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文档简介
初中数学学习(北师大板)
初中数学学习经典
一、实数
1.1有理数
1.1.1有理数的定义:整数和分数的统称。
1.1.2有理数的分类:
(1)分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数;分数分为正分数和负分数。
(2)分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数;负有理数分为
负整数和负分数。
1.1.3数轴
LL3.1数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
1.132数轴的三要素:①原点②正方向③单位长度
1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示
1.1.4相反数
1.141相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数(注:0的相反数为0
1.142相反数的意义:离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数
1.1.4.3相反数的判别
(1)若,则、互为相反数
(2)若两个数的绝对值相等,且符号相反,则这两个数互为相反数。
1.1.5倒数
1.151倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数。(若ab=l,则a、
b互为倒数)注:零没有倒数。
1.1.6绝对值
1.161绝对值的定义:在数轴上,表示一个数到原点的距离(a的绝对值记作|a|)
L1.6.2绝对值的性质:|aI20
1.1.7有理数大小的比较
1.1.7.1正数大于0,负数小于0
1.1.7.2正数大于负数
1.1.7.3两个正数,绝对值大的这个数就大,绝对值小的这个数就小;两个负数,绝对值
大的这个数就小,绝对值小的这个数就大。
L1.7.4作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;
若小于0,则减数大。
LL7.5作商法:两个有理数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于
1,则两个数相等;若小于1,则除数大。
1.1.8有理数的加法
LL8.1运算法则:①符号相同的两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加②绝对值
不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互
为相反数的两个数相加等于0)③任何有理数加0仍等于这个数。
L1.8.2加法交换律在有理数加法中仍然适用,即:a+b=b+a
1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用,即:a+(b+c)=(a+b)+c
1.1.9有理数的减法
1.1.9.1运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数
1.1.9.2有理数减法一转化一有理数加法
1.1.10有理数的乘法
1.1.10.1运算法则:①两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(口诀:正
正得正,负负得正,正负的负,负正的负)②任何有理数乘0仍等于0③多个不等于。的有
理数相乘时,积的符号由负因式的个数决定:当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶
数个时,积为正。
1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用,即
L1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.11有理数的除法
i.i.n.i运算法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数(除数不能为o,否则无意义)
1.1.11.2有理数除法一转化一有理数乘法
1.1.12有理数的乘方
1.1.12.1有理数乘方的意义:求相同因数积的运算叫做乘方
1.1.12.2有理数乘方的表示方法:个相同因数相乘表示为,其中称为底数,称为指
数,而乘方的结果叫做事,读作“的次方”或“的次幕"(当=2时,读作的平方,简
称方)
1.1.12.3运算规律:①正数的任何次事都为正数②负数的奇次塞是负数,负数的偶次幕
是正数③0的任何次塞都等于0(0次塞除外)④任何数的零次塞都等于1(0次塞除外)
1.1.13有理数的混合运算
1.1.13.1运算顺序:①先算乘方(即:三级运算),再算乘除(即:二级运算),最后算
加减(即:一级运算)②如果是同级运算,则按从左到右的运算顺序计算③如果有括号,先
算小括号,再算中括号,最后算大括号。
1.1.14科学记数法
1.1.14.1科学记数法的定义:把一个大于10的有理数记成的形式(其中1WW10)叫
做科学记数法。
1.1.15近似数
1.1.15.1近似数的定义:接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近
似值。
1.1.15.2求近似值的方法:①四舍五入法②收尾法(进一法)③去尾法。
1.1.15.3有效数字的定义:一个近似数精确到哪一位,从左起第一个不是0的数字起,
到这一位数字上的所有数字(包括其中的0)叫做这个近似值的有效数字。
1.2实数
1.2.1平方根
121.1平方根的定义:如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根(或二次方根),
即,我们就说是的平方根。
121.2平方根的表示方法:如果(>0),则的平方根记作,””读作“正负根号”,
其中读作“二次根号”,2叫做根指数,叫做被开方数。
L2.1.3平方根的性质:一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数;0的平方
根只有一个,就是0;负数没有平方根。
1.2.1.4开平方的定义:求一个数的平方根的运算就叫做开平方(开平方和平方互为逆运
算)。
1.2.2算术平方根
122.1算术平方根的定义:正数有两个平方根,其中正数a的正的平方根叫做的算术
平方根,记作,读作“根号
1.222算术平方根的性质:①具有双重非负性,即:NO,②=a(20)③=1
|,当20时,=||=;当W0时,=||=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定义:如果一个数的立方等于,这个数就叫做的立方根(或叫做的
三次方根)
1.232立方根的表示方法:如果,则x叫做a的立方根,记作,其中叫做被开方数,
3叫做根指数。
123.3立方根的性质:①正数有一个立方根,仍为正数,负数有一个立方根,仍为负数,
0的立方根仍为0。②
1.2.3.4开立方的定义:求一个数的立方根的运算叫做开立方(它与立方互为逆运算)
1.2.4无理数
1.2,4.1无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数。
1.2.4.2判断无理数的注意事项:①带根号的数不一定是无理数,如是有理数,而不是
无理数;②无理数不一定是开方开不尽的数,如圆周率
1.2.5实数
1.2.5.1实数的定义:有理数和无理数的统称
1.2.5.2实数的性质:①实数与数轴上的点对应②实数a的相反数是-a,实数的倒
数是(W0)③II20,I1=1-1④有理数范围内的运算律、幕的运算法则、乘法
公式,在实数范围内同样适用
1.253两个实数的大小比较:①正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数,两个负
数比较大小,绝对值大的反而小。②在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大③作
商法:两个实数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于1,则两个数相
等;若小于1,则除数大。④作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,
则两个数相等;若小于0,则减数大。
1.2.6二次根式
1.2.6.1二次根式的定义:式子(>0)叫做二次根式。
1.262二次根式的运算性质:①(N0,20)②(>0,>0)
1.2.6.3最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的
因数是整数,因式是整式②被开方数中不含能开得尽的因数或因式
1.264分母有理化定义:在分母含有根式的式子中,把分母中的根号划去的过程叫做分
母有理化。
1.2,6.5二次根式的混合运算:应按顺序先做乘方运算,再做乘除运算,最后做加减运算;
若有括号,应按小、中、大括号的顺序进行运算。
二、代数式
2.1代数式
2.1.1代数式的定义:用运算符号把数或字母连接而成的式子叫做代数式。
2.1.2代数式的分类:代数式分为有理式和无理式,有理式又可以分为整式和分式,而
整式又可以分为单项式和多项式。
2.1.3列代数式的定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式
子表示出来,就是列代数式。
2.1.4代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
2.2整式
2.2.1整式的概念
2.2.1,1单项式:只含有数字与字母乘积的代数式叫单项式(单独的一个数或字母也是单
项式)。其中,数字因式叫做单项式的系数,单项式中所有的字母的指数的和叫做这个单项
式的次数。
2.2.1.2多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每一个单项式叫做多项式的项,
其中不含字母的项叫做常数项。
2.2,1.3多项式的次数:多项式中系数最高项的次数叫做多项式的次数。
221.4降(升)嘉排列:把一个多项式按某一字母的指数从大(小)到小(大)的顺序
排列起来。
221.5整式的定义:单项式和多项式的统称。
2.2.L6同类项的定义:所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。
2.2.1.7合并同类项:把多项式中同类项合成一项的过程叫做合并同类项。
221.8合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的
指数不变。
2.2.2整式的运算
222.1整式的加减法计算法则:先去括号,再合并同类项。
222.2整式的乘除法计算法则:①同底数幕的乘法法则:同底数幕相乘,底数不变,指
数相加,即(m,n是正整数)②同底数塞的除法法则:同底数幕相除,底数不变,指数相
减即(W0,,是正整数,>)③幕的乘方法则:塞的乘方,底数不变,指数相乘,
即(m,n是正整数)④积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得
的幕相乘,即(是正整数)。
222.3单项式乘以单项式的法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对
于只在一个单项式中只含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。(在计算系数时,
应先确定符号,再计算绝对值,当系数为-1时,只须在结果的最前面写上
222.4单项式乘以多项式的法则:用单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。
2.225单项式除以单项式的运算法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幕分别相
除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2.226多项式除以单项式的运算法则:一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的
每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加。
2.2.2.7多项式乘以多项式的法则:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加。
222.8平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,即(注
意事项:公式中的,所代表的内容具有广泛性,可以表示数字,也可以表示单项式或多项
式)
2.229完全平方公式:两个数和(或差)的平方等于它们的平方和,加上(或减去)它
们积的2倍,即:(注意事项:公式中的a,b所代表的内容具有广泛性,可以表示数字,
也可以表示单项式或多项式)
2.2.2.10立方和与立方差公式:两数和(或差)乘以它们的平方和与它们积的差(或和),
等于这两个数的立方和(或立方差),即
2.2.2.11其他乘法公式:
①
②
2.2.3因式分解
2.2.3.1因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分
解。
2.2.3.2因式分解的注意事项:因式分解要分解到不能再分解为止;因式分解与整式乘法
互为逆运算。
2.2.3.3公因式的定义:一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公
因式。
22.3.4分解因式的方法:①提取公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公
因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种因式分解叫做提取公因式法。即:
②运用公式法:反用乘法公式,可以把某些多项式分解因式,这种方法叫做运用公式法(常
用的有:和)③分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法④十字相乘法:
将型的二次三项式分解为。
2.3分式
2.3.1分式的概念
2.3.1.1分式的定义:A,B表示两个整式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其
中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
2.3,1.2有理式的定义:整式和分式的统称。
2.3.1,3繁分式的定义:分式的分子或分母中含有分式,这样的分式叫做繁分式。
2.3.1.4最简分式的定义:当一个分式的分子和分母没有公因式的时候就叫做最简分式。
231.5约分的定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去的过
程就叫做约分。
2.3.1.6通分的定义:把异分母的分式化成和原来的分式相等的同分母的分式的过程叫做
通分。
2.3.2分式的基本性质
2.3.2.1分式的基本性质:分式的分子分母都同时乘以或同时除以一个不为0的整式,分
式的值不变,即
2.322分式的符号法则:分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分
式的值都不变,即
2.3.3分式的运算
2.3.2.3分式的加减法计算法则:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减,即;异
分母分式相加减,先通分成同分母的分式,再按同分母的分式相加减的法则进行计算,即.
2.324分式的乘除法计算法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为
积的分母,即;分式除以分式,把除式的分子分母颠倒位置后,再按分式的乘法法则进行
计算。
2.325分式的混合运算:①先算乘方(即:三级运算),再算乘除(即:二级运算),最
后算加减(即:一级运算)②如果是同级运算,则按从左到右的运算顺序计算③如果有括号,
先算小括号,再算中括号,最后算大括号。
三、方程与方程组
3.1方程与方程组
3.1.1基本概念
3.1.1,1等式的定义:用等号表示相等关系的式子叫做等式。
3.1.1.2等式的性质:①等式两边同时加上或同时减去一个数或一个整式,所得结果仍是
等式②等式两边同时乘以或同时除以一个不为0的数,所得结果仍为等式。
3.1.1.3方程的定义:含有未知数的等式叫做方程。
3.1.1.4方程的解:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解,只有一个未知数的方程
的解也叫做方程的根。
3.1.1.5解方程的定义:求得方程的解的过程叫做解方程。
3.1.1.6一元一次方程:含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程
叫做一元一次方程,它的标准形式是ax+b=O,其中x是未知数,它有唯一解,(aWO)
3.1.1.7二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
叫做二元一次方程。
3.1.1.8一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫
做一元二次方程,一般形式是ax+bx+c=O,其中ax称为二次项,bx叫做一次项,c叫做常数
项。
3.1.1.9一元二次方程的解法:①直接开方法②配方法③求根公式法④因式分解法。
3.1.1.11一元二次方程根的判别式:叫做一元二次方程ax+bx+c=O的判别式。
3.1.1.12一元二次方程根与系数的关系:设、是方程ax+bx+c=O(aWO)的两个根,
那么+=,=,根与系数关系的逆命题也成立。
3.1.1.13一元二次方程根的符号:设一元二次方根ax+bx+c=O(aWO)的两根为、。
当》。且>0,+>0,两根同正号;当N0,且>0,+<0,两根同负号;<0时,
两根异号+>0时,正根的绝对值较大,+<0时,负根的绝对值较大。
3.1.1.14整式方程:方程两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程。
3.1.1.15分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
3.1.1.16增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增
根(使方程的分母为。的根),因此解分式方程时要验根。验根的方法通常是把求得整式方
程的根代入最简公分母,使最简公分母为0的就是增根。
3.1.1.17二元一次方程:含有两个未知数并且含有未知数的项的次数是1,这样的方程
叫做二元一次方程(注意:对于未知数来说,构成方程的代数式必须是整式)。
3.1.1.18二元一次方程的解:满足二元一次方程的一对未知数的值叫做二元一次方程的
一个解。
3.1.1.19二元一次方程的解法:给其中一个未知数一个确定值,解关于另一个未知数的
方程,得出这个未知数的值,由此就得到二元一次方程的一个解。
3.1.1.20二元一次方程组:两个二元一次方程合成一组就叫做二元一次方程组。
3.1.1.21二元一次方程组的解:构成二元一次方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
3.1.1.22二元一次方程组的解法:解二元一次方程组的基本思想就是消去一个未知数转
化成一元一次方程求解,消元的基本方法就是代入法和加减法。(①代入法:代入法的基本
思想是方程组中的同一个未知数应该表示相同的值,所以一个方程中的某个未知数,可以用
另一个方程中表示这个未知数的代数式来代替,从而就可以减少一个未知数,把二元一次方
程组转化成一元一次方程。②加减法:加减法的基本思想是,根据等式的基本性质2,使两
个方程中某一个未知数的系数绝对值相等,然后根据等式的基本性质1,将两个方程相加减,
从而可以消去一个未知数,转化为一元一次方程。)
3.1.1.23三元一次方程组:含有三个未知数,并且每个方程的未知项次数都是1,这样
的方程叫做三元一次方程组。
3.1.1.24三元一次方程组的解法:解三元一次方程组的基本思想是消去一个未知数转化
成二元一次方程组,再按照二元一次方程组的解法来解。
3.2列方程(方程组)解应用题
3.2.1基本概念
3.2.1.1列方程解应用题的一般步骤:审题、设元、列方程、解方程、检验、写答。
3.2.L2设未知数的方法:①直接设元;②间接设元;③设辅助未知数。
322常见的应用题
3.2.2.1行程问题:行程问题可以分为相遇问题、追及问题、环形问题、水(风)流四类
问题。基本关系式:路程=速度义时间()=
3.222工程问题:基本关系式:工作量=工作时间X工作效率。
322.3数字问题:(了解几个相关名词的概念,如连续自然数、连续整数、连续奇数、
连续偶数,并懂得多位数的几种表示方法)。
322.4增长率问题:基本关系式:①原产量+增产量=实际产量②增长率=增长数/基础数
③实际产量=原产量(1+增长率)
322.5利润问题:基本关系式:利润=售价-进价。
3.226利率问题:(了解几个相关名词的概念,如:本金、利息、本息和、期数、利率)
基本关系式:本息和=本金+利息,利息=本金X利率X期数。
3.227几何问题:常用的公式:长方形、正方形、三角形、梯形、园的面积和周长公式。
322.8浓度问题:基本关系式:浓度=溶质质量/溶液质量X100%
322.9其他问题:比例分配问题、鸡兔同笼问题、函数应用题…
四、不等式与不等式组
4.1不等式
4.1.1基本概念
4.1.1.1不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
4.1.1.2不等号:常用的不等号有:①〈②〉③W④〈⑤》
4.1.1.3不等式的性质:①不等式两边同时加上(或减去)一个整式,不等号的方向不变,
即若>,则>②不等式的两边同时乘以(或同时除以)一个正数,不等号的方向不变③
不等式的两边同时乘以(或同时除以)一个负数,不等式的符号改变。
4.1.1.4不等式的解:使得不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
4.1.1.5不等式的解集:一个不等式的所有解组成这个不等式的解集。
4.1.1.6解不等式的基本方法:①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤化系数为1
4.2不等式组
4.2.1基本概念
4.2.1.1一元一次不等式组:由几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式
组。
4.2.1.2一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做一元一次
不等式组的解集。
4.2.1.3解不等式组:求不等式的解集的过程叫做解不等式。
五、函数
5.1平面直角坐标系变量与函数
5.1.1基本概念
5.1.1.1平面直角坐标系:为了用一对实数表示平面内一点,在平面内画两条互相垂直的
数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做轴或者横轴,取向右为正方向;铅直
的数轴叫做轴或者纵轴,取向上为正方向,两个数轴相交于点O,点。叫做坐标原点。
5.L1.2象限:横轴和纵轴把平面分为四个象限,其中右上角的为第一象限,左上角的为
第二象限,左下角的为第三象限,右下角的为第四象限
5.1.1.3点的坐标的表示方法:按横坐标在前,纵坐标在后的顺序书写,中间用逗号隔开。
5.1.1.4常量和变量:在某一变化过程中,数值保持不变的量叫做常量,可以取不同值的
量叫做变量
5.1.1.5函数:在某个变化过程中,有两个变量和,如果对于x在某一范围内的每一个
确定的值,有惟一确定的值和它对应,那么就把叫做的函数,其中,为因变量,为自
变量。
5.1.1.6自变量的取值范围:如果用解析式表示函数,那么自变量的取值范围就是使解析
式有意义的自变量取值的全体。
5.1.1.7函数值:对于自变量在取值范围内的一个确定的值,例如=,函数有惟一确定
的对应值,这个对应值叫做=时的函数值,简称函数值
5.1.1.8函数的表示方法:①解析法:把两个变量的对应关系用数学式子来表示②列表发:
把两个变量的对应关系用列表的方法表示③图像法:把两个变量的对应关系在平面直角坐标
系内用图像表示。(通常将以上三种方法结合起来运用)
5.1.1.9由函数解析式画图像的步骤:列表、描点、连线。
5.2正比例函数
5.2.1基本概念
521.1正比例函数的定义:形如(W0)的函数叫做正比例函数。
5.2.1.2正比例函数的图像:正比例函数的图像是经过坐标原点的一条直线。
521.3正比例函数的性质:①当>0时,随的增大而增大②当<0时,随的增大
而减小。
5.3一次函数
5.3.1基本概念
5.3.1.1一次函数的定义:形如(,是常数)的函数叫做一次函数。
5.3.1.2一次函数的图像:一次函数的图像是一条与直线(W0)平行的一条直线。
5.3.1.3一次函数的性质:
①当>0时,y随x的增大而增大
当>0时,图像经过一二三象限
当<0时,图像经过一三四象限
当=0时,为正比例函数
②当<0时,y随x的增大而减小。
当>0时,图像经过一二四象限
当<0时,图像经过二三四象限
当=0时,为正比例函数
5.4反比例函数
5.4.1基本概念
5.4.1.1反比例函数的定义:形如的函数叫做反比例函数。
5.4.1.2反比例函数的图像:反比例函数的图像是双曲线。
5.4.1.3反比例函数的性质:①当>0时,在一、三象限内,随x增大而减小②当<0
时,在二、四象限内,随的增大而增大。
5.5二次函数
5.5.1基本概念
551.1二次函数的定义:形如(,,为常数,W0)的函数叫做二次函数。
551.2二次函数的图像:是对称轴平行与轴的抛物线。
5.5.1.3二次函数的性质:①抛物线(70)的顶点坐标是,对称轴是直线②当>0
时,在时,函数有最小值;当<0时,在时,函数有最大值③当时,抛物线(W0)
与X轴有两个交点;当<0时,抛物线与X轴没有交点;当=0时,抛物线与X轴有一个
交点。④当>0时,抛物线开口向上,当a<0时抛物线开口向下⑤当>0时,交点在y
轴的正半轴,当c<0时,交点在y轴的负半轴,当=0时,交点在坐标原点⑦当a、b同号
时,<0,抛物线的对称轴在y轴的左侧,当、异号时,>0,抛物线的对称轴在轴的
右侧,当=0时,抛物线的对称轴就是轴。
551.4二次函数解析式的三种形式:①一般式;②交点式;③顶点式。
六、相交线与平行线
6.1相交线
6.1.1基本概念
6.1.1.1对等角的定义:两条直线相交成四个角,其中没有公共边的两个角叫做对顶角。
6.1.1.2对顶角的性质:对顶角相等。
6.1.1.3对顶角的定义与性质的关系:对顶角的定义揭示了两个角的关系,而对顶角的性
质揭示了对顶角的数量关系。只有用定义判定出两个角是对顶角才能根据角的性质得出这两
个角相等。
6.1.1.4邻补角的定义:两条直线相交成的四个角中有一个公共顶点,还有一条公共边的
两个角叫做邻补角。
6.1.1.5互余的定义:如果两个角相加等于90°,那么这两个角互余。(注意:这两个角
可以没有公共边和公共顶点)
6.1.1.6互补的定义:如果两个角相加等于180°,那么这两个角互补。(注意:这两个
角可以没有公共边和公共顶点)
6.1.1.7垂直的定义:两条直线相交成的四个角中,有一个是直角时,就说这两条直线互
相垂直,其中一条叫做另外一条的垂线,交点叫做垂足。
6.1.1.8垂直的表示方法:若直线AB垂直直线CD,可以记作.
6.1.1.9垂线段的定义:过直线外一点向已知直线做垂线,这个点到垂足之间的距离叫做
这个点到直线的垂线段。
6.1.1.10垂线的性质:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②直线外一点与直
线各点连结的所有线段中,垂线段最短。
6.1.1.11点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的距离叫做点到直线的距
离。
6.1.1.12线段的垂直平分线(中垂线)的定义:过线段的中点并且垂直于线段的直线叫
做线段的垂直平分线或中垂线。
6.1.1.13垂直平分线(中垂线)的性质:线段垂直平分线(中垂线)上的点到这条线段两
端的距离相等。
6.1.1.14三线八角的定义:两条直线被第三条直线所截形成了八个角,通常称为三线八
角。
6.1.1.15同位角的定义:在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,既在两条直线的
同侧,又在截线同侧的一对角称为同位角。
6.1.1.16内错角的定义:在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,在两条直线的内
部且在截线的两侧,位置相错的一对角叫做内错角。
6.1.1.17同旁内角的定义:在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,在前两条直线
的内部并且在截线的同侧的一对角叫做同旁内角。
6.2平行线
6.2.1基本概念
621.1平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
621.2平行线的表示方法:若直线平行直线,则记作//.
6.2.1.3平行线公理:过直线外一点,有且只有一条直线于这条直线平行。
62.1.4平行线公理的推论:如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平
行,简说成:平行于同一条直线的两条直线互相平行。即若〃,〃,则〃.
621.5平行线的判定方法:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行。
621.6平行线的性质:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两
直线平行,同旁内角互补。
七、三角形
7.1三角形
7.1.1基本概念
7.1.1.1三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做
三角形。
7.1.1.2三角形的边的定义:组成三角形的线段叫做三角形的边。
7.1.1.3三角形周长的定义:三角形三条边之和叫做三角形的周长。
7.1.1.4三角形顶点的定义:三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
7.L1.5三角形内角的定义:三角形相邻两边所组成小于180°的角叫做三角形的内角,
简称三角形的角。
7.1.1.6三角形的外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫做三角形的外
角。
7.1.1.7三角形的表示方法:三角形用来表示。
7.1.17三角形的读法:“△ABC”读作“三角形ABC”。
7.1.2三角形的分类
7.121分类1:按照三角形的边分,可以分为三类:不等边三角形、等腰三角形、等边
三角形。
7.1.2.2分类2:按照三角形的角分,可以分为三类:锐角三角形、直角三角形、钝角三
角形
7.1.3三角形中的重要线段
7.131三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的
顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线。
7.1.3.2角平分线的性质:三角形内角平分线上的任意一点到这个角两边的距离相等。
7.133角平分线的判定定理:到三角形两边距离相等的点,一定在这两条边为边的角的
平分线上。
7.1.3.4三角形的中线:在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形
的中线。
八、四边形
九、圆
十、多边形
十一、尺规作图
十二、视图与投影
十三、图形与变化
14.1图形的轴对称、平移、旋转
14.2图形的相似
十四、图形与坐标
十五、图形与证明
17.1命题、定理和证明
17.2证明
十六、统计与概率
18.1数据的收集与整理
18.2数据的描述
18.3数据的分析
18.4概率我荒废了时间,时间也荒废了我
初中数学知识总结(北师大版)
一、实数
1.1有理数
1.1.1有理数的定义:整数和分数的统称。
1.1.2有理数的分类:
(1)分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数;分数分为正分数和负分数。
(2)分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数;负有理数分为
负整数和负分数。
1.1.3数轴
1.1.3.1数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
LL3.2数轴的三要素:①原点②正方向③单位长度
1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示
1.1.4相反数
1.141相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数(注:0的相反数为0
1.1.4.2相反数的意义:离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数
1.143相反数的判别
(1)若,则、互为相反数
(2)若两个数的绝对值相等,且符号相反,则这两个数互为相反数。
1.1.5倒数
1.151倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数。(若ab=l,则a、
b互为倒数)注:零没有倒数。
L1.6绝对值
LL6.1绝对值的定义:在数轴上,表示一个数到原点的距离(a的绝对值记作|a|)
1.1.6.2绝对值的性质:|a120
1.1.7有理数大小的比较
LL7.1正数大于0,负数小于0
1.1.7.2正数大于负数
L1.7.3两个正数,绝对值大的这个数就大,绝对值小的这个数就小;两个负数,绝对值
大的这个数就小,绝对值小的这个数就大。
LL7.4作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;
若小于0,则减数大。
1.1.7.5作商法:两个有理数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于
1,则两个数相等;若小于1,则除数大。
1.1.8有理数的加法
1.181运算法则:①符号相同的两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加②绝对值
不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互
为相反数的两个数相加等于0)③任何有理数加0仍等于这个数。
1.182加法交换律在有理数加法中仍然适用,即:a+b=b+a
1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用,即:a+(b+c)=(a+b)+c
1.1.9有理数的减法
1.1.9.1运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数
1.1.9.2有理数减法一转化一有理数加法
1.1.10有理数的乘法
1.1.10.1运算法则:①两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(口诀:正
正得正,负负得正,正负的负,负正的负)②任何有理数乘0仍等于0③多个不等于0的有
理数相乘时,积的符号由负因式的个数决定:当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶
数个时,积为正。
1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.11有理数的除法
1.1.11.1运算法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数(除数不能为0,否则无意义)
1.1.11.2有理数除法一转化一有理数乘法
1.1.12有理数的乘方
1.1.12.1有理数乘方的意义:求相同因数积的运算叫做乘方
1.1.12.2有理数乘方的表示方法:个相同因数相乘表示为,其中称为底数,称为指
数,而乘方的结果叫做幕,读作“的次方”或“的次幕"(当=2时,读作的平方,简
称方)
1.1.12.3运算规律:①正数的任何次幕都为正数②负数的奇次幕是负数,负数的偶次幕
是正数③0的任何次幕都等于0(0次基除外)④任何数的零次累都等于1(0次脱除外)
1.1.13有理数的混合运算
1.1.13.1运算顺序:①先算乘方(即:三级运算),再算乘除(BP:二级运算),最后算
加减(即:一级运算)②如果是同级运算,则按从左到右的运算顺序计算③如果有括号,先
算小括号,再算中括号,最后算大括号。
1.1.14科学记数法
1.1.14.1科学记数法的定义:把一个大于10的有理数记成的形式(其中1WW10)叫
做科学记数法。
1.1.15近似数
1.1.15.1近似数的定义:接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近
似值。
1.1.15.2求近似值的方法:①四舍五入法②收尾法(进一法)③去尾法。
1.1.15.3有效数字的定义:一个近似数精确到哪一位,从左起第一个不是0的数字起,
到这一位数字上的所有数字(包括其中的0)叫做这个近似值的有效数字。
1.2实数
1.2.1平方根
121.1平方根的定义:如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根(或二次方根),
即,我们就说是的平方根。
L2.1.2平方根的表示方法:如果(>0),则的平方根记作,“”读作“正负根号”,
其中读作“二次根号”,2叫做根指数,叫做被开方数。
1.2.1.3平方根的性质:一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数;0的平方
根只有一个,就是0;负数没有平方根。
1.2.1.4开平方的定义:求一个数的平方根的运算就叫做开平方(开平方和平方互为逆运
算)。
1.2.2算术平方根
1.221算术平方根的定义:正数有两个平方根,其中正数a的正的平方根叫做的算术
平方根,记作,读作“根号二
122.2算术平方根的性质:①具有双重非负性,即:NO,②=a(20)③=1
|,当》0时,=||=;当W0时,=||=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定义:如果一个数的立方等于,这个数就叫做的立方根(或叫做的
三次方根)
123.2立方根的表示方法:如果,则x叫做a的立方根,记作,其中叫做被开方数,
3叫做根指数。
1.233立方根的性质:①正数有一个立方根,仍为正数,负数有一个立方根,仍为负数,
0的立方根仍为0。②
1.2.3.4开立方的定义:求一个数的立方根的运算叫做开立方(它与立方互为逆运算)
1.2.4无理数
1.2,4.1无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数。
124.2判断无理数的注意事项:①带根号的数不一定是无理数,如是有理数,而不是
无理数;②无理数不一定是开方开不尽的数,如圆周率
1.2.5实数
1.2.5.1实数的定义:有理数和无理数的统称
1.2.5.2实数的性质:①实数与数轴上的点对应②实数a的相反数是-a,实数的倒
数是(W0)③II20,I1=1-1④有理数范围内的运算律、幕的运算法则、乘法
公式,在实数范围内同样适用
L2.5.3两个实数的大小比较:①正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数,两个负
数比较大小,绝对值大的反而小。②在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大③作
商法:两个实数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于1,则两个数相
等;若小于1,则除数大。④作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,
则两个数相等;若小于0,则减数大。
126二次根式
1.2,6.1二次根式的定义:式子(20)叫做二次根式。
1.262二次根式的运算性质:①(20,20)②(>0,>0)
1.2.6.3最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的
因数是整数,因式是整式②被开方数中不含能开得尽的因数或因式
1.264分母有理化定义:在分母含有根式的式子中,把分母中的根号划去的过程叫做分
母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合运算:应按顺序先做乘方运算,再做乘除运算,最后做加减运算;
若有括号,应按小、中、大括号的顺序进行运算。
初中数学知识总结(北师大版)
一、实数
1.1有理数
1.1.1有理数的定义:整数和分数的统称。
1.1.2有理数的分类:
(1)分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数;分数分为正分数和负分数。
(2)分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数;负有理数分为
负整数和负分数。
1.1.3数轴
1.131数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
1.132数轴的三要素:①原点②正方向③单位长度
1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示
1.1.4相反数
L1.4.1相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数(注:0的相反数为0
1.142相反数的意义:离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数
1.1.4.3相反数的判别
(1)若,则、互为相反数
(2)若两个数的绝对值相等,且符号相反,则这两个数互为相反数。
1.1.5倒数
LL5.1倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数。(若ab=l,则a、
b互为倒数)注:零没有倒数。
1.1.6绝对值
1.1.6.1绝对值的定义:在数轴上,表示一个数到原点的距离(a的绝对值记作Ia|)
1.162绝对值的性质:
1.1.7有理数大小的比较
1.1.7.1正数大于0,负数小于0
1.1.7.2正数大于负数
1.1.7.3两个正数,绝对值大的这个数就大,绝对值小的这个数就小;两个负数,绝对值
大的这个数就小,绝对值小的这个数就大。
1.1.7.4作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;
若小于0,则减数大。
1.1.7.5作商法:两个有理数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于
1,则两个数相等;若小于1,则除数大。
1.1.8有理数的加法
LL8.1运算法则:①符号相同的两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加②绝对值
不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互
为相反数的两个数相加等于0)③任何有理数加0仍等于这个数。
1.182加法交换律在有理数加法中仍然适用,即:a+b=b+a
1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用,即:a+(b+c)=(a+b)+c
1.1.9有理数的减法
1.1,9.1运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数
1.1.9.2有理数减法一转化一有理数加法
1.1.10有理数的乘法
1.1.10.1运算法则:①两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(口诀:正
正得正,负负得正,正负的负,负正的负)②任何有理数乘0仍等于0③多个不等于0的有
理数相乘时,积的符号由负因式的个数决定:当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶
数个时,积为正。
1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.11有理数的除法
1.1.11.1运算法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数(除数不能为0,否则无意义)
1.1.H.2有理数除*转化一有理数乘法
1.1.12有理数的乘方
1.1.12.1有理数乘方的意义:求相同因数积的运算叫做乘方
1.1.12.2有理数乘方的表示方法:个相同因数相乘表示为,其中称为底数,称为指
数,而乘方的结果叫做幕,读作“的次方”或“的次幕"(当
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