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PAGE直线与方程一、选择题1.(2024·惠州学考模拟)直线x=1的倾斜角是()A.0 B.45°C.90° D.不存在C[直线x=1与x轴垂直,故倾斜角为90°.]2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m等于()A.2 B.1C.-1 D.-2A[由题意知,tan45°=eq\f(2-3,1-m),得m=2.]3.已知直线kx-y+1-3k=0,当k改变时,全部的直线恒过定点()A.(1,3) B.(-1,-3)C.(3,1) D.(-3,-1)C[直线kx-y+1-3k=0变形为y-1=k(x-3),由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).]4.直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有()A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<0B[∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.]5.直线l的方程x-2y+6=0的斜率和它在x轴与y轴上的截距分别为()A.eq\f(1,2),-6,3 B.eq\f(1,2),6,3C.2,-6,3 D.eq\f(1,2),-6,-3A[直线l的方程x-2y+6=0的斜率为eq\f(1,2);当y=0时直线在x轴上的截距为-6;当x=0时直线在y轴上的截距为3.故选A.]6.直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为()A.1 B.-2C.1或-2 D.-eq\f(2,3)A[∵直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,∴1×2-(1+m)m=0,解得m=1或-2,当m=-2时,两直线重合.故选A.]7.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满意的条件为()A.A≠0 B.B≠0C.A·B≠0 D.A2+B2≠0D[方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.]8.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是()A.[0,10]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(31,3)))C.(0,10)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(10,+∞))A[d=eq\f(|4×4-3a-1|,\r(42+-32))=eq\f(|15-3a|,5)≤3,|3a-15|≤15,∴-15≤3a-15≤15,0≤a≤10.9.直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是()A.(2,0) B.(2,1)C.(0,2) D.(1,2)C[联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y-4=0,,2x-y+2=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=2.))∴直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0,2).]10.若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2的距离为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)B[若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则eq\f(1,2)=eq\f(-2,a)≠eq\f(1,-2),解得a=-4.故l1:x-2y+1=0与l2:x-2y-1=0的距离是d=eq\f(2,\r(1+4))=eq\f(2\r(5),5).]11.经过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程是()A.y+2=eq\r(3)(x-3)B.y-2=eq\f(\r(3),3)(x+3)C.y-2=eq\r(3)(x+3)D.y+2=eq\f(\r(3),3)(x-3)C[直线的斜率k=tan60°=eq\r(3),由点斜式可得直线的方程为y-2=eq\r(3)(x+3),所以选C.]12.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0A[过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为eq\f(1,2),由点斜式求得直线的方程为y-3=eq\f(1,2)(x-2),化简可得x-2y+4=0,故选A.]13.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是()A.1 B.-1C.-2或-1 D.-2或1A[明显a≠0.把直线l:ax+y-2=0化为eq\f(\o(x),\f(2,a))+eq\f(y,2)=1.∵直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,∴eq\f(2,a)=2,解得a=1,故选A.]14.点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10 B.m=3,n=10C.m=-3,n=5 D.m=3,n=5D[∵M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),∴eq\f(4+6,2)=n,eq\f(m-9,2)=-3;∴n=5,m=3,故选D.]15.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)所构成的图形是()A.平行四边形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不对B[kAB=kDC,kAD≠kBC,kAD·kAB=kAD·kDC=-1,故构成的图形为直角梯形.]二、填空题16.已知直线l1:3x-y+2=0,l2:mx-y+1=0.若l1∥l2,则m=.3[∵l1∥l2,∴kl1=kl2,3=m,即m=3.]17.直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线x-y+2=0的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是.x=1[∵直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线x-y+2=0的倾斜角的2倍,直线x-y+2=0的斜率为k=1,倾斜角为45°,∴直线l过点P(1,-1),倾斜角为90°,∴直线l的方程为x=1.]18.若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(31,3)))[由题意知0≤eq\f(|4×4-3a|,\r(42+-32))≤3,解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(31,3),故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(31,3))).]19.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则直线l1与l2之间的距离为.eq\f(\r(10),4)[∵直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,∴-eq\f(2,m)=3,∴m=-eq\f(2,3),故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0.则直线l1与l2之间的距离为eq\f(|3--2|,\r(62+-22))=eq\f(\r(10),4).]三、解答题20.已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l(1)相交;(2)平行;(3)重合.[解]由题意得,l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·3m-m-2·m2=0,,1·2m-m-2·6≠0,,))可得m=-1或m=0;l1与l2相交⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·3m-m-2·m2≠0,,1·2m-m-2·6≠0,))得m≠-1,m≠0,且m≠3;l1与l2重合⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·3m-m-2·m2=0,,1·2m-m-2·6=0,))可得m=3.综上,(1)当m≠-1,m≠0且m≠3时,l1与l2相交;(2)当m=-1或m=0时,l1与l2平行;(3)当m=3时,l1与l2重合.21.当m取何值时,直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3:4[解]设l1与l2的交点为M,则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x-2y+3m3m+1=0,,2x+6y-3m9m+20=0,))解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3m,\f(9m2+18m,2))).设M到l3的距离为d,则d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\
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