统计学原理第6章：假设检验

第六章

假设检验《统计学原理》（第3版）第六章

假设检验第一节

假设检验的基本原理第二节

单总体参数的假设检验学习目标第三节

两总体参数的假设检验

假设检验的相关概念和基本步骤

学习要点第一节

假设检验的基本原理

1.假设检验的基本思想2.假设检验的步骤3.假设检验的两类错误

4.假设检验与参数估计的关系1.假设检验的基本思想假设就是对总体参数所提出的陈述。参数假设检验非参数假设检验（1）假设检验的概念（2）假设检验的核心问题是如何利用样本信息进行推断或检验，基本依据是概率原理，小概率原理即为小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的，如果小概率事件在一次实验中便发生了，则我们有理由拒绝所做的假设。（3）假设检验又被称为显著性检验。步骤：提出假设，包括原假设和备择假设；构造合适的检验统计量及其分布；对于给定的的显著性水平，确定拒绝域和临界值；根据样本数据计算检验统计量的数值并作出决策。2.假设检验的步骤原假设和备择假设设立原则（1）原假设与备择假设原假设也称为零假设。原假设与备择假设互斥，不拒绝原假设意味着放弃备择假设，拒绝原假设意味着接受备择假设。原假设一般为原有的、传统的观点或结论，而备择假设则为新的、可能的、猜测的新命题2.假设检验的步骤假设检验的分类双侧检验和单侧检验2.假设检验的步骤分析：质检人员想要搜集证据支持“机器生产不正常”的假设，故，予以否定的命题予以支持的命题例6-12.假设检验的步骤予以否定的命题予以支持的命题例6-2分析：产品的使用寿命没有超过5000小时是原来的情况，在没有充分事实证明前不应该轻易否定，故，2.假设检验的步骤予以否定的命题予以支持的命题例6-3分析：以前的产品废品率在1%以上，改进生产工艺可以使产品废品率下降是需要支持的命题，故，2.假设检验的步骤

（2）检验统计量检验统计量需要满足以下两个条件一是检验统计量中必须含有要检验的总体参数二是检验统计量的概率分布必须是明确可知的

标准化检验统计量2.假设检验的步骤样本均值与样本比例服从正态分布，其期望等于总体的参数值，方差等于总体方差的1/n～～N标准化后的样本统计量服从标准正态分布记服从标准正态分布的检验统计量为Z.2.假设检验的步骤

（3）给定显著性水平事先确定的能够承受的一次实验即发生的最大概率值，记为

显著性水平的大小没有统一规定研究的问题越重要、对结论的准确性要求越高，则显著性水平越小。

2.假设检验的步骤（4）确定检验规则，进行统计决策临界值规则双侧检验：检验统计量的值>右侧统计量的值，或检验统计量的值<左侧临界值，拒绝原假设；左侧检验:检验统计量的值<左侧临界值，拒绝原假设。右侧检验:检验统计量的值>右侧临界值，拒绝原假设。临界值规则是根据检验统计量的取值与给定显著性水平下的临界值进行对比进行统计决策的方法。2.假设检验的步骤还可表示为：2.假设检验的步骤P值规则P值是一个概率值，其大小等于根据样本数据计算得到的检验统计量取值两边（双侧检验）或一边（单侧检验）的面积，也被称为观察到的显著性水平当P<α时，则认为小概率事件发生，拒绝原假设；当P>α时，不拒绝原假设。2.假设检验的步骤（1）两类错误的含义3.假设检验的两类错误决策结论实际情况H0为真H0为假不拒绝H0正确决策（概率为）第Ⅱ类错误（取伪错误）（概率为）拒绝H0第Ⅰ类错误（弃真错误）（概率为）正确决策（概率为）决策结论实际情况H0为真H0为假不拒绝H0正确决策（概率为）第Ⅱ类错误（取伪错误）（概率为）拒绝H0第Ⅰ类错误（弃真错误）（概率为）正确决策（概率为）影响因数

（2）两类错误的影响因素与关系第Ⅰ类错误：显著性水平α；α越高则犯第Ⅰ类错误的概率越大。第Ⅱ类错误：显著性水平α、总体方差和样本容量n；显著性水平α越小、总体方差越大、样本容量n越小，犯第Ⅱ类错误的概率越大。关系在其他条件不变的条件下，两类错误存在此消彼长的关系，即减小α必然导致β增大，反之，减小β必然导致α增大。3.假设检验的两类错误在实际应用中，主要考虑犯第Ⅰ类错误的成本高低，如果犯第Ⅰ类错误的成本较高，α会取一个比较小的值，如果犯第Ⅰ类错误成本不是太高，通常α会取一个比较大的值。控制犯第Ⅰ类错误概率的假设检验也被称为显著性检验。3.假设检验的两类错误

在获得样本均值与给定置信水平1-α的条件下，可计算得到总体参数的置信区间，该置信区间可表述为[，]；假设检验需要首先对总体参数提出假设，比如，原假设为，假设检验的显著性水平亦为α；如果原假设中的被包含在第一步重计算得到的置信区间[，]之中，则应不拒绝原假设，反之，应拒绝原假设。联系——均以抽样分布理论为理论依据4.假设检验与参数估计的关系区别参数估计时总体参数在估计之前是未知的，假设检验则需要先对总体参数的取值提出原假设；参数估计得到的置信区间是以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也有单侧检验参数估计立足于大概率，即置信水平取值比较大，置信区间应该有相当大的把握包含未知参数的真值，而假设检验立足于小概率，即显著性水平取值比较小，只有当有相当充分的理由时才拒绝原假设中假定的总体参数真值；参数估计得到的置信区间要比假设检验提供的信息多。4.假设检验与参数估计的关系【例】为了对全校学生（总体）的平均每天上网时间（参数）进行推断，抽取一个样本容量为100的样本并对其询问每天上网时间，计算得到该样本的平均上网时间为3小时/天，给定显著性水平为0.05，已知该校学生每天上网时间的标准差为5小时/天。（1）对该校学生平均每天上网时间进行区间估计；（2）有人根据经验提出该校学生平均每天上网时间为：4小时/天的原假设，试对该假设进行检验；（3）说明参数估计与假设检验的关系。4.假设检验与参数估计的关系解析：（1）针对上述已知条件进行参数估计，可得该校所有学生平均每天上网时间的置信区间为：[]，即[2.02，3.98]小时/天；（2）由已知条件可知，检验统计量，显著性水平为0.05时，标准正态分布的临界值为1.96，因此,应拒绝原假设，即该校学生平均每天上网时间不等于4小时/天；（3）根据参数估计结果进行假设检验。因为原假设4小时/天没有被包含在置信区间[2.02，3.98]之内，因此应拒绝原假设。但根据假设检验的思想对原假设做出拒绝决策之后，是给不出总体参数置信区间的。这一结论说明了参数估计给出的信息更全面，根据参数估计可以进行假设检验，但反之不成立。4.假设检验与参数估计的关系

学习要点第二节

单总体参数的假设检验

1.总体均值的假设检验2.总体比例的假设检验3.Excel操作

第六章假设检验1.总体均值的假设检验考虑样本样本大小（当n≥30时，则为大样本）

总体是否符合正态分布方差已知Z统计量方差未知t统计量总体服从和总体方差大样本Z统计量服从正态分布小样本总体方差（1）大样本条件下总体均值的假设检验总体方差已知，检验统计量Z的表达式为：式中，σ为总体标准差，为抽样标准差，为假设的总体均值。

1.总体均值的假设检验总体方差未知，采用样本方差进行替代，检验统计量Z的表达式为：此时，Z统计量仍服从标准正态分布。1.总体均值的假设检验条件原假设与备择假设检验统计量及其分布拒绝域

大样本（n>30）σ2已知或未知已知

未知检验规则：1.总体均值的假设检验（已知μ0=95度，=

98度，s=8度，n=

40，α=0.05）例6-6大样本、σ未知设立原假设与备择假设分别为：H0：μ=95；H1：μ≠95检验统计量为：临界值规则决策：=

1.96<3.79，即检验统计量落入拒绝域之中，拒绝原假设。P值规则决策：此时得到双尾检验概率P值为0.00015（），小于显著性水平0.05，拒绝原假设。因此，认为制造商的说法不正确。1.总体均值的假设检验例6-7大样本、σ已知设立原假设和备择假设分别为：H0：μ≥700；H1：μ<700检验统计量为：由显著性水平α=0.05查正态分布概率表得=

1.645，因为Z=－2<，因此拒绝原假设。所以认为该元件平均使用寿命低于700小时，该批元件不符合要求。1.总体均值的假设检验（2）小样本条件下总体均值的假设检验正态总体，总体方差σ2已知检验统计量Z的表达式：正态总体，总体方差σ2未知样本均值不再服从标准正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布：检验统计量t的表达式为：1.总体均值的假设检验条件原假设与备择假设检验统计量及其分布拒绝域

小样本（n<30）σ2已知

小样本（n<30）σ2未知

检验规则：1.总体均值的假设检验例6-9小样本，总体方差未知

设立原假设和备择假设分别为：H0：μ=5600；H1：μ≠5600检验统计量为：由显著性水平0.05查t概率分布表得临界值，检验统计量的值2.26落入拒绝域内，拒绝原假设；检验统计量的P值为0.033174，小于α，拒绝原假设。因此说纽约钻石平均价格与5600美元有显著差异。1.总体均值的假设检验2.总体比例的假设检验大样本（np≥5，n(1-p)≥5）条件下，样本比例p的近似服从正态分布此时（总体比例π）：E(p)=π检验统计量是在总体方差已知的条件下，计算的是Z统计量，此时，统计量Z服从标准正态分布。其表达式（π0为总体比例π的假设值）：小样本情况下，比例的结果是极不稳定的，因此在总体比例的推断中通常采用大样本。统计量Z服从标准正态分布条件原假设与备择假设检验统计量及其分布拒绝域

大样本（np≥5，n(1-p)≥5）

检验规则：2.总体比例的假设检验例6-10设立原假设和备择假设分别为：H0：π=64%；H1：π≠64%检验统计量为：np=100×52%=52，n(1-p)=100×48%=48，符合大样本的条件检验统计量采用Z统计量由显著性水平0.05查表得临界值=

1.96，检验统计量值2.5落入拒绝与中，因此应拒绝原假设；检验统计量值2.5的双尾检验概率P值为0.01242，小于0.05，应拒绝原假设。因此《消费者导报》声称的“认为超市品牌的质量可以与国内名牌相媲美的顾客比例为64%”的说法不可信。

第六章假设检验2.总体比例的假设检验

Excel操作运用函数NORMSDIST计算Z检验的P值运用函数TDIST计算t检验的P值3.Excel操作

第六章假设检验

第六章假设检验第三节两总体参数的假设检验

学习要点

1.两独立样本均值的抽样分布

2.两独立总体均值之差的假设检验1.两独立样本均值的抽样分布两独立样本均值之差的抽样分布（1）正态总体，总体方差已知两个正态总体和中分别独立地抽取容量为n1和n2的样本,x1、x2分别为其样本均值，均值：方差：则x1-x2也服从正态分布，那么（2）大样本，总体方差已知均值：方差：n1和n2为大样本时（n>30），则x1-x2的抽样分布不管总体分布如何均可用正态分布来近似,那么：1.两独立样本均值的抽样分布（3）大样本，总体方差未知均值：方差：需要计算出样本的方差和,那么

第六章假设检验1.两独立样本均值的抽样分布2.两独立总体均值之差的假设检验（1）正态总体，总体方差已知当两个正态总体的方差和已知时，无论样本量大小，两独立样本均值之差的抽样分布都近似服从正态分布。因此两独立总体均值之差的检验统计量Z为：μ1为总体1的假设均值，μ2为总体2的假设均值检验统计量Z服从标准正态分布。当两个正态总体的方差和