27-第二章习题课下(概率统计)

第二章随机变量及其分布习题课二（下）习题课二分为上、下两部分.

在下部分中,在“例题分类解析”部分，讲解了：3.连续型随机变量概率密度及其分布问题；4.关于正态分布的应用问题；5.随机变量的分布函数问题；6.随机变量函数的概率分布问题.三、学习与研究方法.

在上部分中,我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评.在“例题分类解析”部分，讲解了：1.离散型随机变量的分布律的计算问题；2.根据概率分布求解概率的问题.习题课二（下）内容简介：

3.连续型随机变量概率密度及其分布问题例8确定常数c,使如下函数

成为某个随机变量的概率密度.本题涉及到连续型随机变量的概率密度的性质——非负性和归一性.逻辑上是应用定理:如果某函数满足非负性和归一性,那么它可以作为某个随机变量的概率密度.分析解

令得到c=1.

显然,非负性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))满足.

所以,函数g(x)在c=1条件下可以作为某个随机变量的概率密度.讲解度,用性质f(x)≥0(x∈(-∞,+∞))和若f(x)为连续型随机变量X的概率密

可确定连续型随机变量X的概率密度f(x)中的待定参数.这是求连续型随机变量X的概率密度f(x)中未知参数的基本方法.需要注意本题的要求和逻辑关系.利用概率密度的性质求连续型随机变量X的概率密度f(x)中的未知参数是连续型随机变量X的概率计算中的重要问题,也是我们经常考查的重点之一.这是因为,在实际问题中,我们往往是先知道随机变量的分布类型,而分布类型中的参数需要我们利用概率密度的性质来确定.扩展确定了参数,我们就完全掌握了这个概率分布;进而我们可以利用这个概率分布计算概率、分析性质、预测与控制未来发展趋势等因此，在概率统计应用分析中，经常要求我们求解未知参数，其原因就在于此.

本题涉及到利用判别式Δ=b2-4ac,求含Y的不等式；涉及已知分布求概率的问题.利用均匀分布的概率密度即可解决.

例9

设随机变量Y服从均匀分布U(-5,5),求关于x的方程的概率.有实根分析解

Y的概率密度方程有实根的充要条件是

Y≥4或Y≤-1.解得于是有{方程有实根}={Y≥4}∪{Y≤-1},故方程有实根的概率为P{Y≥4}+P{Y≤-1}

求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式:讲评(1)(注意:“<”换成“≤”,公式仍成立);

(2)P{X=a}=0.

在题设条件方面,如果换成离散型随机变量的分布律同样可以求方程有实根的概率;也可以改变结论：求方程没有实根的概率.扩展4.关于正态分布的应用问题例10

用正态分布估计高考录取最低分.某市有9万名高中毕业生参加高考,招生计划有5.4万名被各类高校录取.已知满分为600分,540分以上者有2025人,360分以下者有13500人.试估计高考录取最低分.

考生的高考成绩为随机变量X,它一般会受先天遗传、后天努力、心理素质、考试期间身体状态、求学期间班级学风等诸多随机因素的影响,而各因素的影响又是有限的,但正负影响会相互抵消,故可以认为X服从正态分布.分析解

设学生高考成绩,由题设有P{X≤540}=1-P{X>540}=1-

=0.9775.得到

P{X≤540}=又由于

P{X<360}=于是反查正态分布表,得解上述方程组,得

μ≈421,≈58,所以N(421.).已知录取率

.设录取最低分为a,则0.6=P{X≥a}=1-P{X<a}=1本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一.讲评所以该次高考最低录取分为406分.反查正态分布表,得到

=0.253,得a≈406.由于μ,

两步:未知,故解决问题可分如下(1)由题给的高考结果的两个信息,建立关于未知参数μ,

的两个方程,并解之;(2)通过已公布的录取率,求得最低分值.

关于μ，σ2的数学意义和实际意义在以后第四章讲述.扩展

本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题,用公式≤

F(x)=

去解决.例11

设随机变量X的概率密度为求:(1)X的分布函数;

(2)分析5.随机变量的分布函数计算问题解

(1)由分布函数的定义知当x<0时,当0≤x<1时,当1≤x<2时,当x≥2时,所以,X的分布函数为(2)由分布函数性质可知讲评容易出错的是：当1≤x<2时,当x≥2时,

连续型随机变量X的概率计算方法有两种:一是可以通过X的分布函数来计算,如本题;二是也可以利用概率密度来计算积分:扩展=0.935.

由概率密度f(x)求分布函数F(x)是概率论中最基本的要求,应熟练掌握.6.随机变量函数的分布问题X-3-1013P0.050.200.150.350.25例12

设随机变量X的分布律为求:(1)Y

=

5-2X的分布律;的分布律.(2)

本题是离散型随机变量函数的分布律问题,可用下面公式分析其中解(1)X为五点分布,y=5-2x为单调函数.故不等时yi也不等,从而Y的分布律为Y-115711P0.250.350.150.200.05Z1210P0.150.550.30

以Z=10为例,计算如下：P{Z=10}=P{X2+1=10}=P({X=-3}∪{X=3})=P{X=-3}

+P{X=3}=0.05+0.25=0.30.(2)由于z=x2+1为偶函数而非单调,通过

点分布,而是如下的三点分布:,Z的可能取值为1,

2,

10.关系故Z不再是五

由上题可看出,离散型随机变量函数Y=g(X)的概率分布分为两种情形:(1)函数g(x)是单调函数时,g(xi)(i=1,2,…)的值全不相等,将函数值g(xi)与X=xi时的概率pi对应即可,如本例(1);(2)函数g(x)

不是单调函数时,

g(xi)(i=1,2,…)的值有相等的,需要把那些相等的函数值对应的概率pi加在一起,如本例(2).讲评

一般地,若离散型随机变量X的分布律为扩展Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…则随机变量函数Y=g(X)的分布律为Yg(x1)g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk…如果g(xk),k=1,2,…中有相同的值,则把对应的概率相加.本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题,有两种方法:分布函数法和公式法.分析

例13

设随机变量概率密度fY(y).求Y的解方法1(分布函数法)由题设得到X的分布函数故Y的分布函数为≤y}

=

FY(y)=P{Y≤y}=P{

所以FY(y)=

对y求导,Y的概率密度为fY(y)=方法2(公式法)X的概率密度为时,

当,反函数严格单调且有连续导数由定理得Y的概率密度fY(y)=即fY(y)=

已知连续型随机变量X的概率密度为fX(x),随机变量Y是X的函数Y=g(X),求Y的概率密度的方法通常有如下两种:讲评

分布函数法:先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=

再对上式两边求导得fY(y)=.

公式法:

在使反函数无意义的点y处,定义fY(y)=0.其中g(X)

严格单调,其反函数

有连续导数

利用随机变量函数的分布函数或概率密度,可以继续要求计算概率P{1<Y≤e}.

扩展

例14

设随机变量X服从参数为2的指数分布,求Y=g(X)的分布函数,其中当y≥1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{S}=1;

本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题.分析解

}=0;当y<0时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{由题设X的分布函数为当0≤y<1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=

P{X≤y}=

FX(y)=所以Y=g(X)的分布函数

分布函数法具有普遍性,公式法要求函数单调，反函数导数连续，对于分段函数难于利用.讲评

(1)可以要求计算概率密度.

(2)本题的结果显示:尽管连续型随机变量X的分布函数连续(本题X服从指数分布),尽管X的函数Y=g(X)也连续,但仍不能保证Y=g(X)的分布函数FY(y)连续.图2-1说明了这个问题.扩展图2-1例17随机变量函数的分布关系(3)此题重点解决分段函数Y=g(X)的分布函数计算问题.通过对FY(y)求导,立即得到概率密度fY(y).

(1)事件数量化

引入随机变量,将试验结果以及随机事件数量化,从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题.

(2)综合交叉分析

存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量.三、学习与研究方法

(3)改变定义或定理条件如果改变分布函数F(x)=P{X≤x}的定义,例如,定义随