《应用统计学》第六章

第六章假设检验引导案例

哪种减肥药的效果更好？某制药厂为分析该厂生产的甲、乙两种减肥药的使用效果，将20个减肥志愿者分成两组，每组10人，两组志愿者分别服用甲、乙两种减肥药，为期三个月，测得试验结果如表6-1所示。经计算发现，服用甲减肥药的志愿者平均体重减少6.3斤，而服用乙减肥药的志愿者平均体重减少6.4斤，但这并不能推断乙减肥药的效果更好。要想检验哪种减肥药的效果更好，可以采用两个总体均值之差的假设检验。通过检验发现，两种减肥药的效果其实并没有显著差异。第一节假设检验的基本问题第三节两个总体参数的检验第二节一个总体参数的检验第一节假设检验的基本问题第三节两个总体参数的检验第二节一个总体参数的检验一、假设检验的原理参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们都是利用样本数据对总体进行某种推断，但是推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计前是未知的；而假设检验则是对总体的概率分布或总体参数的值作出某种假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。二、假设检验的流程根据实际问题提出原假设和备择假设（一）原假设是待检验的假设，又称“0假设”，总是包含等号，可以是等式，也可以是不等式，用表示。在例6-1中，原假设采用等式的方式，即（分钟）备择假设是与原假设对立的假设，也称“研究假设”，总是包含不等号，用表示。在例6-1中，备择假设的表达式为：（分钟）在提出原假设和备择假设时，还需要注意单双侧问题，如例6-1就属于双侧检验。在双侧检验中，只要或二者之中有一个成立，就可以拒绝原假设。在某些场合，我们关心的假设问题是带有方向性的，有两种情况：一种是所考察的数值越大越好，如灯泡的使用寿命、轮胎行驶里程数等；另一种是数值越小越好，如废品率、生产成本等。根据人们的关注点不同，单侧检验中可以有不同的方向。选取适当的显著性水平a（二）在假设检验中，显著性水平是指当原假设为真时，人们犯弃真错误的概率或风险。犯这种错误的概率用表示，统计学上把称为假设检验中的显著性水平，也就是决策中所面临的风险。通常取较小的值，如0.01、0.05或0.10，这意味着，当作出不拒绝原假设的决策时，其正确的可能性为99%、95%或90%。选取适当的检验统计量（三）如同参数估计一样，假设检验也要借助于样本统计量进行统计推断。用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。在具体问题中，选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计中相同。例如，用于检验的样本是大样本还是小样本，总体方差是已知还是未知等。例6-1为大样本，总体方差未知，选取的检验统计量是z。确定此检验的拒绝域（四）根据给定的显著性水平，由相关的概率分布表，查得临界值，从而确定的拒绝域。临界值就是拒绝域和不拒绝域的分界点。在双侧检验中，拒绝域在两侧，故临界值为或，如图6-1所示；在左单侧检验中，拒绝域在左侧，临界值为或，如图6-2所示；在右单侧检验中，拒绝域在右侧，临界值为或，如图6-3所示。例6-1为双侧检验，临界值为。根据样本数据计算检验统计量的值（五）在提出原假设和备择假设，选取适当显著性水平和检验统计量以后，接下来就要根据样本观测值计算检验统计量的值，具体计算方法将在本章第二节进行详细介绍。例如，例6-1中检验统计量的值为：作出决策（六）我们可以对临界值和检验统计量的值进行比较来作出决策。若检验统计量的值落入拒绝域，就拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。例如，例6-1中检验统计量的值大于临界值1.96，故拒绝原假设，即有证据表明航空公司销售一张机票的平均时间不是2分钟。我们还可以利用P值进行决策。P值是当原假设为真时，所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。如果P值很小，说明这种情况发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设。P值越小，我们拒绝原假设的理由就越充分。用P值进行决策时，不论单双侧检验，若，则不拒绝；若，则拒绝。P值是通过Excel函数计算得到的。例如，例6-1中，使用“NORMSDIST”函数，输入2.67，得到的函数值为0.996263。这意味着在标准正态分布条件下，z值2.67左边的面积为0.996263，因为是双侧检验，P值为曲线上方绝对值大于等于检验统计量绝对值部分的面积，如图6-4所示。故最后的P值为：

P值远远小于a，故拒绝原假设，得到与前面相同的结论。第一节假设检验的基本问题第三节两个总体参数的检验第二节一个总体参数的检验一、总体均值的检验使用统计量进行检验（一）样本量大小是选择检验统计量的一个要素。在大样本量的条件下，如果总体为正态分布，样本统计量服从正态分布；如果总体为非正态分布，样本统计量渐近服从正态分布。所以在这种情况下，我们可以把样本统计量视为正态分布，这时可以使用z统计量。在小样本条件下，要求总体服从正态分布，且总体标准差已知时，可以使用z统计量。当总体标准差已知时，z统计量的计算公式为：

（6-1）实践中，在大样本情况下，当总体标准差未知时，可以用样本标准差S代替，z统计量的计算公式为：

（6-2）使用t统计量进行检验（二）在样本量较小的情况下，要求总体服从正态分布，如果总体标准差未知，进行检验所依赖的信息有所减少，这时只能使用样本标准差，样本统计量服从t分布，应采用t统计量。与正态分布相比，t分布更加扁平，在相同概率条件下，意味着推断的精度下降，这是总体标准差未知所要付出的代价。t统计量的计算公式为：

（6-3）综上所述，不同情况下总体均值的检验统计量如表6-3所示。二、总体比例的检验在实际应用中，常常需要检验总体比例是否为某个假设值。例如，检验某课程的考试通过率、产品的合格率、种子的发芽率等，民意调查中也经常用到总体比例检验。进行总体比例检验时，提出的原假设表达式为，其中，“=”也可以替换为“”或“”。一般而言，在总体比例的检验中，通常采用z统计量。有关比例问题的调查往往都使用大样本，而小样本的结果是极不稳定的，故总体比例服从二项分布，当样本量足够大时，z统计量的计算公式为：

（6-4）三、总体方差的检验在假设检验中，有时不仅需要检验正态总体的均值、比例，还需要检验正态总体的方差。例如，检验产品性能的稳定性、评估投资风险时，就需要对方差进行检验。总体服从正态分布时，对总体方差进行检验使用统计量，统计量的计算公式为：

（6-5）第一节假设检验的基本问题第三节两个总体参数的检验第二节一个总体参数的检验一、两个总体均值之差的检验当两个总体的方差、已知，且两个总体均服从正态分布时，不论样本量大小，都可以认为由两个独立样本算出的的抽样分布服从正态分布，标准差为：

（6-6）此时，作为检验统计量的z的计算公式为：

（6-7）两个总体均值之差的检验：独立样本（一）使用统计量进行检验1式中，为总体1的均值，为总体2的均值。但两个总体的方差、未知时，在大样本量的情况下，可以用样本的方差、来代替总体的方差、。此时，作为检验统计量的z的计算公式变为：

（6-8）当两个样本都是独立小样本时，我们需要假定两个总体都服从正态分布，当两个总体的方差、未知时，有以下两种情况：（1）当两个总体的方差、未知，但知道。这个条件的成立，往往是从已有的大量经验中得到的，或者事先进行了关于两个方差相等的检验，并得到肯定的结论。这时，的估计为：

（6-9）式中，（6-10）使用t统计量进行检验2于是，检验统计量t的计算公式为：

（6-11）t的自由度为。（2）当两个总体的方差、未知，且没有理由判定与相等时，即认为。此时，的估计为：

（6-12）但此时的抽样分布已不服从自由度为的t分布，而是近似服从自由度为v的t分布，v的计算公式为：

（6-13）这时，检验统计量t的计算公式为：

（6-14）使用匹配样本进行检验时，在大样本的条件下，使用z统计量进行检验，其计算公式为：

（6-15）式中，表示两个匹配样本对应数据差值的均值；表示假定的差值；表示各差值的标准差。在小样本情况下，假定两个总体各观测值的配对差服从正态分布，使用t统计量进行检验，其计算公式为：

（6-16）两个总体均值之差的检验：匹配样本（二）综上所述，不同情况下两个总体均值之差的检验统计量如表6-11所示。二、两个总体比例之差的检验设两个总体服从二项分布，这两个总体中具有某种特征单位数的比例分别为和，但和未知，可以用样本比例和代替。提出的原假设表达式为