2024-2025学年高中数学章末综合测评二点直线平面之间的位置关系课时分层作业含解析新人教A版必修2

PAGE章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈αC[若直线l∩α＝A，明显有l⊄α，A∈l，但A∈α.]2．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．3个B．2个C．1个D．0个D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故以上4个条件都不能确定一个平面．]3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]4．已知a，b，c是直线，则下面命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．其中真命题的个数为()A．0B．3C．2D．1D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；依据等角定理，可知③正确．]5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°B[当三棱锥D­ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB(图略)，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同始终线的两个平面相互平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.]7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝eq\f(1,2)SB＝1，DF＝eq\f(1,2)AC＝1，所以EF＝eq\r(ED2＋DF2)＝eq\r(2).]8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有多数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一个平面B[若α∥β，则α内有多数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．依据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.]9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，则二面角A­CD­B的余弦值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)C[取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，因为EF2＋BE2＝BF2，所以△BEF为直角三角形，cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).]10．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则eq\f(DF,FC)的值为()A．3 B．2C．1 D．eq\f(1,2)B[连接AD交BE于点O，连接OF,因为AC∥平面EFB，平面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF.所以eq\f(OD,OA)＝eq\f(DF,FC).又因为BD∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以eq\f(OD,OA)＝eq\f(DB,EA)＝2.故eq\f(DF,FC)＝2.]11．设三棱锥V­ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P­AC­B的平面角为γ，则()A．β＜γ，α＜γ B．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜α D．α＜β，γ＜βB[如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，过D作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC交VG于F，过D作DH∥AC，交BG于H，则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，则cosα＝eq\f(PF,PB)＝eq\f(EG,PB)＝eq\f(DH,PB)＜eq\f(BD,PB)＝cosβ，又α、βeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得β＜α；tanγ＝eq\f(PD,ED)＞eq\f(PD,BD)=tanβ，可得β＜γ.]12．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与② B．①与③C．②与③ D．③与④B[由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，得SG⊥平面EFG，解除C，D，若SE⊥平面EFG，则SG∥SE.这与SG∩SE＝S冲突，解除A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.1[因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面．]14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.平行[因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.]15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β，且C∉l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.CR[依据题意画出图形，如图，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.]16．已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________.36π[如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S­ABC的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB(1)求证：AC⊥B1C(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝eq\f(2,3)CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．[解]在PC上能找到点E，且满意eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，可使BE∥平面PAD.证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD.所以eq\f(AB,CD)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(BC,BF)＝eq\f(1,2).又eq\f(CE,PE)＝eq\f(1,2)，所以在△PFC中，eq\f(CE,PE)＝eq\f(BC,BF)，所以BE∥PF.而BE⊄平面PAD，PF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P­ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC；(2)求二面角M­AC­B的大小．[解](1)证明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC.(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO为二面角M­AC­B的平面角，设AC＝2，则BC＝2eq\r(3)，MO＝1，OH＝eq\r(3)，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝eq\f(MO,HO)＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角M­AC­B的大小为30°.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．[解](1)因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.又AB∥CD，所以AB⊥AE.又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB.又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.因为G，F分别为PA，PB的中点，则FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG.因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE.21.如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求四棱锥B­EB1[解](1)证明因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，故B1C1⊥平面A1AMN.因为B1C1⊂平面EB1C1F(2)因为AO∥平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝eq\f(1,3)AM＝eq\r(3)，PM＝eq\f(2,3)AM＝2eq\r(3)，EF＝eq\f(1,3)BC＝2.因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B­EB1C1F的顶点B究竟面EB1C如图，作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin底面E