安徽省合肥市滨湖寿春中学2023-2024学年高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省合肥市滨湖寿春中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量X=1,考试通过0,考试未通过，则A.13 B.56 C.162.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(

)A. B.

C. D.3.已知直线l经过(−1,0)，(0,1)两点，且与曲线y=f(x)切于点A(2,3)，则lim△x→0f(2+△x)−f(2)△x的值为(

)A.−2

B.−1

C.1

D.24.若(ax−1x)6的展开式的常数项为60，则A.4 B.4或−4 C.2 D.2或−25.某高中期中考试需要考查九个学科(语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理)，已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有(

)A.A88种 B.A22A77种 6.托马斯⋅贝叶斯(Tℎomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)j=1nP(Aj)P(B|Aj)，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中j=1nP(Aj)P(B|AjA.513 B.1675 C.387.若函数f(x)=x−ex+2,x≤013A.(−∞,163) B.(163,+∞)8.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g′(x)=2，f(x)−g′(4−x)=2，若g(x)为偶函数，则f(2022)+g′(2024)=(

)A.0 B.1 C.2 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(

)A.若任意选择三门课程，选法总数为C73

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C21C62

10.下列说法正确的是(

)A.(x2+2x)10的展开式中，常数项是第9项

B.在(x−12x)10的展开式中，含x4的项的系数为C10311.设函数f(x)=xlnx，g(x)=12x2A.若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则k∈(−1e,0)

B.若方程kf(x)=x2恰好只有一个实数根，则k<0

C.若x1>x2>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设(1−2x)8=a0+13.抛掷骰子2次，每次结果用(x1,x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设14.已知函数f(x)=(ex−ax)(lnx−ax)，若f(x)<0恒成立，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x2+x−1ex．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；

16.(本小题15分)

榴莲是一种广泛种植于东南亚的热带水果，富含多种营养成分.榴莲因其独特的香味和口感在世界范围内广受欢迎，被誉为“水果之王”.近年来，我国农业专家攻克了榴莲种植难题，在广东、海南等地开始推广种植榴莲，拓宽了农民的致富之路.海南省三亚市幸福村是榴莲种植村，为提高村民的收入，该村开展了“游果园、吃榴莲”的乡村休闲旅游活动，吸引了大量游客前往.某周日该村的村民采摘了11个榴莲供游客免费品尝，其中6个一级榴莲，5个二级榴莲(一级榴莲的品质胜过二级榴莲)．

(1)若将这11个榴莲分别装在甲、乙两个箱子中，其中甲箱装有4个一级榴莲，2个二级榴莲，乙箱装有2个一级榴莲，3个二级榴莲，先从甲箱中任取1个榴莲放入乙箱，再从乙箱中任取1个榴莲，求从乙箱中取出的恰好是一级榴莲的概率；

(2)现从这11个榴莲中随机选出2个榴莲供上午9点前到达的游客品尝，记其中一级榴莲的个数为X，求X的分布列．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=1+lnxx．

(1)若函数f(x)在区间(a,a+12)上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥18.(本小题17分)

在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．

(1)证明：Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1；

(2)求证：第m斜列中(从右上到左下)的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即C19.(本小题17分)

帕德近似是法国数学家亨利⋅帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：

R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：

f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)

注：f″(x)=[f′(x)]′，f‴(x)=[f″(x)]′，f(4)(x)=[f‴(x)]′，f(5)(x)=[f(4)(x)]′，…

已知函数f(x)=ln(x+1)．

(1)求函数f(x)=参考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.C

6.C

7.B

8.C

9.BD

10.AD

11.ACD

12.1

13.1314.(115.解：(1)函数f(x)=x2+x−1ex定义域为R．

且f′(x)=(x2+x−1)′⋅ex−(x2+x−1)(ex)′(ex)2=(2x+1)⋅ex−(x2+x−1)⋅exe2x

=−x2+x+2ex=−(x+1)(x−2)ex，

∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率k=f′(0)=2，

又f(0)=−1，则切点为(0,−1)，

∴所求切线方程为16.解：(1)根据题意，设从甲箱中取出一级榴莲为事件A，从乙箱中取出一级榴莲为事件B，

则P(A)=46=23，P(A−)=26=13，

P(B|A)=36=12，P(B|A−)=26=13，

X

01

2

P

2

63

17.解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1−1−lnxx2=−lnxx2，令f′(x)=0，得x=1．

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f

(x)单调递增；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f

(x)单调递减．

所以x=1为函数f

(x)的极大值点，且是唯一的极值点，

所以0<a<1<a+12，故12<a<1，即正实数a的取值范围为(12,1).

(2)当x≥1时，k≤(x+1)(1+lnx)x恒成立，

令g(x)=(x+1)(1+lnx)x(x≥1)，

则g′(x)=(1+lnx+1+1x)x−(x+1)(1+lnx)x2=x−lnxx2，.

再令18.解：(1)Cnm+Cnm+1=n!m!(n−m)!+n!(m+1)!(n−m−1)!

=n!(m+1)(m+1)!(n−m)!+n!(n−m)(m+1)!(n−m)!

=n!(m+1+n−m)(m+1)!(n−m)!

=(n+1)!(m+1)![(n+1)−(m+1)]!

=Cn+1m+1．

所以原式成立．

(2)由(1)得Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1

左边=Cmm+Cmm−1+C19.解：(1)由题可知函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似R(x)=a0+a1x1+b1x，

f′(x)=1x+1，f″(x)=−1(x+1)2，

由f(0)=R(0)得a0=0，∴R(x)=a1x1+b1x，

则R′(x)=a1(1+b1x)2，又由f′(0)=R′(0)得a1=1，

∴R″(x)=−2b1(1+b1x)3，

由f″(0)=R″(0)得b1=12，

∴R(x)=x1+12x=2xx+2，

∵ln1.1=f(0.1)≈R(0.1)=2×0.10.1+2=221≈0.095；

(2)(i)证明：令F(x)=2xx+2−ln(x+1)，x∈(−1,0)∪(0,+∞)，

∵F′(x)=4(x+2)2−1x