广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源-2023学年度第二学期教学质量检查高一数学一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.复数(是虚数单位)等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的四则运算法则进行运算即可.【详解】故选:.2.已知向量,,且,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线坐标表示求出,从而求出的坐标,即可求出其模.【详解】因为,,且,所以,解得,所以,所以,所以.故选:C3.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法,用此方法可以快速进行大量重复试验,进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负,若每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数,约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜,由于要比赛3局,所以3个随机数为一组,现产生了20组随机数如下:354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243,则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目,然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有:151,125,112,312,252,114,123,共7种情况,所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为,故选:B4.已知不重合的直线,和不重合的平面,,下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则 D.若,,,则【答案】C【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可.【详解】对于A:若,,则或与相交,故A错误；对于B:若,,,则或与相交(不垂直),故B错误；对于C:若,,且与不重合,所以,故C正确；对于D:若,,,则或或与相交(不垂直),故D错误.故选:C5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中,最能说明平均数大于中位数的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对于单峰频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数大体相等,和中位数相比,平均数总在“长尾巴”那边.【详解】对于图象对称,平均数和中位数相等,中图象尾巴向右拖,中图象尾巴靠左拖,故正确.故选:.6.正方体中,与所成角为的直线是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正方体的几何结构,以及异面直线所成角的定义,逐项判定,即可求解.【详解】如图所示,在正方体中,对于A中,,所以与所成的角,即为与所成的角,在等腰直角中,可得,所以与所成的角为,不符合题意；对于B中,在直角中,可得,不符合题意；对于C中,连接,由正方形,可得,又由正方体中,可得平面,因为平面,所以,又因为且平面,所以平面,因为平面,所以,所以与所成的角为,不符合题意；对于D中,正方体中,连接,可得,所以与所成的角,即为与所成的角,在等边中,可得,即与所成的角为,符合题意.故选:D.7.如图,在平行四边形中,,,,将三角形沿翻折得三角形,使得交于,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件可得≌,则,设,则,然后在中利用余弦定理可求出,从而可得答案.【详解】因为在平行四边形中,,,,所以,,因为将三角形沿翻折得三角形,使得交于,所以,因为,所以≌,所以,设,则,在中由余弦定理得,,解得,即,故选:B8.对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑,使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时,某校设计如下调查方案:调查者在没有旁人的情况下,独自从一个箱子中随机抽一只球,看过颜色后即放回,若抽到白球,则回答问题:抽到红球,则回答问题,且箱子中只有白球和红球．问题:你的生日的月份是否为偶数?(假设生日的月份为偶数的概率为)问题:你是否有在校使用手机?已知该校在一次实际调查中,箱子中放有白球个,红球个,调查结束后共收到张有效答卷,其中有张回答“是”,如果以频率估计概率,估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到)()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出回答问题的学生人数,以及回答问题回答“是”的学生人数,进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.【详解】由题意可知,回答问题的学生人数为,其中回答问题回答“是”的人数为,回答问题的学生人数为,其中回答问题回答“是”的人数为,因此,估计该校学生有在校使用手机的概率是.故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.某学习小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生去参加知识竞赛,则下列说法正确的是()A.事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件B.事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件C.事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件D.事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可.【详解】事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”,该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生,故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件,A正确；事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”,所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件,B错误；事件“恰有2名男生”发生时,事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生,所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件,所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件,C错误；事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”不可能同时发生,故两事件互斥,又它们的和事件为必然事件,所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件,D正确；故选:AD.10.在中,,,,则可能的取值有()A. B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】【分析】根据题意由余弦定理直接列方程求解即可【详解】在中,,,,则由余弦定理得,,整理得,解得或,故选:BD11.已知复平面内复数对应的点为,复数对应的点为,为坐标原点,则下列说法正确的是()A.若与关于实轴对称,则为实数B.若与关于实轴对称,则C.若,则D.若,则:【答案】ABD【解析】【分析】由复数的几何意义和复数的运算可解.【详解】若与关于实轴对称,则复数与虚部互为相反数,设,所以,所以,所以选项A、B正确；若,设,则,,则,所以,可得,而,无法判定,选项C错误；

所以,选项D正确.故选:ABD12.如图,在直三棱柱中,底面为等边三角形,,,分别为,的中点,记过,,三点的平面与的交点为,则下列说法正确的是()A.为的中点B.三棱锥的体积为C.截面的周长为D.截面的面积为24【答案】BCD【解析】【分析】延长交于点,连接,和的交点为,由此判断A,求截面的面积和周长,判断CD,再利用锥体体积公式求三棱锥的体积判断B.详解】延长交于点,因为平面,,所以平面,又平面,所以平面,连接,则直线和的交点为平面和直线的交点,故该点为,因为点为的中点,,所以,又,所以,即,又,所以,又点为线段的中点,所以,因为,所以,A错误；由已知,中,,所以,中,,所以,中,,所以,中,,所以,所以截面的周长为,C正确；连接,中,,所以,因为,,所以为以为底边的等腰三角形,且边上的高为,所以的面积为,因为,,所以为以为底边的等腰三角形,且边上的高为,所以的面积为,所以截面的面积为,D正确；三棱锥的体积,因为,为的中点,所以的面积,所以,B正确；故选:BCD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13.已知与为互斥事件,且,,则________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值.【详解】因为与为互斥事件,则,因此,.故答案为:.14.某射击运动员在射击测试中射靶10次,命中环数分别为:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.【答案】【解析】【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】将命中的环数从小到大排列为:4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,因为,所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数,即.故答案为:15.已知是虚数,是实数,则________．【答案】【解析】【分析】设出后,利用复数四则运算法则,得到,根据是实数,虚部为即可.【详解】依题意,设,则是实数,故,又,所以,故.故答案为:.16.已知正方体的棱长为1,从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥,则这4个点可以是________．(写出一组即可)【答案】或(写出一组即可)【解析】【分析】结合锥体体积公式判断即可.【详解】若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点,再从余下的点中选一个与它们不共面的点,例如选,则由正方体性质可得平面,,,所以三棱锥的体积,不满足要求,若选某一面的一条对角线的端点,再选与其平行的平面中与前一条对角线不平行的对角线的端点,例如,设正方体的体积为,则,则三棱锥的体积,满足要求,同理可得,选也满足要求,故答案为:或(写出一组即可).四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效．17.已知,,分别为三个内角,,的对边,且．(1)求(2)若,的面积为,求的周长．【答案】(1)(2)6【解析】【分析】(1)先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式,化简后再利用余弦定理可求得结果；(2)由三角形的面积可求得,再结合(1)中得到的式子可求出的值,从而可求出三角形的周长.【小问1详解】因为,,(为外接圆的半径),又因为,所以,即,所以,由余弦定理得,因为,所以．【小问2详解】因为,所以,因为,所以,所以,所以的周长为618.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,设事件“第一次的点数大于3”,事件“两次点数之和为奇数”．(1)求事件的概率(2)判断事件与事件是否相互独立,并说明理由．【答案】(1)(2)事件与事件相互独立,理由见解析【解析】【分析】(1)由古典概型模型解此题；(2)根据相互独立事件定义进行判断.【小问1详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,每次有6种等可能的结果,用数字表示第一次骰子出现的点数,数字表示第二次骰子出现的点数,则数组表示这个试验的一个样本点,因此该试验的样本空间,其中共有36个样本点,由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,这个试验是古典概型,因为,其中共有18个样本点,所以.【小问2详解】因为,其中共有18个样本点,所以,因为,其中共有9个样本点,所以,因为,所以事件与事件相互独立19.如图,在矩形中,点是的中点,点是的三等分点,(1)用,表示,；(2)如果,,求的面积．【答案】(1),(2)．【解析】【分析】(1)将,作为基底,利用向量的加减法法则结合点是的中点,点是的三等分点可表示出,；(2)先计算可得,然后分别求出,从而可求出的面积．【小问1详解】因为是的三等分点,所以因为是的中点,所以；【小问2详解】,因为为矩形,所以,又,,所以,即,,同理可得,所以,,即三角形的面积为．20.如图,,都垂直于平面,平面平面,且,为的中点,求证:(1)平面；(2)平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)取的中点,连接,,证得四边形为平行四边形,得到,结合线面平行的判定定理,即可求解；(2)连接,利用面面垂直的性质,证得平面,得到,再由平面,证得,得到,结合线面垂直的判定定理,即可求解.【小问1详解】如图所示,取的中点,连接,,因为为的中点,为的中位线,所以,,又因,都垂直于平面,且,所以,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】连接,因为,为的中点,所以,又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为面,所以,因平面,平面,所以,又因为,所以,因为,且平面,所以平面.21.树人中学男女学生比例约为,某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况(锻炼时间长短(单位:小时),采用样本量比例分配的分层抽样,抽取男生人,女生人进行调查．记男生样本为,,,,样本平均数、方差分别为、；女生样本为,,,,样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.(1)证明:；(2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图,假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布,根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；(3)已知男生样本方差,女生样本方差,请结合(2)问的结果计算总样本方差的估计值.【答案】(1)证明见解析(2)5.2；4.7(3)5.68【解析】【分析】(1)利用平均数和方差计算公式结合完全平方运算化简即可证明；(2)利用平均数计算公式分别计算即可；(3)先求出总样本平均数,根据方差公式结合(1)中结论化简求解即可.【小问1详解】,因为,,所以,则；【小问2详解】因为每个组内的数据均匀分布,所以以各组的区间中点值代表该组的各个值,由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为,由扇形图估计女生样本课外