市新会尚雅学校八年级期中）已知长方形的面积为64+18浦，长为3a,则该长方

形的周长为.

答案：10a+12/7##1助+10。

6.（2023•山东青岛•七年级期中）如图，将两张边长分别为5和4的正方形纸片分别按图①和图②两种方

式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴

影表示.若长方形中边48,4）的长度分别为加，〃.设图①中阴影部分面积为图②中阴影部分面积

为S],当机-72=5时，S]—邑的值为.

7.（2023•山东•济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修

建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）.

（1）用含色〃的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积5；

⑵若切=30米，”=20米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用加的值.

8.（2023•贵州六盘水•中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为“，匕的正方形秧田A,B,

其中不能使用的面积为

（1）用含a,M的代数式表示A中能使用的面积;

⑵若a+6=10,a-b=5,求A比3多出的使用面积.

9.（2023•陕西咸阳•七年级期中）如图，为了美化小区环境，某小区在一块长方形空地的两角修建扇形

花园，然后在中间修建一条宽为米的小路，剩下的部分修建成草坪，已知空地的长为a米，宽为6米,

4

扇形花园半径为厂米.

（1）花园的面积为,小路的面积为;（用含a,b,r的代数式表示，结果保留兀）

⑵用含a、b、r的代数式表示草坪的面积；

⑶当a=8,b=7,厂=3时，求草坪的面积.（兀取3.14,结果精确到1平方米）

10.（2023•广东•广州大学附属中学七年级期中）由两块axb的长方形和一块边长为c的正方形拼成如下

图形.

（1）如图1,用含。、b、c的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）

⑵已知6=1,c-3.

①如图2,分别用两种不同的方式连接图形中的二个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三

角形的面积分别记作S、和邑，试通过计算比较工与邑的大小关系；

②如图3,P是边长为c的正方形ABCD边BC上一个点，M、N是图形上如图所示的两个顶点，点。为线

段。P上一动点，当三角形脑V。的面积不随点Q位置变化而变化，求3尸的长度.（用含。的式子表示）

11.（2023•河南省鹤壁市淇滨区鹿鸣中学七年级期中）如图，长为60cm,宽为x（cm）的大长方形被分割

为7小块，除阴影48外，其余5块是形状大小完全相同的小长方形，其中小长方形的较短一边长度为10cm.

⑴从图可知，每块小长方形的较长的一边长度是cm.

⑵代数式尤-30,x-40中，哪一个代数式的值为正数？（填“x-30”或“x-40”）

⑶请你先用含x的代数式表示阴影46的面积，并说明：阴影力的面积一定比阴影8的面积大300cm?.

12.（2023•江苏徐州•七年级期中）将5张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠

的放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为1和邑已知小长方形纸片

的长为a,宽为b,且

图1图2

（1）当a=7,b=2,AD=15时，长方形ABC。的面积是,廿一显的值为;

（2）当A£>=20时，请用含a、6的式子表示H-S2的值；

⑶若A5长度为定值，AD的长度不确定，将这5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD

内.当AD的长度改变时（AD>“），51-其的值总保持不变，则a、6满足的什么关系？

13.（2023•福建泉州•八年级期中）波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同

的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”，这就是“算两次”原理，也称富比尼（G•瓦/沅山）

原理.例如：计算如图1中正方形ABC。的面积，可以是（a+b）?,也可把图1中正方形ABC。看做是由2个

长方形和2个小正方形组成的，则它的面积是+2a6+Z>2,由此得到：（。+））2=/+2°）+/.

（1）如图2,正方形ABCD是由四个边长分别是。、6的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法

对图2中正方形ABCD的面积进行计算，可得等式;（用含。、匕的代数式表示）

（2）已知：两数x、V满足x+y=5,孙=3,求x—V的值；

（3）如图3,正方形ABCD的边长是。，它由四个直角边长分别是。、》的直角三角形和中间一个小正方形组

成，对图3中正方形A3CD的面积进行计算，可得等式（用含。、b、c的代数式表示，结果尽可能

化简，不带括号）；

1o3

⑷在（3）的条件下，当02=3尤，/=1丫时，。=4；当b?=2y时，c=3,求x、>的值.

14.（2023•块西汉中•七年级期末）某村小麦种植面积是a公顷.水稻种植面积比小麦种植面积的3倍少

5公顷，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍多8公顷.

（1）水稻的种植面积为公顷（用含a的代数式表示）；

⑵水稻的种植面积比玉米的种植面积多公顷（用含a的代数式表示）；

⑶求该村种植小麦、水稻和玉米三种农作物的总面积（单位：公顷）（用含a的代数式表示），当"=60时，

求该村种植这三种农作物的总面积

15.（2023•湖北随州•九年级专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学

发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，

利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

⑴我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下

面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

(图3)(图4)

公式①：(a+b+c)d-ad+bd+cd

公式②：(a+b)^c+d^=ac+ad+bc+bd

公式③：-a2-2ab+b2

公式④：（a+Z＞）2=cr+lab+b2

图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式；

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（。+3（4-6）=。2一。2的方法，如图5,请写出

证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

图5

⑶如图6,在等腰直角三角形/8C中，4c=90。，〃为8。的中点，£为边4C上任意一点（不与端点重

合），过点E作EG_L3C于点G,作打点〃过点8作M7/C交的延长线于点F.记ABFG与/\CEG

的面积之和为S],△/故与的面积之和为邑.

①若E为边水?的中点，则］的值为;

②若F不为边/C的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

题型5:未知项（符号）探究

典例：（2023•河北•唐山市路北区教育局中教研二模）在化简+题目中：♦

表示十,X,+四个运算符号中的某一个.

（1）若♦表示一，请化简—

（2）当〃z=-2,九=1时，3（疗”+,加）_4（病“_〃切）♦2,“"的值为I2,请推算出♦所表示的符号.

巩固练习

1.（2023•河北•九年级专题练习）在计算题日：“已知：M=3/_4X+2,N=・，求2A1-N”时，嘉淇

把“2M-N”看成“M—2N”，得至I的计算结果是_d+4x_4.

（1）求整式N-,

⑵判断2M-N的化简结果是否能为负数，并说明理由.

2.（2023•河北•大名县束馆镇束馆中学三模）嘉嘉准备完成题目：

1化简：（3d+□工）0（10工+3日-15）.

她发现“口”内的系数与“<>”内的运算符号印刷不清楚，淇淇告诉嘉