初中数学中考复习讲义练习：胡不归最值模型提升

中考数学几何模型:胡不归最值模型

点睛------------------------------------------------拨

开云雾开门见山

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还

可能会遇上形如“B4+叱”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不

归问题;（2）阿氏圆.

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两

点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家2之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，

当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际

不断念叨着“胡不归？胡不归？...”（“胡”同"何”）

【模型建立】

如图，一动点尸在直线外的运动速度为VI,在直线上运动的速度为V2,且0<V2,

A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+些的值最小.

匕K

MN

A七c

【问题分析】

—+—=—（BC+^-Ac],记左=匕，即求BC+fcAC的最小值.

匕h乂（V2）V2

【问题解决】

CH

构造射线使得sin/ZMN=A,即——=k,CH=kAC.

AC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH±AD交MN于点C,交于H点，此时

BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【模型总结】

在求形如“B4+ZPB”的式子的最值问题中，关键是构造与相等的线段，将“以+狂歹型问

题转化为“出+PC'型.而这里的P8必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函

数得到kPB的等线段.

典题探究启

迪思维探究重点

例题L如图，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BEL4c于点E,。是线段BE上的一个动

点，则CO+好BD的最小值是.

5

【分析】本题关键在于处理“—BD",考虑tanA=2,LABE三边之比为1:2:际，sinZABE—,

55

故作DH±AB交AB于H点，则。”=正80.问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H

5

共线时值最小，此时C£>+OH=CH=3E=46.

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线

DH,即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造a,如下图，这一步正

是解决“胡不归”问题关键所在.

变式练习>>>

1.如图，平行四边形A8CD中，ZDAB^60°,A8=6,BC=2,P为边C。上的一动点，则

PB+—PD的最小值等于.

2

M

【分析】考虑如何构造“鱼尸口”，已知乙4=60。，且sin6（T=g,故延长40,作P〃_LAO

22

延长线于H点,即可得PH=@PD,将问题转化为：求PB+PH最小值.当B、P、H三点

2

共线时，可得尸3+尸8取到最小值，即88的长，解直角即可得28长.

例题2.如图，AC是圆。的直径，AC=4,弧BA=120。，点。是弦AB上的一个动点，那

么的最小值为（）

2

A.亭B.V3C.i+^D.1+V3

【解答】解：：嬴的度数为120。，...NC=60。，

:AC是直径，/.ZABC^90°,：.ZA=30°,

作BK〃CA,DE_LBK于E,OA/_LBK于M,连接08.

BK//AC,：.NDBE=NBAC=30°,

在RtADBE中，DE=：D,：.OD+^-BD^OD+DE,

22

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为OM,

2

；/BAO=NA8O=30°,/.ZOBM^60°,

在RtAOBM中，

VOB=2,ZOBM=60°,：.OM=OB^m600=y13f.・・工。5+0。的最小值为«,

2

故选：B.

变式练习>>>

2.如图，△ABC中，ZBAC=30°_aAB=AC,尸是底边上的高AH上一点.若AP+8P+CP

的最小值为2亚，则BC=_屉二返

【解答】解：如图将△A8P绕点A顺时针旋转60。得到△AMG.连接PG,CM.

"：AB=AC,AH±BC,：.ZBAP=ZCAP,

\'PA^PA,.♦.△BAP四△CAP(SAS),:.PC=PB,

•：MG=PB,AG^AP,ZGAP=60°,

.♦.△G4P是等边三角形，：.PA^PG,

：.PA+PB+PC^CP+PG+GM,

...当M,G,P,C共线时，E4+P8+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

,：AP+BP+CP的最小值为2&,；.CM=2后，

VZBAM^60°,N2AC=30°,AZMAC^90°,；.AM=AC=2,

作8ALLAC于M贝I]BN=LA8=1,AN=43,CN=2-M，

2

:BC=22

'VBN+CN=Vl2+(2-V3)2=加-.

故答案为-V2.

例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC

边在x轴上，8c边的高在丫轴上.一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿

GC到达C点，已知电子虫在丫轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫

走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0,飞）.

【解答】解：如图作GM1AB于M,设电子虫在CG上的速度为v,

电子虫走完全全程的时间片超+竺=!（迪+CG）,

2vvv2

在RtAAMG中，GM^—AG,

2

，电子虫走完全全程的时间（GM+CG）,

v

当C、G、M共线时，且CM_LAB时，GA/+CG最短,

此时CG=AG=2OG,易知OG=L•2x6=«

32

所以点G的坐标为（0,-M）.

故答案为：（0,-V3）-

变式练习>>>

3.如图，AABC在直角坐标系中，AB=AC,A（0,2&），C（1,0）,O为射线AO上一

点，一动点尸从A出发，运动路径为A—。—C,点P在上的运动速度是在C。上的

3倍，要使整个运动时间最少，则点。的坐标应为（）

A.（0,近）B.（0,返）C.（0,返）D.（0,返）

234

解：假设P在的速度为3匕在C。的速度为1匕

总时间「=坦+里=!（毁+CD）,要使f最小，就要也+C。最小，

3VVV33

因为A8=AC=3,过点8作8H_LAC交AC于点H,交OA于Z）,

易证△AOZ/S/XACO,所以空.=殴=3,所以包

0CDH3

因为△ABC是等腰三角形，所以BO=C£>,所以要坦+C。最小，就是要OH+2D最小,

3

就要3、D、H三点共线就行了.因为△AOCS^B。。，所以殁=毁，即工返=工,

_OB0D10D

所以。D=返，所以点。的坐标应为（0,返）.

44

例题4.直线y=?x与抛物线>=（x-3）2-4m+3交于A,8两点（其中点A在点8的左

3

侧)，与抛物线的对称轴交于点C,抛物线的顶点为。(点D在点C的下方)，设点2的

横坐标为t

(1)求点C的坐标及线段的长(用含根的式子表示)；

(2)直接用含/的式子表示机与r之间的关系式(不需写出f的取值范围)；

(3)若CD=CB.①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点R使8B+之CP的

5

值最小，则满足条件的点尸的坐标是(3,骂)

【解答】解：(1)抛物线y=(x-3)2-4〃计3的对称轴为x=3,

令x=3,则有y=?x3=4,即点C的坐标为(3,4).

抛物线产(%-3)2-4m+3的顶点D的坐标为(3,-4〃?+3),

点D在点C的下方，C£)=4-(-4〃计3)=4/77+1

(2)•••点8在直线尸白上，且其横坐标为。

则点B的坐标为G,Ar),将点B的坐标代入抛物线y=(%-3)之-4根+3中，得:

3

—/=G-3)2-4机+3,整理，得：机=工12-卫^+3・

346

(3)①依照题意画出图形，如图1所示.

过点C作CE〃无轴，过点2作BE//y轴交CE于点£

,/直线BC的解析式为y=-^x,：.BE=&CE,

33

由勾股定理得：BC=J22=ACE.

CE+BE3

*：CD=CB,

••<4m+l=|(L3)=|(争樽■+我-3),解彳

当机=-4时，"+4x(-4)=-坨-<0,不合适，

99

此时j=yX6=8.故此时点8的坐标为(6,8).

②作B点关于对称轴的对称点B'，过点尸作于点连接9加、28交抛物线

对称轴于点N,如图2所示.

,/直线BC的解析式为y="|x,FM±BC,

.•.tanNPCM=4'=之，J.sinZFCM^^-^-.

A4FC5

3

\'B.9关于对称轴对称，：.BF=B'F,

：.BF+^-CF=B'F+FM.

5

当点8、F、M三点共线时QF+FM最小.

点坐标为（6,8）,抛物线对称轴为x=3,

点的坐标为（0,8）.

又；B'M_LBC,：.tanZNB'F=^-,

4

：.NF=B'N<anZNB'F=^-,

4

点尸的坐标为（3,空）.故答案为：（3,空）.

44

变式练习>>>

4.如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+l向下平移3个单位长度得到直线小直线A与x

轴交于点C；直线如y=x+2与x轴、y轴交于A、3两点，且与直线（交于点D

（1）填空：点A的坐标为（-2,0）,点B的坐标为（0,2）；

（2）直线Zi的表达式为y=2x-2；

（3）在直线/i上是否存在点E,使SAAOE=2SAAB。？若存在，则求出点E的坐标；若不

存在，请说明理由.

（4）如图2,点尸为线段AD上一点（不含端点），连接CP,一动点X从C出发，沿线

段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒亚个单位的速度运动到

点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标.

【解答】解：（1）直线，2：y=x+2,令y=0,则x=-2,令y=0,则x=2,

故答案为（-2,0）、（0,2）；

（2）y=2x+l向下平移3个单位长度得到直线/i，则直线/i的表达式为：尸2工-2,

故：答案为：y=2x-2；

（3）,**SAABOFyE~^OB=4,

将连=4代入/i的表达式得：4=2x-2,解得：x=3,则点E的坐标为（3,4）；

(4)过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点。作无轴平行线于点X、H',WC交

BD于点P',

/MPD，

直线8y=x+2,则PH=

点H在整个运动过程中所用时间=里+毕=/7/+尸。，

1V2

当C、P、X在一条直线上时，PH+PC最小,即为CW'=6,点尸坐标(1,3),

故：点X在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点尸的坐标(1,3).

例题5.已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(际0),与x轴从左至右依次相交于A、8两点，与

y轴相交于点C,经过点A的直线y=-Mx+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点。的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在(1)的条件下，抛物线上存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三

角形，求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段上的一点(不含端点)，连接8E.一动点。

从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒2叵个

3

单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点。在整个运动过程中所用

时间最少？

【解答】解：(1)'：y=a(x+3)(x-1),

...点A的坐标为(-3,0)、点8两的坐标为

:直线y=--f^x+b经过点A,：.b=-3M,

:'y=-Mx-3炳,当x=2时，y=-5炳,

则点。的坐标为(2,-573)，

图2

:点D在抛物线上，(2+3)(2-1)=-能,解得，a=-M,

则抛物线的解析式为y=-(x+3)(元-1)=-«/-2T\+3厉；__

(2)的坐标为(-3,0),C(0,35)，...直线AC的解析式为：尸正尤+3«,

①:△ACP是以AC为直角边的直角三角形，.AC,

...设直线CP的解析式为：y=-旦+m,

把C(0,3A/3)代入得机=3遂,

3

...直线CP的解析式为：y=-亚_x+3«,

3

5

尸辱x+哂得X二——

3x=0

解(不合题意，舍去)，，尸(-—)

y=W3x2-2V3x+3V3号’L3

32炳、.

9，

②,:△ACP是以AC为直角边的直角三角形,

一畀

：.AP±AC,设直线CP的解析式为：y=

把A(-3,0)代入得“：=-正，

尸-多一近,

...直线AP的解析式为:

厂3XP3得x=-3-卡),

解y二(

y=W3x2-2V3x+3\/3y=0f

综上所述：点尸的坐标为(-丝,丝叵)或悖一卡)；

39

(3)如图2中，作。M〃无轴交抛物线于作OV_Lx轴于N,作于R

贝han/ZMN=^=^5=F，：.ZDAN=60°,：./EDF=60°,

AN5

FF钙一42、_RFDE石DE

：.DE=——”---=±±±EF,：.Q的运动时间/=±i+-T-7=-=BE+-----=BE+EF,

sinZEDF312432

3

.,.当BE和EP共线时，f最小，则此时点E坐标(1,-4、门).

变式练习>>>

5.如图，已知抛物线尸-率+bx+c交x轴于点A(2,0)、8(-8,0),交y轴于点C,

过点A、B、C三点的。〃与y轴的另一个交点为D

(1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；

(2)设P为弧BC上任意一点(不与点2,C重合)，连接AP交y轴于点N,请问：APXN

是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；

(3)延长线段交抛物线于点E,设点厂是线段BE上的任意一点(不含端点)，连接

AF.动点。从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点R再沿线段FB

以每秒逐个单位的速度运动到点8后停止，问当点尸的坐标是多少时，点。在整个运

动过程中所用时间最少？

【解答】解：（1）抛物线解析式为＞=-L（x+8）（X-2）,即y=-Lx2-』x+4;

,442

当x=0时，y=--x2-—x+4=4,则C(0,4)

42

：.BC^4fs，AC=2疾,AB=10,

,：BC2+A(^=AB2,.♦.△ABC为直角三角形，且NACB=90。,

...AB为直径，...圆心M点的坐标为(-3,0)；

(2)以4P为定值.理由如下：如图1,

为直径，/.ZAPB=90°,

•；/APB=NAON,NNAO=NBAP,：.AAPB^AAON.

：.AN：AB^AO：AP,：.AN-AP=AB»AO^20,

所以APXN为定值，定值是20；

（3）,JABLCD,：.OD=OC=A,则。（0,-4）,易得直线8。的解析式为y=-

-4,

过厂点作尸G,无轴于G,如图2,

'：FG//OD,:ABFGs丛BDO,

ABF=FG；即此=世=&疾=掂,

BD0DFG0D4

点Q沿线段FB以每秒加个单位的速度运动到点B所用时间

等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，

当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，

作/EBI=NABE,8/交y轴于/,

作于H,贝!|FH=PG,：.AF+FG^AF+FH,

当点A、F、H共线时，AF+切的值最小，此时如图2,

作。K_LB/,垂足为K,

:BE平分NABI,:.DK=DO=4,设DI=m,

/DIK=ZBIO,：.△IDKSAffiO,

.DI_DK_4_1.-

••----------——,••D12,1n,

BIOB82

222

在RtA08/中，8+(4+m)=(2加),解得力i=4(舍去)，m2=—,/./(O,-上工),

33

设直线BI的解析式为y=kx+n,

-8k+n=0

把8(-8,0),/(0,-四)代入得.

32，解得•.直线由的解析式

313乙

b=~

为TT

•：AH±BI,：.直线AH的解析式可设为y=^x+q,

把A（2,0）代入得W+q=0,解得q=-W,.•.直线A”的解析式为y=_|x-W,

1,

厂方x-4

x-.,：.F(-2,-3),

解方程组《qq，解得

y=-3

即当点尸的坐标是（-2,-3）时，点。在整个运动过程中所用时间最少.

达标检测

悟提升强化落实

1.如图，在平面直角坐标系中，点A（3,B）,点P为x轴上的一个动点，当AP+goP最

［答案］：尸（2,0）

2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=60°,点M为对角线BD（不含点B）上的

一动点，则AM+-BM的最小值为___________.

2

［答案］:273

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,

-73)1c(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶

点的四边形为菱形，求点M的坐标；

(3)若P为y轴上的一个动点，连接尸£),求的最小值.

a-b+c=0

•••抛物线解析式为-零

【解答】解：(1)由题意，c=N^

4a+2b+c=0

X-晶，

•••厂区/-亚的加=1(X-L2-3&,.•.顶点坐标(J_,-&ZI)；

■2222828

(2)设点M的坐标为(［，y).

2

VA(-1,0),B(0,-«),.\AB2=l+3=4.

①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB,

则(2+1)2+^=4,解得y=±Y7,即此时点M的坐标为(!，区)或(工，-YZ)；

222222

②以B为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB,

贝I]（1_）2+（y+V3）2=4,解得y=-«+2/1^.或＞=_炳-2/11.,

222

即此时点M的坐标为（!，-b+逗）或（!，-加-叵）；

2222

③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,此时AM=BM,

则（2+1）2+/=（[）2+（y+近）之，解得尸-近，

226

即此时点〃的坐标为（工，

26__

综上所述，满足条件的点"的坐标为（!，近）或（工，-&或（！，-«+逗）

222222

或（工，-「-炫反）或（!，-1）；

2226

（3）如图，连接AB,作。于H,交。B于P,此;时LpB+P。最小.

理由：VOA=1,OB=M，：.tanZABO=^-=^-

0B3

ZABO=30°,PH=^PB,

2

LPB+PD=PH+PD=DH,

2

.♦.此时工尸B+P。最短（垂线段最短）.

2

在RSAOH中，VZAHD=90°,AD=^~,ZHAD=6Q°,

2

.人抽60。=里：.DH=-3--7-3-,

AD4

3A/3

：.LPB+PD的最小值为

2

4.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路3。的距离为AB的长度，C为公路2。上

的酒店，从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点。，船速为小再乘汽车，车速为船速的“

倍，点。选在何处时，所用时间最短？

【特例分析】若w=2,则时间/=毁+型，当a为定值时，问题转化为：在8C上确定

a2a

一点、D,使得毁+gD的值最小.如图②，过点C做射线CM,使得/BCM=30。.

a2a

（1）过点D作。E_LCM,垂足为E,试说明：。£=空；

2

（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点。.

【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题.（写出具体方

案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）

【综合运用】（4）如图③，抛物线y=一282;^与x轴分别交于A,8两点，与y轴

44

交于点C,E为。3中点，设尸为线段BC上一点（不含端点），连接E?一动点尸从E

出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒§个单位的速

3

度运动到C后停止.若点尸在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点厂的

【解答】解：（1）如图①，：DE_LCM,.../。既:二"。，在RtABCM中，D£=Cr>sin30°

=^CD；

（2）如图①过点A作AELCM交BC于点。，则点。即为所用时间最短的登陆点；

（3）如图②，过点C作射线CM,使得sin/BCM=L,

n

过点A作AE,CM,垂足为后交8C于点。，则点。为为所用时间最短的登陆点；

FFCFR

（4）由题意得：Z=~^4-^=EF+—CF,

115

3

过点C作C。〃无轴交抛物线于点D,过点尸作GFLCZ）交C。于点G,

ZACB=ZDCB=a,sin/48c=%=旦，贝!JEE=±CT,EF+-^CF=EF+FH,

AB555

故当E、F、H三点共线且与CO垂直时，/最小，将点8、C坐标代入一次函数表达式并

解得：

直线BC的表达式为：y=-2x+3,点E是0B中点，其坐标为：（3,0）,

4

即：最小时间为3秒.

5.如图，△ABC是等边二角形.

(1)如图1,AH工BC于H,点尸从A点出发，沿高线A8向下移动，以CP为边在CP

的下方作等边三角形CP。，连接BQ.求NC8Q的度数；

(2)如图2,若点。为△ABC内任意一点，连接。4,DB,DC.证明：以ZM,DB,

DC为边一定能组成一个三角形;

(3)在(1)的条件下，在P点的移动过程中，设尤=AP+2PC,点。的运动路径长度为

»当x取最小值时，写出x,y的关系，并说明理由.

【解答】(1)解：如图1中

「△ABC是等边三角形，AHLBC,

：.ZCAP=^ZBAC^3Q°,CA=CB,ZACB^6Q°,

2

「△PCQ是等边三角形，

；.CP=CQ,ZPCQ^ZACB=6Q°,

：.ZACP^ZBCQ,

：.AACP^ABCQ,

：.ZCBQ=ZCAP=30°.

(2)证明：如图2中，将△AOC绕当A顺时针旋转60。得到△A8Q,连接

AACD^AABQ,

：.AQ=AD,CD=BQ,

'：ZDAQ=60°,

：.^ADQ是等边三角形，

：.AD=DQ,

：.DA,DB,DC为边一定能组成一个三角形(图中AB。。).

(3)如图3中，作于E,C/tLAB于尸交A8于G.

'JPE^^PA,

2

：.PA+2PC^2C—PA+PC)=2(PE+PC),

2

根据垂线段最短可知，当E与歹重合，P与G重合时，

B4+2PC的值最小，最小值为2CF.

由(1)可知△ACPgABCQ,可得B0=B4,

：.PA=BQ=AG=CG=y,FG=^-y,：.x=2(y+Ly),：.y=^x.

6.如图，已知抛物线y=K(尤+2)(x-4)(人为常数，且左>0)与无轴从左至右依次交于A,

8

8两点，与y轴交于点C,经过点8的直线y=-*x+6与抛物线的另一交点为D

(1)若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,尸为顶点的三角形与△ABC相

似，求左的值；

(3)在(1)的条件下，设B为线段2D上一点(不含端点)，连接AR一动点、M从点

A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速

度运动到。后停止，当点歹的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【解答】解：⑴抛物线尸卷(x+2)(%-4),令y=0,解得尤=-2或x=4,

/.A(-2,0),B(4,0).__

•直线y=-经过点8(4,0),-Y3X4+6=0,解得b=&'*,

-333

直线BD解析式为：y=-1x+生巨.当尤=-5时，y=3«,...£)(-5,3近).

33

:点D(-5,3后在抛物线y=K(x+2)(x-4)上，.•.区(-5+2)(-5-4)=3«,

88

.•.左=色巨.；.抛物线的函数表达式为：>=返G+2)(x-4).

99

即y二返/一里...

999

(2)由抛物线解析式，令x=0,得〉=-左，...CCO,-k),OC=k.

因为点尸在第一象限内的抛物线上，所以NA8P为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是4ABCs△APB或小ABC^j\PAB.

①若△ABCsAAPB,则有如答图2-1所示.

设尸(x,y),过点尸作PN_L无轴于点N,则。N=尤，PN=y.

twZBAC—tanAPAB,即：—=~,'.y——x+k.

2x+22

：.P(x,Kx+左)，代入抛物线解析式y=K(x+2)(x-4),

2-8

得工(x+2)(x-4)=—x+k,整理得：x1-6x-16—0,

82

解得：x=8或x=-2(与点A重合，舍去)，AP(8,5k).

/6,解得：

425k2+1005

②若△ABCs△出B,则有NABC=NB48,如答图2-2所示.

设P(x,y),过点P作PN_Lx轴于点N,则ON=x,PN=y.

tanZABC=tanZPAB,即：—=——,

4x+2

：.P(无，Kx+K),代入抛物线解析式y=K(x+2)(x-4),

42-8

得K(x+2)(尤-4)=Kx+K,整理得：X2-4.r-12=0,

842

解得：x=6或x=-2(与点A重合，舍去)，AP(6,2k).

V/\ABC^/\PAB,迪=里.

1/6=116+/,解得左=±«，

APAB764+4k26

'：k>0,

综上所述，k=M^.或k=M.

5

(3)方法一：

如答图3,由(1)知：。(-5,3A/3),

如答图2-2,过点。作。轴于点N,

则。N=3«,ON=5,BN=4+5=9,

..11/。&4=四=^5=返，

BN93

：.ZDBA^3O°.

过点。作。K〃x轴，则/KZ)F=/Z)8A=30。.

过点F作FG1DK于点G,则FG=1DF.

2

由题意，动点”运动的路径为折线AF+DF,运动时间：t^AF+^DF,

2

：.t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为OK与x轴之间的垂线段.

过点A作AHLOK于点X,贝卜最,j、=AH,AH与直线8。的交点，即为所求之厂点.

VA点横坐标为-2,直线BD解析式为：y=-返x+W返，

33

；.y=-返x(-2)+^Z1=2«,：.F(-2,2«).

33

综上所述，当点尸坐标为(-2,273)时，点〃在整个运动过程中用时最少.

方法二：

DK//AB,AH1DK,交直线BD于点R

\'ZDBA=30°,：.ZBDH=3Q°,

FH=DFxsin30°=^-,

2

.•.当且仅当AHLOK时，AP+F”最小，

研

点/在整个运动中用时为：f=.+y=AF+FH-

1

-返X+&Z1,"x=Ax=-2,

IBD-y

33

：.F(-2,2出).

7.已如二次函数y=-/+2x+3的图象和x轴交于点A、8（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C,

（1）如图1,尸是直线8C上方抛物线上一动点（不与8、C重合）过P作P。〃无轴交

直线BC于°,求线段P。

的最大值；

（2）如图2,点G为线段0C上一动点，求BG+gCG的最小值及此时点G的坐标；

5

（3）如图3,在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM,

MN,求AM+MN的最小值.

【解答】解：（1）令y=0,即：-X2+2X+3=0,

解得：x=3或-1,即点A、8的坐标分比为（-1,0）、（3,0）,

令％=0,则y=3,则点。的坐标为（0,3）,

直线5C过点。（0,3）,则直线表达式为：y=kx+3,

将点8坐标代入上式得：0=3%+3,解得：k=-1,

则直线3C的表达式为：y=-x+3,

设点尸的坐标为（m,n）,n=-m2+2m+3,

则点。坐标为（3-m九），

则PQ=m-（3-〃）=-m2+3m,

,・Z=-1V0,则尸。有最大值，

当m=-旦=旦，PQ取得最大值为❷；

2a24

(2)过直线CG作/GC”=a,使CH_LGH,

当sina=‘■时，HG=±GC,

55

则BG+^-CG的最小值即为HG+GB的最小值，

5

当8、H、G三点共线时，HG+GB最小，则/GBO=a,

Vsina=—,贝！Icosa=—,tana=—,

554

OG=OB«tana=3xA=2,即点G（0,空），

444

CG=3-9=3,而BG=E,

444

BG+3CG的最小值为：2L；

55

（3）作点A关于直线8G的对称点4,

过4作轴，交BG于点交x轴于点N,

则此时AM+MN取得最小值，即为A,N的长度，

则：ZGBA=ZAA'N^ZOGB=a,

4V=2ABsinNA8G=2x4xsina=处，

5

AW=A/Acosa=—xA=^_,

5525

即：AM+MN的最小值为生.

25