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II）的极大线性无关组，从而，……，与（II）等价，,……，可由，……，线性表示.由替换定理，nr，将，……，适当交换顺序并重新编号，不妨设仍为，……，，用，,……，替换，……，得到，,……，，，……，与，……，等价，,……，，，……，的秩与，……，的秩相等，同为r.，,……，，，……，线性无关，易知rn.令=（i=n，……，r）有，……，线性无关（2）易知2，…n可由（=2\*ROMANII）线性表示，由（1）知2，…n，i1线性无关。由替换定理，将（=2\*ROMANII）适当交换顺序并重新编号，不妨设为1，…m。用2，…n，i1替换1，…n得到2，…n，i1,n=1,…m记为2，…n，i1,，i2，…im-n+1(=3\*ROMANIII)与（=2\*ROMANII）等价，从而（=3\*ROMANIII）与（=2\*ROMANII）的秩相同，同为m个∴（=3\*ROMANIII）必线性无关。子空间的直和，，V=，则称V为的直和，记为，称的余子空间（1），且，则使（2）若dimV<，，则正交补W是欧氏空间V的非空子集，，，即称与W正交，记，则Th1：若W是V的有限维子空间，则例2：是n维向量空间的非平凡子空间，则存在.使=+;其中是否唯一?证：是的非平凡子空间，0=.设，，…，为的一组基，将，，…，扩充为，，…，…，，使后者为的基，令=（，…，），则=。事实上，，，…，，使=+…+++…+令=+…+，=+…+=+，，。=+，=+…+——…—=0.，，…，线性无关，=…===…==0=0.={0}，=.证明：假设不唯一,有=+=所以所以是的非平凡子空间所以但不属于不属于设为的基，则线性无关令，若则，矛盾所以所以所以可扩充为的一组基，令，{}所以又但不属于所以即不唯一子空间例1设是维欧氏空间的非空子集，证明：（1）（⊥）⊥=是的子空间证明：必要性：，,,⊥,<>=<，>+<,>=0（⊥）⊥=且充分性：,⊥<,>=0,⊥（⊥）⊥（⊥）⊥是U的有限维子空间U=⊥（⊥）⊥≤U,=1+2,其中1,2⊥0=<,2>=<1+2,2>=<1,2>+<2,2>=<2,2>2=0=1（⊥）⊥（⊥）⊥=例1.，，按通常的矩阵加法和数与矩阵乘法作成R上的向量空间。求dim.解：令，，，，，，使，即,,,.故线性无关，为的基，dim=6.设是R上的阶实方阵的全体构成的向量空间，，令。证明：可作为上的内积。找出上的标准正交基。证明：（1）,，要使得成立当且仅当当且仅当A=0（1）得证（2）令为第列的元素为1，其余元素为0的阶方阵。两两正交且长度为1又可由线性表示为的标准正交基。设V是定义在R上的函数的全体构成的向量空间,令,.证明:,,且.证:∵0∈,0∈,∴≠,≠令则＝=∈.同理可证,.,令,,,.且∩即∩=﹛

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